Numero reale potenze e logaritmi

Numero reale, potenze e logaritmi

Definizione di numero reale

La definizione di numeri reali richiede l'introduzione del concetto di classi contigue che inizialmente possono essere immaginate come degli insiemi di elementi che si addossano, da direzioni opposte, intorno a un punto rappresentante il numero reale. Tali classi contigue vengono costruite con numeri razionali al fine di operare la costruzione di R sul ben noto insieme Q.

Definizione di classi contigue di numeri razionali

Dati due insiemi A e B, sottoinsiemi propri di Q, essi sono una coppia di classi contigue di numeri razionali se i loro elementi soddisfano le seguenti due proprietà:

1. ∀ a∈A, b∈B a ≤ b
2. ∃ 0 < ε∈Q tale che ∀ a∈A, b∈B t.c. b-a < ε

Se esiste un elemento s tale che per ogni elemento di a, c∈A e b, e∈B a ≤ s ≤ b, allora s è elemento di separazione delle due classi contigue come illustrerò per il breve esempio successivo. Possiamo, quindi, identificare il numero reale come elemento di separazione delle classi.

Esempio

A {3, ³¹⁄₁₀, ³¹⁶⁄₁₀₀, ³¹⁶⁴⁄₁₀₀₀, ...} B {4, ³²⁄₁₀, ³¹⁵⁄₁₀, ³¹⁶²⁄₁₀₀₀, ...}

π = 3,141572654

Nota

Poiché possiamo costruire più coppie di classi contigue aventi lo stesso elemento di separazione, si stabilisce una relazione di equivalenza tra coppie di classi contigue. Questa relazione divide l'insieme delle coppie di classi contigue in classi di equivalenza. Un numero reale è rappresentato da una classe di equivalenza degli elementi della coppia descritta.