Analisi matematica 2 - i numeri reali e le potenze

Struttura del sistema dei numeri reali:

In _R, vi è l’elemento 0 e l’elemento 1, quindi vi è univoco anche il elemento 2_n = 4 + 1 3_n = 2 2ⁿ⁺¹

Detta ^H da 1 > 0 ⇒ 1+1 > 0 , 2+1 > 0

I numeri b₁, 2_n, 3ⁿ, g , x computano esso esattamente come i numeri naturali [are] del punto di vista delle operazioni e dell’ordinamento vi è un omomorfismo tra N e 1, 2₂, 3₃ :

di conserva le opsea di ordinamento per tale ragione i numeri 1, 2₂, 3₃ ... si identificano con i numeri naturali 0, 1, 2, 3, ...

ed in questo senso l’insieme dei numeri naturali si pone come un sottinsieme ___ del sistema dei numeri reali.

Diet Intuito del fatto che N è contenuto in R (per via della percezione dell’identificazione) si ha che gli quoti dei numeri naturali si computano ad R , quindi Z ⊆ R (sempre greise dell’identificazione) ed infine anche i rapporti a, b tra elementi di Z , con b > 0 = a₂ b_-2

equatorio ad R , orme Q ⊆ R (sempre greise dell’identificazione).

Tiscrive ∀ x, e ∈ R , un exo ∃ 2 ∈ Q ::

2−x, a+e.

28

Prima di dimostrare il teorema dimostriamo il seguente lemma.

Lemma 1 (Proprietà di Archimede): ∀ x ∈ R, ∃ m ∈ N: m > x.

Infatti se fosse falso, ∃ x ∈ N n ≤ x ∀ n ∈ N, cioè N sarebbe limitato superiormente.

Poniamo N = un sotto insieme (per la propr. di amplesso) ammetterebbe l'intero supero α ∃! p ∈ N: α = p;

∀ n ∈ N, n + 1 ≤ α ⟹ n ≤ α - 1 ∀ n ∈ N ⟹ α - 1 è un maggiorante per N ⟹ α ≤ α - 1 assordo.

Così il lemma è dimostrato.

Lemma 2:

∀ x ∈ R, ∃ n ∈ N:

n ≤ x < n + 1.

Tale intero n, è detto massimo intero contenuto in x ed è indicato con ⌊x⌋.

Per dimostrare ciò, per il lemma precedente,

∃ M ∈ N |x| < M da cui -M < x < M;

Gli interi compresi tra -M ed M sono in un numero finito, quindi fra quelli compresi tra -M e x, quindi esiste il massimo dell'insieme costituito dagli interi compresi tra -M e x, che è proprio il massimo intero contenuto in x.

Assiomi di induzione e di numeri

Base di induzione:

• 0 ∈ S.
• Se n ∈ S allora anche n + 1 ∈ S, per ogni n ∈ N.

Allora S coincide con N.

Principio d'induzione

Un'applicazione del principio d'induzione, è consentito di dire che se una proporzione p(n) dipende da n ∈ N, se:

1. p(n) è vera per 0 (quindi per un certo n₀ ∈ N).
2. Se p(n) è vera allora anche p(n+1) è vera, per ogni n ∈ N (quindi ∀ n ≥ n₀).

Allora p(n) è vera ∀ n ∈ N (oppure ∀ n ≥ n₀).

Osserviamo infine che vale la seguente

Proprietà: sia α ∈ ℝ, con |α| < ε ∀ε > 0,

allora α = 0.

dim. propt: supp. α ≠ 0 e esamii. 0 < ^|α|⁄₂ ∈ (0, ∞)

Per la propt. di destra: ∃ε ∈ ℚ : 0 < ε < ^|α|⁄₂ ;

Dall Hp gliug |α| < ε quindi

ε < ^|α|⁄₂ < |α < ε cnesdo , quindi α = 0.

Tenendo illa dinottes del takame, dalla

e dalle precedet prop., si he cⁿ - α = 0 ovie cⁿ = α,

da cui la tar.

Esercizio sul principio di induzzone:

Diugeixione di Berniulle ;

∀ n ∈ ℕ, (comprov lo 2010) , ∀ x > -1 ,

[(1 + x)ⁿ ≥ (1 + nx

(esendo hiero per amuseone a⁰ = 1, ∀ a > 0.)

(0⁰ non ha sono)

...2...

esumete un'unica soluzione in R...

in quanto l'immagine della funzione a^x è tutto R⁺ quindi ...

...operato all'immagine di a, ⇒ ∃ x₀∈R : a^x₀ = b.

Indotto posto x₀ ∈ inf, in quanto a^x crescente, quindi ... assume

fra le ... il valore b.

L'unica soluzione dell'equaz.

a^x = b

... si denomina ... per definizione il logaritmo di base a ed argomento b.

e ... indicato con log_ab.

Per le potenze di base reale positivo ed esponente reale, valgono

le seguente propriet:

1. Se b = ^m/_n ∈ Q  ... a^b = (ⁿ√a)^m

• (... è restituire la definiz di potenze di base reale posit
• ...l'esponente naturali da razionale

2. Se a > 1 ... x < y ⟺ a^x < a^y (crescente)
3. Se 0 < a < 1 ... x < y ⟺ a^x > a^y (decrescente)
4. Se a = 1 ... a^b = 1,