Analisi matematica 2 - i numeri reali e le potenze

Struttura del sistema dei numeri reali

In (ℝ, +, .) vi è l'elemento 0 e l'elemento 1, quindi vi scriviamo anche gli elementi 2_ℝ = 4 + 1, 3_ℝ = 2_ℝ + 1 (Postulato da 1 > 0 ⇒ 1 + 1 > 0 1, 2 + 1 > 0 2, ... I numeri 1_ℝ, 2_ℝ, 3_ℝ, ... & si comportano esattamente come i numeri naturali (senza rinunciare alcun postulato dal punto di vista delle operazioni e dell'ordinamento (vi è un'unione tra ℕ e {2_ℝ, 3_ℝ, ...} di conservare almeno l'ordinamento) per tale ragione i numeri 1, 2_ℝ, 3_ℝ, ... si identificano con i numeri naturali 0 1, 2, 3, ... ed è in questo senso, l'insieme dei numeri naturali si può e è preso come un sottoinsieme del sistema dei numeri reali.

Infatti, dal fatto che ℕ è contenuto in ℝ (per via delle precedenti identificazioni) si dice che questo dei numeri naturali naso equivalentied ℝ, quindi ℤ &subsubseteq; ℝ (sempre grazie all'identificazione) ed infine anche i rapporti tra due elementi di ℤ, con b ≠ 0 e a 1+1 >= 1, 2+1 > 2...

I numeri b₁, 2_R, 3_R, ­g x competiamo così naturalmente come i numeri naturali (cerchiamo un contrato dal punto di vista delle operazioni e dell’ordinamento (v’è un unomofismo fra N e {2_R, 3_R, ...} di converso da quasi e l’ordinamento) per tale ragione i numeri 1, 2_R, 3_R, ... s’identificano con i numeri naturali 0, 1, 2, 3, ... ed è in questo senso, l’insieme dei numeri naturali si può allora porre come un sottoinsieme N del sistema di numeri reali.

Esso infatti, dal fatto che N e contenuto in R (per via delle precedenti identificazioni) in base di questo di numeri naturali reso oggetto ed R, quindi Z ⊆ R (sempre grazie all’identificazione) ad infine anche i rapporti ^p⁄_b fra elementi di Z, con b ≠ 0 a = ^a⁄_b • b^-1 appartengono ed R, ossia Q ⊆ R (sempre grazie all’identificazione).

Insieme:   V x, e E R con e x, 3 e ∈ Q;  2 x > e x + e.

Proprietà di Archimede

Prima di dimostrare il teorema dimostro il seguente lemma (Proprietà di Archimede): ∀x∈ℝ, ∃m∈ℕ : n > x. Infatti se fosse falso, ∃x ∈ ℕ : n ≤ x ∀n ∈ ℕ ossia ℕ sarebbe limitato superiormente. Poiché ℕ non nullo (per le prop. di amplesso) ammetterebbe l'estremo superiore Dupℕ = a ;∀ n ∈ ℕ, n+1 ≤ a ⇒ n ≤ a-1 ∀ n ∈ ℕ ⇒ a-1 è un maggiorante per ℕ ⇒ a ≤ a-1 assurdo. Così il lemma è dimostrato.

Lemma 2: ∀x∈ℝ, ∃ m ∈ ℕ :n ≤ x. Tale intero n, è detto massimo intero contenuto in x, ed è indicato con [x]. Per dimostrare ciò, per il lemma precedente, ∃ M ∈ ℝ, n ∈ ℕ : |x|. Gli interi compresi tra -n ed n sono in un numero finito, quindi, fra quelli compresi tra -n e x, quindi esiste il massimo dell'insieme costituito degli interi compresi tra -n e x, che è proprio il massimo intero contenuto in x.

Teorema

Dimostriamo allora il teorema. Esempio: Fissato ad arbitrio ε>0, ∃ q ∈ &N;: q>¹⁄_ε, ossia ε>¹⁄_q. Per il lemma 2, ∃ p ∈ &Z;: p ≤ qx < p+1 si ha ^p⁄_q ≤ x ≤ ^p+1⁄_q < ^p⁄_q + ε, ∞ ossia la tesi. (Densità di Q in R)

Corollario

Tra due qualunque numeri reali a, b esiste sempre un numero razionale q, cioè ∀ a, b ∈ &R; con a < b, ∃ q ∈ &Q;: a < q < b. Dimostri: siano a, b ∈ &R; con a < b; poniamo ε =½(b-a)>0---q ∈  ⁄₂ ossia q ≤ b - ½(b-a) < q + ε ossia q ≤ ½(b - a) + ½a < b = ½b + ½a < q + ε ossia ½a + quindi a < q < b, ossia la tesi.

Il sistema esteso dei numeri reali

Definizione: Per sistema esteso dei numeri reali, indicato con E, intendo il sistema dei numeri reali con l’aggiunta dei simboli +∞ e -∞ con le seguenti proprietà:

• se x ∈ R, allora -∞ < x < +∞, x +∞ = +∞, x -∞ = -∞, x/+∞ = x/-∞ = 0.
• se x > 0 allora x(+∞) = +∞, x(-∞) = -∞.
• se x < 0 allora x(+∞) = -∞, x(-∞) = +∞.

R è un insieme totalmente ordinato (ma non è un campo).

Definizione di intervallo

Siano a, b ∈ R, con a < b:

• [a,b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} intervallo chiuso.
• ]a,b[ = {x ∈ R : a < x < b} intervallo aperto.
• [a,b[ = {x ∈ R : a ≤ x < b} intervallo aperto a destra.
• ]a,b] = {x ∈ R : a < x ≤ b} intervallo aperto a sinistra.

I numeri a e b sono sup e inf dell'intervallo; i numeri x ∈ R tali che a ≤ x ≤ b si chiamano interni all'intervallo. Gli intervalli precedenti sono limitati, se a, b ∈ ℝ, gli intervalli possono anche essere non limitati.

Definizione di intorno circolare

Sia x₀ ∈ ℝ, δ > 0, x è detto intorno circolare di centro x₀ e raggio δ, l'insieme l'intervallo ]x₀-δ, x₀+δ[ ∈ ℝ | x₀-δ < x < x₀+δ.

Più in generale, si definisce intorno di ±∞ l'intervallo del tipo ]k, +∞[ o ] -∞, k[.

Radice n-esima dei numeri reali

Se y ∈ ℝ per def. y = y^1/n, sia α ∈ ℝ, n ∈ ℕ, x è detto radice n-esima di x di α, un qualunque x ∈ ℝ : xⁿ = α (ovvio un qualunque altro x) xⁿ = α.

Teorema della radice n-esima aritmetica

∀ a ∈ ℝ per a > 0, ∀ n ∈ ℕ, n > 1, ∃ un unico x₀ ∈ ℝ, con x₀ > 0 tale che x₀ⁿ = a. Ovvero per ogni numero positivo esiste un'unica radice n-esima positiva.

Convenzioni del direttivo di Peano

Basi postulati: Relativamente ai numeri naturali, ammettono che vale il seguente:

• Principio d’induzione: Sia _S un sottoinsieme di _N, con le proprietà:
  • 0 ∈ _S.
  • ∀ n ∈ _S allora anche n+1 ∈ _S, per ogni n ∈ _N.

Allora _S coincide con _N.

Un’applicazione del principio d’induzione: ci consente di dire che se una data proposizione P(n) dipende da n ∈ _N, se:

• P(n) è vera per 0 (oppure per un certo n₀ ∈ _N).
• se P(n) è vera allora anche P(n+1) è vera, per ogni n ∈ _N (oppure ∀ n ≥ n₀).

Allora P(n) è vera ∀ n ∈ _N (oppure ∀ n ≥ n₀).

Lemma

∀∈ℕ, ∀,∈ℝ ≥ 0, ＞0,＜⇔＜ Cominciamo col mostrare che ＜⇔＜ ; Sia ＜ ; Mostriamo che ＜ ; Se =1, allora ＝＜＝ q.e.d. Supp. ＜⇒＜ per un certo ; e poniamo che ⁺¹⇒＜ Sia ＜, allora per l'ipotesi induttiva ＜, quindi +1＝＜＝⁺¹ Quindi la proposizione () con , , . Induzione ⁺¹＜⁺¹ si tiene per =1; Ad entrare si tiene per un ; ando vera per +1. Per il principio di induzione segue ＜∀∈ℕ. Viceversa, porziono de (∀∈ℕ, ∀,∈ℝ, 0,0)＜⇒＜ ; Ed il fatto se fosse ＝ allora ＝ ; Se fosse ＞ effetti ＜ un ambiente. Quindi necessariamente deve essere ＜, ed il lemma è dimostrato.

Teorema delle radici n-esima aritmetica

Dimostriamo adesso il teorema delle radici n-esima aritmetica. Cominciamo col provare l’unicità. Supponiamo per assurdo che 3 x₁, x₂ ∈ R, x₁, x₂> 0 Tale che xⁿ₁ = xⁿ₂ = a, da x₁ ≠ x₂ si ha o x₁ 2 e quindi xⁿ₁ n₂ = a assurdo oppure x₂ 1 e quindi xⁿ₂ n₁ = a assurdo, da cui l'unicità.

Dimostriamo dell’esistenza. (Per n ≥ 1 è ovvio, supp. quindi n ≥ 2) (a ∈ R₊₎ sia A = {x ∈ R: x > 0, xⁿ ≤ a} Osserviamo che A non è vuoto e è limitato superior, infatti sia α = min {1, a} , si ha 0 ≤ x ≤ 1 ⇒ 0 ≤ x ≤ a^1/n ⇒ 0 ≤ aⁿ_·α ^an_·q cioè x > 0 e aⁿ > a^1/n quindi x ∈ A sia β : max {1, a;} e β ≥ 1 ⇒ β^n-1 ≥ 1 , βⁿ ≥ β^n-1β ≥ a quindi ∀ α ≤ β e A si ha b > 0 e bⁿ·q ≤ βⁿ ⇒ b Quindi A è dotato di estremo superiore , sia esso o C. Proviamo che Cⁿ = a. Risulta che 0 - 35 -0 < c - ε < c < c + ε , de cui:

• (1) (c - ε)ⁿ < cⁿ < (c + ε)ⁿ ;

Inoltre, per la 2^a propr. del sup A, ∃ a ∈ A : a̅ > c - ε , (*) ⇒ (c - ε)ⁿ < a̅ⁿ ≤ α ⁿ c – ε )ⁿ ≤ α . Ed ancora, da c + ε ∈ A (in quanto c ∉ c) si ha (c + ε)ⁿ ≤ α (∗ poichè (c + ε)ⁿ ≤ α ⇒ c + ε ∈ A) . Quindi:

• (2) (c - ε)ⁿ < α < (c + ε)ⁿ.

Da (1) e (2) segue |cⁿ - α| ≤ (c + ε)ⁿ (c - ε)ⁿ < 2 ⁿ α Provare che ∀ α, b ∈ R, n ∈ N, n ≥ 2, si ha αⁿ - bⁿ = (α - b) (α^n-1 + b α^n-2 + ... + b^n-1).

Applicando ciò al nostro caso, risulta (e + ε)ⁿ - (c - ε)ⁿ - (2 ε) {(c + ε)^n-1 + (c + ε)^n-1 + ... + (c + ε)^n-1} = (2 ε) (n (c+ε)^{n - 1}- 36 - < Q 2ε M (2c) ^n-1 = 2ⁿ M c^n-1 ε, ossia la .

Abbiamo quindi ricavato |εⁿ- α| ≤ 2ⁿ M c^n-1 ε, di ε, con 0<ε<ε_α, si può quindi ripetere questo discorso per un qualunque ε tale che 0<ε<ε_α, quindi

• (1) |εⁿ - α| < 2ⁿ M c^n-1 ε ∀ ε>0 con ε<ε_α.

(vedi (1)) Quest’ultima relazione è equivalente alla rela- (2) |εⁿ - α| < 2ⁿ M c^n-1 ε ∀ ε>0. Ovviamente se è vera la (2) sarà vera anche la (1). Viceversa, supp.{sup}1 di sia vera la (1), a sia ε >0, con ε >ε. Se Ε >0, con 0 < Ε<ε invece: Ε < ε quindi |εⁿ - α| < 2ⁿ M c^n-1 Ε < 2ⁿ M c^n-1 ε vedi (1) dove ε un arbitrario numero maggiore di Ε, quindi la (2) è vera.

Proprietà:

Se α ∈ ℝ, con |α| < ε ∀ ε > 0, allora α = 0. Dim. prop.: supp. α ≠ 0 e quindi 0 < ε |α| / 2 j (|α| > 0) Per la prop. di densità, ∃ θ ∈ ℚ : 0 < θ < ε |α| / 2 ; Dall'ip. si ha |α| < ε, quindi ε < |α| / 2 < |α| < ε o xado , quindi α = 0. Tornando alla dimostrazione del teorema, dalla (1) (de c agiud. alla (e dalla precedente prop., si ha de cⁿ - α = 0 ossia cⁿ = α, da cui la enta x.

Esercizio nel principio di induzione

Disuguaglianza di Bernoulli: ∀ n ∈ N (comprese le zero), ∀ x >> -1 , (1 + x)ⁿ ≥ 1 + n . x (avendo posto per convenzione q⁰ = 1, ∀ q > 0.)(0° non ha senso.)

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Dimostri: per n = 0 (1 + x)⁰ = 1 = 1 + 0 . x ∀ x > -1, quindi la disequaglianza è vera per n = 0, supp. che la dim. si vera per n ∈ N, cioè (1 + x)ⁿ ≥ 1 + n . x ∀ x > -1, e proviamo che la diseguaglianza si vera per n + 1, cioè (1 + x)ⁿ⁺¹ ≥ 1 + (n + 1) . x, ∀ x > -1. si ha (1 + x)ⁿ⁺¹ = (1 + x)(1 + x)ⁿ ≥ (1 + x)(1 + n x) = 1 + (n+1)x + x² ≥ (1 + n + 1)x per il p.p. quindi per il principio d'induzione la disequaglianza si vera ∀ n ∈ N.

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Def.n ∈ ℕ, con n ≥ 2, e ∀ a ≥ 0, il simbolo √ⁿa indichiamo la radice n-esima aritmetica di a, cioèl'unico numero reale positivo x tale che xⁿ = a. Inoltre poniamo √ⁿ0 = 0 (n ≥ 2); se a √ⁿa = -√ⁿ-a.

Potenze di base reale ed esponente intero

Sia a ∈ ℝ, (abbiamo già definito aⁿ, per ogni n ∈ ℕ, cioè, sia 0 sia n ∈ ℕ, poniamo per definiz. a⁻ⁿ = 1/aⁿ- 40 -

Potenza di base reale positiva ed esponente naturale

Sia a ∈ ℝ, a > 0, e sia n ∈ ℕ. n > 2, poniamo per defin. a^1/n ≙ ⁿ√a. Sia a ∈ ℝ, a > 0, sia m ∈ ℕ n > 2, m ∈ ℤ, poniamo a^m/n def (a^1/n)^m ≙ (ⁿ√a)^m.

Potenza di base reale positiva ed esponente reale

Si dimostra (lo dimostreremo in seguito) che esiste un'unica funzione f : ℝ → ℝ, da indicheremo con e^x (ossia f(x) ≙ e^x) tale che f coincide con la sua derivata (che per il momento non sappiamo cosa sia) ed f(0) = 1 (f si diranno funzione esponenziale). La funzione base a^x : ℝ → ℝ gode delle seguenti proprietà:

1. ∀ x, y ∈ ℝ con x < y si ha f(x) < f(y) (uno x₂ < e₂)
2. ∀ x, y, a ∈ ℝ f(x + y) = f(x) · f(y) uno x₁ ≠ e₂

* Chiamiamo numero di Nepero e lo indicheremo con 'e.' Il numero f(1) è il numero di Nepero e un numero irrazionale compreso tra 2 e 3 (oscura 2,7)

Definizioni

Una funzione f: R→R si dice crescente (decrescente) in R se ∀ x,y ∈ R con x < y si ha f(x) < f(y) [f(x) > f(y)]. Se una funz. è crescente (ovvero decrescente) in R allora essa è anche invertibile in R. La funzione e^x: R→R è invertibile in R;

Chiamiamo funzione logaritmica e la indichiamo con log x : R⁺ → R, la funzione inversa di e^x. quindi ∀ y > 0 , log x_y = x, dove x è tale che e^x = y.

Sia a > 0, b ∈ R, poniamo per definizione a^b = e^{b log a}

Def (di logaritmo di base a ed argomento b): Sia a > 0, a ≠ 1 e b > 0, è la soluzione dell'equazione a^x = b ammette un’unica soluzione in R; infatti in quanto l’immagine della funzione a^x è tutto R⁺ quindi b appartiene all’immagine di a^x, => ∃ x₀ ∈ R : a^x₀ = b, inoltre questo x₀ è unico in quanto a^x è crescente quindi può assumere una sola volta il valore b. L’unica soluzione dell’equas. a^x = b si denom. per definizione il logaritmo di base a ad argomento b e si indica con log_a b.

Proprietà delle potenze e dei logaritmi

Per la potenza di base reale positiva ad esponente reale, valgono le seguenti proprietà:

1. Se b = m/n ∈ Q, allora a^b = (n√a^m)^m (cioè: si estendono le dim di potenze di base reale positiva ad esponente razionale a quelle).
2. Se a > 1 allora x < y ⟺ a^x < a^y (crescente).
3. Se 0 < a < 1 allora x < y ⟺ a^x > a^y (decrescente).
4. Se a = 1 allora a^b = 1.
5. Se b > 0 ed x₁, x₂ > 0 allora x₁ < x₂ ⇔ x₁^b < x₂^b (diretta).
6. Se b < 0 ed x₁, x₂ > 0 allora x₁ < x₂ ⇔ x₁^b > x₂^b (inversa).
7. Se b = 0 ed x₁ > 0 allora x₁^b = 1 (lo sappiamo già).

Sia a > 0, b, c ∈ ℝ, allora:

• (a^b+c = a^b ⋅ a^c).
• (a^b)^c = a^bc.
• (a^c) = a^c.

Se a > 0, b > 0, c ∈ ℝ, allora:

• ((a ⋅ b)^c = a^c ⋅ b^c).
• ((a/b)^c = a^c/b^c).

Per i logaritmi svolgono le seguenti proprietà:

1. Siano a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0; se a > 1 allora b < c ⇔ log_ab < log_ac (diretta).
2. Se 0 < a < 1 allora b < c ⇔ log_ab > log_ac (inversa).
3. log_aa = 0 ∀ a > 0, a ≠ 1; log_aa = 1 ∀ a > 0, a ≠ 1; Infatti considerando l'equaz. a^x = 1, essa ha come soluz. log_ax (per definiz.) ed il numero 0 (1⁰ = 1) è priva di equaz.