Passa banda

Connessione in cascata di bipoli

Per quanto detto due bipoli sono connessi in cascata quando l'uscita dell'uno è l'ingresso dell'altro. V_in è applicato al primo bipolo e il carico R_L all'ultimo bipolo. La risposta armonica totale è il prodotto delle singole risposte armoniche tenendo però conto degli effetti di carico: due bipoli V_out = 2V₁ 2V₂.

Tenendo conto dei filtri analizzati finora, è utile per realizzare un passa banda che seleziona tutte le frequenze all'interno di un campo ω. Due bipoli in cascata, prima un filtro passa alto, che tiene conto delle pulsazioni comprese tra ω₁ e +∞ (le alte pulsazioni vengono attenuate), poi un filtro passa basso, che tiene conto delle pulsazioni comprese tra -∞ e ω₂, realizzano un filtro passa banda il cui schema circuitale è composto da 6 componenti.

Calcolo della risposta armonica totale

Per ricavare la risposta armonica totale 2V_out, dobbiamo prima calcolarne le risposte armoniche dei singoli filtri e poi considerarne la relazione 2V_out = 2V₁ 2V₂. Per l'ultimo bipolo la risposta armonica è:

2V₂ = ^R_L/_(R3+RL) ¹/_{(1+J ω/ω3)} con ω₃ = ^(R₃+R_L)/_{C2 R3 RL}

Risposta armonica dei bipoli in cascata

Per quanto detto due bipoli sono connessi in cascata quando l'uscita dell'uno è l'ingresso dell'altro. V_in è applicato al primo bipolo e il carico R_L all'ultimo bipolo. La risposta armonica totale è il prodotto delle singole risposte armoniche tenendo però conto degli effetti di carico: Z_tot = Z_v . Z_v''.

Tenendo conto dei filtri analizzati finora, è utile per realizzare un passa banda che seleziona tutte le frequenze all'interno di un campo ω. I due bipoli in cascata, prima un filtro passa alto, che tiene conto delle pulsazioni comprese tra ω_i e ω_x (le altre pulsazioni vengono attenuate), poi un filtro passa basso (che tiene conto delle pulsazioni comprese tra -∞ e ω_s), realizzano un filtro passa banda il cui schema circuitale ha 6 componenti.

Calcolo della risposta armonica totale con carico

Dove ω₃ > ω_i: Per ricavare la risposta armonica totale Z_tot, dobbiamo prima calcolarne le risposte armoniche dei singoli filtri e poi considerarne la relazione Z_tot = Z_v . Z_v''. Per l'ultimo bipolo la risposta armonica è:

Z_v'' = _RL/^{R₃ + R_L} × ₁/^{1 + j ω/ω₃} con ω₃ = _{R3 + RL}/^{C₂ × R₃ × R_L}

Effetti di carico nei filtri passa alto e passa basso

Dove non si tengono conto degli effetti di carico è normale perché il filtro passa basso sta alla fine della cascata. Diverso è il discorso per il filtro passa alto; infatti:

2V' = V_in^' / V_in dove V_in^' è vista come la tensione sul carico costituito da:

Z = R₂ || (R₃ + ₁⁄_jωC2 || R_L) = R₂ || (R₃ + _RL⁄_{RL + 1⁄jωC2) = R2 || (R3 + RL⁄1 + jωC2RL)}

In questo modo per il primo bipolo si tiene conto degli effetti di carico dovuti alla presenza del secondo bipolo a valle della rete in esame. La risposta armonica 2V' senza tener conto degli effetti di carico, è:

2V' = _R2⁄_{R1 + R2 1}⁄_{1 - jω²ω}

Sostituendo a R₂ il carico analizzato prima, otteniamo l'espressione analitica corretta di 2V'. La risposta armonica totale tenuto conto degli effetti di carico sarà:

2V_tot. = _R2⁄_{R1 + R2 || Z 1}⁄_{1 - jω²ωω RL}⁄_{R3 + RL + 1⁄1 + jω2 ω}

Semplificazioni nei calcoli

Il disaccoppiamento tra i due stadi permette di semplificare i calcoli per R₂<<R₃. Ci permette di scrivere la 2V_tot senza tener conto degli effetti di carico, di esprimerla come prodotto dei singoli guadagni dei due filtri per R₂<<R₃.