Potenze e numeri irrazionali

Potenze e numeri irrazionali

Problemi inversi della potenza e introduzione dei numeri irrazionali

Il problema diretto della potenza consiste nel calcolare il risultato di aⁿ, dati la base a e l'esponente n. In generale, possiamo scrivere per insiemi numerici fin'ora introdotti che n volte: a¹ b → b¹ aⁿ.

I due problemi inversi

• Noti risultato b ed esponente n, determinare a

Esempio
a ... ?
b = 64
n = 3
a = 4

• Dati risultato b e la base a, determinare l'esponente n

Esempio
a = 4
b = 64
n...?
n = 3

La risposta alla prima domanda è la costruzione di un numero rappresentato nella forma: ⁿ√b mentre la risposta alla seconda domanda è la costruzione di un numero rappresentato nella forma: log_a b (logaritmo di base a di b).

Quindi, radici e logaritmi sono le rappresentazioni di numeri che corrispondono ai problemi inversi dell'elevamento alla potenza fissando rispettivamente da base ed esponente. Possiamo quindi scrivere le seguenti identità:

• aⁿ = b
• (√a)ⁿ = b
• a = ⁿ√b
• a^{log_a b} = b

Chiamiamo numero irrazionale l'elemento appartenente all'insieme che contiene tutte le risoluzioni dei problemi inversi della potenza per i numeri naturali.

Esempi

• 2^7/4 = ⁴√2⁷
• 3^1/2 = √3
• (^3/7√2)