Lezioni, Analisi e geometria 2

Analisi e geometria

Spazi vettoriali

Ensemble di numeri reali: n numeri reali ordinati

X = ( x₁, x₂, ..., x_n )

Rⁿ = insieme formato dalle n-uple ordinate di numeri reali

Operazioni con i vettori

Somma: X + Y = ( x₁ + y₁, x₂ + y₂, ..., x_n + y_n )

Prodotto per uno scalare: λ X = ( λ x₁, λ x₂, ..., λ x_n )

Proprietà degli spazi vettoriali

• Proprietà associativa: (X + Y) + Z = X + (Y + Z)
• Proprietà commutativa: X + Y = Y + X
• Elemento neutro: X + 0 = X
• Elemento opposto: -X = ( -x₁, -x₂, ..., -x_n )
• Proprietà distributiva:
  • (λ + β) X = λ X + β X
  • λ (X + Y) = λ X + λ Y
• λ · X = XCio che caratterizza uno spazio vettoriale è la validità di queste proprietà. Pertanto un insieme è detto spazio vettoriale se gode di queste proprietà per somma vettoriale e prodotto scalare per vettore.

Esistono anche spazi di funzioni.

Esempio di numeri reali

n numeri reali ordinati (si possono chiamare vettori)

Rⁿ = insieme formato dalle n-uple ordinate di numeri reali.

Operazioni con i vettori

Somma: X + Y = (x₁ + y₁, x₂ + y₂, ..., x_n + y_n)

Prodotto per uno scalare: λ·X = (λ·x₁, λ·x₂, ..., λ·x_n)

Proprietà degli spazi vettoriali

• Proprietà associativa: (X + Y) + Z = X + (Y + Z)
• Proprietà commutativa: X + Y = Y + X
• Elemento neutro: 0+X=X
• Elemento opposto: -X = (-x₁, -x₂, ..., -x_n)
• X + (-X) = (-X) + X = 0
• Proprietà distributiva:
  • λ·(β·X) = (λ·β)·X
  • (λ + β) · X = λ · X + β · X
  • λ · (X + Y) = λ · X + λ · Y
  • 1 · X = X

Ciò che caratterizza uno spazio vettoriale è la validità di queste proprietà. Pertanto un insieme è uno spazio vettoriale se gode di queste proprietà per somma vettoriale e prodotto scalare per vettore.

Esistono anche insiemi di funzioni.

Combinazioni lineari e vettori fondamentali

Il numero di vettori linearmente indipendenti non può superare il numero delle componenti: in R³, quattro o più vettori risultano essere linearmente dipendenti. Ogni vettore può essere scritto come combinazione lineare di tre versori fondamentali:

X =| X₁ || X₂ || X₃ |

• = X₁ | 1 || 0 || 0 |
• + X₂ | 0 || 1 || 0 |
• + X₃ | 0 || 0 || 1 |

= X₁ i + X₂ j + X₃ k

Lo stesso ragionamento può essere fatto in Rⁿ (n versori fondamentali):

• e¹ =| 1 || 0 || 0 |...
• eⁿ =| 0 || 0 || 1 |

X = X₁ e¹ + X₂ e² + ... + X_n eⁿ = ∑_i=1ⁿ x_i. eⁱ

Sottospazi vettoriali

Un sottosistema di uno spazio vettoriale si dice sottospazio vettoriale se, considerato da solo, è anch'esso uno spazio vettoriale e chiuso rispetto alle operazioni di somma tra vettori e prodotto vettore x scalare.

∀ X, Y ∈ S∀ α ∈ RX + Y ∈ Sα. X ∈ S

Chiusura del sottosistema rispetto alle operazioni suddette. Altro modo per definire un sottospazio:

∀ X, Y ∈ S∀ α, β ∈ Rα x + β . Y ∈ S

(una qualsiasi combinazione lineare di elementi che appartengono al sottospazio, devono ricorrere nel sottospazio stesso)

Esempi di sottospazi

Ex. R³| x || y || z |z = 0 =iamo x, y è un sottosistema di P³ ed è un sottospazio vettoriale

Ex.p:^{A R} → R l'insieme delle funzioni continue è un sottospazio, ed è un esempio con lo spazio di funzioni

C(A) → insieme delle funzioni continue e definite in A

C¹(A) → insieme delle funzioni derivabili