Segnale a banda stretta, generalizzazione concetti onda piana caso di propagazione arbitraria ed altro

UNA STRUTTURA GUIDANTE È UNA STRUTTURA FISICA CHE COSTRINGE L’ONDA

ELETTROMAGNETICA A PROPAGARSI LUNGO UNA DIREZIONE FISSATA.

Un particolare tipo di struttura è la guida d’onda.

Un esempio di struttura guidante è un cavo coassiale.

Nei circuiti abbiamo la versione planare del cavo coassiale detta stripline (linea a striscia)

E’ più fattibile creare però una microstriscia

Le guide d’onda metalliche sono guide d’onda cave (sono tipicamente vuoti)

14

Fissiamo un sistema di riferimento con l’asse z coincidente con la direzione prefissata:

UNA GUIDA D'ONDA È UNA PARTICOLARE STRUTTURA GUIDANTE LA CUI SEZIONE

TRASVERSALE È INVARIANTE CON Z.

Sostanzialmente un tubo a sezione trasversa costante (ovvero a diametro costante) è una

guida d’onda.

Un tubo che si “svasa” non e’ una guida d’onda ma resta una struttura guidante,

perché non è a sezione trasversa invariante con z (direzione longitudinale).

NOTA:

Direzione z = direzione longitudinale

Piani perpendicolari a z = piani trasversali

Fine nota

Ora possiamo dire che in base alla definizione detta, LE LINEE DI TRASMISSIONE (cavo

coassiale,stripline ecc) SONO PARTICOLARI GUIDE D'ONDA LA CUI SEZIONE TRASVERSALE

È MOLTEPLICEMENTE CONNESSA (cioè ha due contorni ovvero due conduttori).

Un dominio è detto SEMPLICEMENTE CONNESSO se una qualunque linea chiusa può

essere contratta fino ad un punto restando sempre nell’insieme.

Se non è possibile per qualunque linea chiusa appartenente all’insieme contrarla fino a

renderla un punto rimanendo nell’insieme si dice che l’insieme è MOLTEPLICEMENTE

CONNESSO.

Detto in altri termini una sezione trasversale è molteplicemente connessa se presenta dei

buchi (es cavo coassiale).Mentre le guide d’onda rettangolare/circolare sono sezioni

semplicemente connessi.

Una guida d’onda ideale è una guida d’onda dove le parti in metallo sono dei conduttori

elettrici perfetti e le parti in dielettrico (isolanti) sono di dielettrico perfetto quindi senza

perdite.

15

310321

Consideriamo delle GUIDE D'ONDA METALLICHE IDEALI ovvero guide d'onda riempite di

dielettrico senza perdite e con pareti di conduttore elettrico perfetto.

Siamo interessati a studiare come si propaga il CAMPO ELETTROMAGNETICO all’interno di

una guida d’onda.

Dobbiamo risolvere l’EQUAZIONI DI MAXWELL in assenza di sorgenti.

Consideriamo l’equazione ai rotori perché le altre due si ricavano.

Consideriamo le equazioni di Maxwell nel dominio dei fasori in assenza di sorgenti e per

MEZZI LINEARI, ISOTROPI, NON DISPERSIVI E OMOGENEI:

Visto che abbiamo una direzione longitudinale,scomponiamo i campi e le equazione di

maxwell in componenti lungo la direzione z (direzione Longitudinale ) e lungo x e y

(componenti trasversali).

Scriviamo

Il rotore di H si calcola in modo analogo.

Poniamo

Dove

sono le componenti trasversali di campi elettrico e magnetico e dell’operatore nabla.

Proiettiamo le equazioni di Maxwell sull'asse z (considero la parte longitudinale delle

equazioni di Maxwell).

Cominciamo dalla prima:

Riscrivo il primo membro:

(alla fine ho “-” perché ho moltiplicato per -1 e ho invertito il prodotto vettoriale)

La 1° equazione di maxwell diventa

Con un procedimento analogo (senza moltiplicare per -1) otteniamo la 2° equazione

16

Ora tenendo presente il sistema

consideriamo le componenti trasversali dell'equazione di Maxwell (cioè sul piano XY).

Ciò può essere fatto moltiplicando vettorialmente entrambi i membri di ciascuna equazione

per i .

z

Considero la prima equazione.

Calcoliamo il prodotto vettoriale tra il rotore di E per i ,

z

Poi poichè

Al 1° membro avremo:

Al secondo membro avremo che

Ho solo la componente trasversa di H perché quella longitudinale non ha nessun effetto

(ruolo) in Hxi (la componente su z è nulla).

z

Alla fine abbiamo che:

Con un procedimento simile avremo la seconda equazione di maxwell

In conclusione riscriviamo le equazioni di max in un sistema

(cosi scritte sono dette

EQUAZIONI DI MARCUVITZ-SCHWINGER)

17

A queste equazioni di Maxwell va aggiunta la condizione al contorno perché le dobbiamo

risolvere all’interno di una guida d’onda (ad esempio nella regione determinata da un

conduttore elettrico perfetto con sezione trasversa circolare/rettangolare).

L’onda si propaga all’interno della guida e dobbiamo risolvere maxwell all’interno della

guida.

La CC è :

Separiamo le componenti trasverse e quelle longitudinali

1)

2)

Analizzo la 1

E non ha componente longitudinale e quindi non ha componente su z.

t

Sia i che E giacciono sul piano trasversale e quindi il loro prodotto vettoriale con i è nullo.

n t Z

Ora per la proprietà del prodotto misto di invarianza rispetto a permutazione ciclica si ha

i Xi =i

z n c

Per quanto riguarda la seconda

perché E è tangente al contorno

z

Date le CC,SCRIVO I CAMPI COME MOLTIPLICAZIONE TRA UNA FUNZIONE DIPENDENTE DA z

E UNA DIPENDENTE DA x,y

Le soluzioni espresse in questa forma fattorizzata vengono dette “modi”.

V ed I sono dette FUNZIONI SCALARI DI MODO, mentre e ed h sono dette FUNZIONI

VETTORIALI DI MODO.

18

Sostituendo queste relazioni nelle equazioni di Maxwell

Dalle ultime due equazioni isolo E ed H ,sostituisco tali valori nella 1° e 2° equazioni e

Z Z

sempre qui sostituisco E ed H .Alla fine ottengo

t t (min

32-38)

La terza e la quarta equazione mostrano che dalla fattorizzazione delle componenti

trasversali dei campi consegue quella delle componenti longitudinali e quindi degli interi

campi.

L’importanza delle soluzioni fattorizzate ,ossia dei modi, è che

UN QUALUNQUE CAMPO ELETTROMAGNETICO (EM) ALL’INTERNO DELLA GUIDA PUÒ

ESSERE ESPRESSO COME SOVRAPPOSIZIONI DI MODI.

Esistono 3 tipi di modi. →questi

Una prima classe è fatta da campi per i quali E ed H sono =0 campi sono detti

z z

campi TEM . →questi

Una seconda classe è composta da campi dove solo E =0 campi sono detti trasversi

z

elettrici (TE). →questi

Una terza classe è composta da campi dove solo H =0 campi sono detti trasversi

z

magnetici (TM).

Tali campi sono la sovrapposizione ,rispettivamente,di modi TEM,TE,TM.

19 STUDIAMO I MODI TEM.

Nel sistema 1.b poniamo E ed H =0

z z

Resta solo una CC perché E =0 ovunque.

z

Risolviamo la 1° equazione scrivendo le dipendenze dei campi per x e y e poi isoliamo il

ⅆ

−

primo membro dividendo per “ ” :

ⅆ

Questa equazione deve essere soddisfatta per ogni x,y,z.

Ora poiché il primo membro dell’equazione non dipende da z,affinchè l’equazione sia

soddisfatta, anche il secondo membro non deve dipendere da z. Di conseguenza

è una costante e tale costante la chiamo A.

Ottengo di conseguenza

Se moltiplico vettorialmente per i avremo

z

(al secondo membro abbiamo usato la proprietà del prodotto vettoriale misto)

NOTA Ipotizzo o che

Sfrutto la 4° eq delle

onde i ∙h=0

z

O Perché siamo nel

modo TEM

20

Ora sostituendo,le prime due equazione diventano

(2.a)

(queste equazioni sono dette equazione delle linee)

L’andamento con z dei campi,data da V(z) ed I(z),può essere determinato risolvendo questa

coppia di due equazioni nelle due incognite V(z) ed I(Z).

NOTA (min 1:12:00):

Se sostituisco V(z) con E e al posto di I(z) metto H otteniamo l’equazione trovate per le

x y

onde piane, a parte la costante A.

Fine nota.

Per i campi TEM è possibile definire una ddp.

Possiamo osservare che per campi TEM il campo elettrico ha circuitazione nulla sulla

sezione trasversale (se considero curve chiuse che giacciono sulla sezione trasversale)

con L curva chiusa (contorno della spf S) giacente nel piano trasversale ed S la regione di

tale piano delimitata da L.

E coincide con E che poi vado a sostituire come in precedenza.

t

V sarà costante su tutto l’integrale.

Poi sostituisco e con la 1°equazione di maxwell in forma integrale

(i è la normale alla spf) (min 1:17:00)

z

Poiché H è tutto trasverso,si ha che l’integrale è nullo.

Quindi e è un campo conservativo, di conseguenza lo possiamo scrivere come il gradiente di

una funzione scalare.

Quindi esiste una funzione scalare “Φ” tale che

(metto il segno “-” per convenzione)

Inoltre essendo conservativo ha rotore nullo

(il gradiente di un rotore è nullo se è solo se un campo conservativo è irrotazionale).

In generale il campo elettrico è conservativo solo a frequenza 0 ma se il campo è TEM allora

anche a frequenza non nulla la circuitazione è nulla se la curva appartiene ad una sezione

trasversa.

Ora consideriamo la terza equazione di Marcuvitz_Schwinger (dove poi andremo a

sostituire il valore di e) (ho calcolato la divergenza della parentesi)

→

Poiché i è un vettore costante (essendo un versore) il suo rotore è nullo

z

Quindi (ho sostituito il valore di e , inoltre sapendo che il rotore di e è nullo, ottengo 0)

21

Ora tramite la 4 equazione vediamo come deve essere fatta Φ.

Quindi consideriamo la 4 equazione di Marcuvitz-Schwinger (dove poi andremo a sostituire

il valore di e), e consideriamo il legame tra e ed h

sostituiamo il valore di e

se ricordiamo quella divergenza produce il laplasiano,quindi

Questo che abbiamo ottenuto è l’equazione di LAPLACE (laplass), le soluzioni di tale

→

equazione sono dette soluzioni armoniche Φ è una soluzione armonica.

Se trovo Φ (phi) trovo e ,poi dall’ equazione

Troviamo h.

NOTA:

una delle proprietà delle funzioni armoniche e che esse assumono il loro valori massimo e

minimo sul contorno del dominio sul quale sono definite.

Se Φ è una funzione armonica reale, essa assume il valore massimo e minimo sul contorno

del dominio sul quale è definita.

Se il dominio →

è la parte azzurra il max e min sono punti che appartengono al contorno.

Anche se Φ è complessa vale ciò perchè la parte Re e Im soddisfano laplace.

(min 1:34:00 fa un discorso particolare se lo si vuole ascoltare)

Fine nota

Per trovare Φ,oltre all’equazione differenziale abbiamo bisogno della condizione al

contorno.

Ora i campi devono soddisfare le condizioni al contorno, nel caso TEM avremo c