Lezioni, Analisi e geometria II

Algebra lineare

Sistemi lineari

Data un'equazione ed un'equazione non risolvibile. Cerchiamo variabili e coefficienti

_{2x + 3y = 7
x - y = 2}

Si ottiene numeri in equazione con:

_{2x + 3y = 7
x - y = 4}

Numeri eliminano le equazioni sono uguali:

2x + 3y = 7
2x - 2y = 4

Se ottieni numeri e distinguere devi sommali... Se le posizioni sono uguali si trattano come divisori.

Due o più equazioni si dicono un sistema lineare quando hanno le variabili senza esponenti nei coefficienti numerici.

((2x + 3y = 7, x - y = 2), (y^-1(2-x)/3, 2x + 3(2-x)/3 = 7))

Nella risoluzione una delle due variabili si elimina usando scalarizzando rappresentando una delle equazioni.

(2x + 3y = 7, x - y)2 = 4

Si scalarizzano le due equazioni ed eliminando la variabile si ha:

2x + 3y = 7
- x - 2y = 4
_________
0 5y = 3

Si scalarizzano le due espressioni e si sostituisce il sistema in modo da eliminare una variabile.

-5 -3

Se le equazioni sono uguali il sistema sarà impossibile o indeterminato. Se le equazioni non sono uguali come numeri, ma uguali nei coefficienti numerici, il risultato del sistema sarà uno solo.

2x + 3y = 7
x + ³⁄₂y = 1

Sol = ∅

Problema con equazioni con 4 incognite e 3 equazioni

ℝ³Π. ax+by+cz=dn: (a, b, c)

Esempio:
x + 2y + 3z = 6

Parametrizzazioni:

x = 6 - 2y - 3z

Il vettore:
(^x⁄_y⁄^z⁄) = (⁶⁄_-2⁄³⁄^r_1r2) = (⁶⁄₀⁄⁰⁄) + ^r₁(^-2⁄₁⁄⁰⁄) + _r2(^-3⁄₀⁄¹⁄)

Con r₁, r₂ ∈ ℝ

Posso scrivere le soluzioni dipendenti solo dai parametri r₁, r₂

Dati
x + 2y + 32 = 6
2x - y + 2 = 2

- Se i due piani si intersecano, dammi coordinate così.

- Se sono paralleli non esistono soluzioni, sono 0.

2(x + 2y + 32) = 12
2x - y + 2 = 2

2x + 4y + 62 = 12
-2x - y + 2 = 2

0 + 5y + 52 = 10

Otteniamo:

5y + 52 = 10

Dividiamo per 5:

y + 2 = 2

Ricaviamo:

y = 2 - 2

Poniamo z = t

x = 2 - t
y = 2 - t
z = t

₍ ^{x y z} ₎ = _{( ^{2 2 0} )} + _{( ^{-1 -1 1} )t}

Dati:

x + 2y + 3z = 6
2x - y + z = 2
3x + 8y + 10z = 20

Sottrare come primo la terza alla 3° eq.

x + 2y + 3z = 6
-5y - 5z = -10
2y + z = 2

Sostituire il numero della 3° eq. qui col medesimo

x + 2y + 3z = 6
-5y - 5z = -10
-2 = -2
2 = 2

Otteniamo:

2 = 2
y + z = 2
x + 2y + 3z = 6
2 = 2
y = 0
x = 0

Dati:

x + y - λz = 1
2x + 3y - λz = 2
5x - 3y - λz = 5

Traiamo una prima ridotta:

x + y - λz = 1
y - 2z = 0
-2y + λz = 0

Svolgendo:

x + y - λz = 1
y - 2z = 0
y - 2z = 0

che diventa simile amplificando per 8

Le equazioni di parametri sono infatti le rette di una fascia di fasci isoclinica:

1. x + y - λz = 1
2. y = 2z
3. x + 2z - λz = 1
4. y = 2z
5. x = 2z + 1

Poniamo z = t con t ε R

( x ₀ ) = ( 1 + 2t ) - ( 1 ) + ( 2 )
( y ₀ ) ( 2t ) ( 0 ) ( 2 )
( z ₀ ) ( t ) ( 0 ) ( 1 )

Nel caso di 3 incognite

V_n l'unione di n-tuple reali si chiamano Spazi Dimensionali n-dimensionali così indicati con ℝⁿ

WV + W = inoltre α