Lezioni, Analisi e geometria 2

Analisi e Geometria 2

Spazi Vettoriali

Esempio di numeri reali: n numeri reali ordinati (si possono chiamare vettori)

_x1

_x2

_xn

Operazioni con i vettori:

• somma:

_{x1 + y1}

_{x2 + y2}

_{xn + yn}

• prodotto per uno scalare:

_λx1

_λx2

_λxn

• proprietà associativa
• proprietà commutativa
• elemento neutro
• elemento opposto

_-x1

_-x2

_-xn

• proprietà distributiva

scalare x vettore

scalare x scalare

vettore + vettore

Ciò che caratterizza uno spazio vettoriale è la validità di queste proprietà.

Esistono anche spazi di funzioni

spazio di funzioni

suggerisce che f: A -> R

somma: (f+g)(x) = f(x) + g(x)

prodotto per scalare: (λf)(x) = λf(x)

è uno spazio vettoriale

Combinazione lineare

γX + βY => combinazione lineare dei vettori X e Y

coefficienti o pesi della combinazione lineare

es: 2₁ -1₂ 3₃ + 3_-1 1₅ -2₇ = 1₁ 0₀

La combinazione lineare può essere fatta con più vettori:

λ₁X₁ + λ₂X₂ + ... + λ_KX_K = Σ λ_i X_i

La combinazione lineare dei vettori X₁, X₂,... X_K, secondo i pesi o coefficienti λ₁, λ₂,..., λ_K

Dipendenza e Indipendenza lineare

(pag. 60)

È un concetto valido solo per un insieme di vettori dello stesso spazio vettoriale

Si dice che due o più vettori sono linearmente dipendenti se almeno uno di essi può essere scritto come combinazione lineare degli altri

es:

(1 0 0) (0 1 0) (0 0 1)

sono linearmente indipendenti

altra definizione: due o più vettori si dicono linearmente dipendenti se esiste una loro combinazione lineare a coefficienti non tutti nulli che dà come risultato il vettore nullo

Se è presente il vettore nullo, il gruppo di vettori è senz'altro linearmente dipendente

due vettori dipendenti son paralleli (uno è multiplo dell’altro)

es:

a (-1 2 3) + b (4 1 1) + c (0 0 0) = 0 (0 0 0)

MATRICI

Una matrice è una tabella di numeri

T = Trasposto (si scambiano le righe con le colonne)

Operazioni con le matrici: somma (elemento per elemento), prodotto per uno scalare

(Le operazioni con i vettori sono casi particolari delle operazioni con le matrici)

Dimensione dello spazio formato da una matrice m x n

Prodotto tra matrici = generalizzazione del prodotto scalare tra vettori

La prima matrice può essere vista come tanti vettori in riga, la seconda come tanti vettori in colonna

Il prodotto tra matrici è detto anche definito come una serie di prodotti scalari tra vettori.

L'insieme dei vettori è un sottospazio vettoriale.

Può calcolare la dimensione se il vettore è di dimensione n.

Base ortonormale

vettori di modulo 1 (versori) a due a due perpendicolari.

Esempio: ex ² + y² + z²

Funzioni lineari

Lineari: concetto di proporzionalità diretta fra due grandezze.

La linearità gode di due proprietà: addittività e omogeneità.

f: R -> R dice lineare se soddisfa queste due proprietà:

• addittività: f(x₁ + x₂) = f(x₁) + f(x₂)
• omogeneità: f(λ ⋅ x) = λ ⋅ f(x)

Passiamo a funzioni in R^m:

f: R -> R^m associa ad un vettore di n elementi, uno di m elementi: addittività: f(x₁ + x₂) = f(x₁) + f(x₂), ∀x₁, x₂ ∈ Rⁿ

omogeneità: conservazione del prodotto scalare vettore f(λ ⋅ x) = λ ⋅ f(x), ∀x ∈ Rⁿ, ∀λ ∈ R

Una funzione lineare conserva le combinazioni lineari:

f(α ⋅ x₁ + β ⋅ x₂) = α ⋅ f(x₁) + β ⋅ f(x₂), ∀x₁, x₂ ∈ Rⁿ, ∀b, β ∈ R

La lineare, riassume le due proprietà di addittivit e omogeneità.

ex.

= 1·(-1)·2·3 = -6

matrici diagonali → tutti gli elementi nulli tranne quelli nella diagonale principale (caso particolare di matrici triangolari) → il determinante è calcolato alla "brute mode"

det(λ·A) = λ^m · det A  (A = m x m)   matrici

Teorema di Binet → legge il determinante di prodotto dei V

"se prendiamo gli elementi di una riga (colonna) e ad essi sommiamo un combinazioni lineare dell'altra riga (colonna), il determinante non cambia"

In virtù di questo ogni matrice può essere ricondotta ad una triangolare e il modo più semplice di ridurla è det. zero

ex.

= | 1 -1 2 | 0 -4 -2 -7 -14 | = 14 - 14 = 0

trasformazione

|det A| dove A è la matrice della trasformazione

il determinante è il coefficient di dilatazione della area (da R² a R²) dei volumi | da R³ a R³

ex. Y = m x R → Rⁿ

m è il coefficient di dilatazione lineare (occorrenza di unità di misura)

Rango di una matrice (P 88-89)

significato → il rango di una matrice è il massimo numero di righe o di colonne linearmente indipendenti

detta una matrice m x n | vettore-riga = n - vettori colonna Cim. indipt. | Cim. indip.

ex.

le due colonne sono linearmente indipendenti, le righe linearmente indipendenti sono al massimo 2°, perché 3° è vettore di 2° posso di sicuro linearmente dipindenti → rango = 2

determinare la dimensione del nucleo f e della sua immagine; descrivere poi nucleo e immagine della funzione lineare

f(x, y) = ² _{3 -1} ³ _{0 1} fi: R² —> R³

dim Immagine = rango matrice = 2

d|Ker| + d|Imm.| = d|spazio arrivo| —> N = { ⁰ ₀ }

2 l'immagine de f generato dai vettori colonna della matrice

W = ¹ _{-1 -1} U = 2 ²+^β ₃+_β (un piano per O in R³)

U=2α+^β U=2α+^β 2=(U－W)/2 W=3α－β ^U－β W=^β

W= ^{3U－3U+5W－} ₂

^2U－3U+5W= è il piano immagine de ₂

A= ⁷ _{5 2 4} ^-1 _-3 N=nucleo

allora:

• N⊂R³ dim(W) = 2 No
• N⊂R³ dim(W) = 1 OK
• N⊂R³ dim(W) = 0 No
• N⊂R² è limitata

ESERCITAZIONE 14/03/2008

f R^m → R^m →A = (m, m) f(x) = A・x

E¹ _¨

A = { f(el)...f(en) }

es. f(x,y,z) = ^x+2y－z _3x－y ^2y+3z f: R³ → R³

A= ¹ _{3 0 2 -1} ³ _{2 3} X Y Z