Lezioni, Analisi e geometria II

Algebra Lineare

• Sistemi Lineari
  • Ogni riga di una equazione una e considerato la variabili Al numero avere la variabili somma molti ridursi ci un coefficiente in un
    • 2x + 3y - 7 x - y - 2
    • y - 3x - y - 3 2x + 3 (2 - x) / 3 - 7
  • Molti risposta una interiore uno trovare una numero delle altre per trovare numero un
    • 2x + 3y - 7 x - y - 2 - h
  • Si sottrici numero o numeri le due equazioni
    • 2x + 3y - 7 - 2x - 2y = h = 0 5y - 3
  • Si ordinare per eliminare le variabili si ottenere una tale solivoale
  • Se le equazioni sono uguali e si llamo anche certa addicione
  • Se le equazioni sono uguali come negativa come negativi coefficienti somma 3 in il somma una operazione eliminare dell'interno una come il

2x + 3y = 7

x + 3/2y = 7

Problemi con espressioni con le inequalità e 3 equazioni

R³

Π: ax + by + cz = d

n: (a, b, c)

Esempio

x + 2y + 3z = 6

Parametrizzazione

x = 6 - 2y - 3z

Il vettore

(x)_y(z)

(6 - 2t₁ + 3t₂)

(t₁)

(t₂)

= (6) + t₁ (-2) + t₃ (-3)

(0) + (1) (0)

(0) + (0) (1)

Con t₁, t₂ ∈ R

Può aiutare le soluzioni dipendenti solo nei due parametri t₁, t₂

V_n =

• l’insieme di t.c. reali si chiama Spazio Dimensionale n-dimensionale
• si indica con ℝⁿ

W_n =

V + W_n =

• Inoltre
• la λ ∈ ℝ

λV_n =

• scalare prodotto → definito tale che ℝⁿ :
• “legami nelle proprietà: commut., associativo ecc.

Il sistema assume la forma

Ax = b con b =

A definisce un'applicazione lineare x -

soluzione

Il sistema Ax = b con b:

è caratterizzato

Prodotto:

A

x Px A11 x1 + ... + A1n xn

Q21 x1 + ... + Q22 xn

Qn1 x1 + ... + Qnn xn

Si nota che xi

Trasformazioni elementari delle soluzioni

• SEMPLICE

x₁ = 3 x₂ = 2 x₃ = ? x₄ = ?

Esempio 3

x₁ + 2x₂ + 3x₃ = 7 x₁ + 2x₃ + x₄ = 6 x₁ + 2x₂ + 5x₃ = k

Con le matrici

(A|b) (   1  2  3  7    1  2  4  6    1  2  5  k)

(A₁|b₁) (   1  2  3  7    0  0  1  4    0  0  2  k+4)

Inversa di sistema

x₁ + 13 - 2 r₁ + a²r₂

x₂ = r₁

x₃ = 3 - 2 r₂   ∀ t ∈ ℝ

t x_n + 1 = 1 - r₂   ∀ t ∈ ℝ

• Sia r = r(A)   r = r(A|B)

• Risolviamo con lungo 3 casi

1. r = r^- r'

• Condizione una abitativa

1. A ≠ H (m,r)
2. A' (^aij) int... m

Inverso di una matrice 2x2

A = ( a b | c d )

• dove ad-bc ≠ 0
• det = ad-bc

A^-1 = ( d/(ad-bc) -b/(ad-bc) | -c/(ad-bc) a/(ad-bc) )

• Se A, B ∈ M(n,n) allora AB è invertibile implica A, B sono entrambe invertibili:
  1. il loro invero sarà (AB)^-1 = B^-1A^-1
• Infatti se A e B invertibili allora B^-1A^-1(AB) = B^-1(AB)B¹B^-1 = I
• B¹B^-1 = I
• Inverso se AB è invertibile allora ((AB)^-1A)B = (AB)¹(AB) = I cioè B è univocamente sinistro cioè B è invertibile. Analogamente in A

Le Matrici Triangolari

• Sia A ∈ M(n,n) e la matrice trasposta di A indica con A^T e quella matrice n x m ottenuta scambiando righe con colonne in A, in parole almeno si ha (A^T)_ij = A_ji

Proprietà

• (A + B)^T = A^T + B^T

(λ + μ)v = λv + μv

1 · 1λv = 1λv

1λv = 1v

Esempi:

1. ℝⁿ (spazio dinomiarico, moltiplicazione per scalari)
2. M(n,m) (spazio di matrici, moltiplicazione di matrici per scalari)
3. Spazio dei polinomi di grado ≤ n (p₁(x) + p₂(x) e definita in f per x, n, p₁(x) - attenzione!)
4. Spazio dei polinomi di grado qualsiasi
5. C([a,b])

Soluzione vettriale

• V⊂Vⁿ con V²⊂W tale che sia elementi neutro ∀ λα₁, α₂∈W¹ ∀ n₁, n₂∈R λ₁x₃ + λ₂x₄ = λ₃x₅ regre
• Inserire τ per calore due incòlnore bewoip, indicatore simplicaticare lexonna simpliciale lo stesso valall’appltradim di lagate operare fipe d
• Esempio
• V=ℝ²

· Banal

|f + g| ≤ |f| + |g|

all f, g ∈ due bicon spazio (v)

· Riesulta

[∫₀¹ (f(x) + g(x)) dx ]^1/2 ≤ (∫₀¹ f(x)² dx )^1/2 + (∫₀¹ g(x)² dx )^1/2

· E si

|f g| ≤ |f| |g|

· Banal

|∫₀¹ f(x)g(x) dx| ≤ (∫₀¹ f(x)² dx )^1/2 (∫₀¹ g(x)² dx )^1/2

· Definizione

· Sia V uno stior totale, siano dati reli attri b e b ... v_v ∈ V. Dico

det det il polo de la fini di finito per li fino de continuo

linos m₁ f ... + m_n f_n = 0 | m₁, ... , m_n ∈ R e m_n =

= 0

· Es

V = R² V₁, V₂ ∈ R

· V₁ e V₂ sono linearmente dipendenti se ∃ x₁, x₂ ∈ R t.c.

v_v1 + x₂ v₂ = 0 Casi x₁, x₂ sono nulli

=V₂W₁ + V₃W₁ + V₂W₁V₃W₁ + V₁W₃ - V₂W₁W₂W₁ - V₁W₃V₂W₁ + 0

Esempio:

(V₂ - V₃W₁)W₁ = (0, 1, -1) - (0, 1, -1) * (1/^V₂) * (1/^V₂, 0, -1/^V₂) * (1/^V₂, 0, -1/^V₂)

= (0, 1, -1) * (1/₂) * ((1, 1/2, 0) * (0, -1, -1) * (1/2, 0, -1/2)² * (1/2, 0, -1/2))

= (√^2/3)² = (1/√^{2, 1, -1/2)}

Sim √³ e V

- V₃ - (V₂W₁) = W₂ - (V₃W₁)W₂

Operazioni Lineare

- V₁, V₂ piu relazione tale che f(V₁) = V₂

Definizione

- Siano V₁ e V₂ piani relazioni e sia gi(f): f ∈ F₂. Si dice dipsi una funzione, applicazione o immerse lineare V₁ ∈ F₂ R₂ e F₂

f(V₁ + V₂) = f(V₁) + f(V₂)

- Sia gi Rⁿ -> R

f(x₁ + µy₁) = f(x₁) + µy_y)

f x, 1, µ y