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Ambiente Considerabile
R
Campo ordinato dei numeri reali:
Si tratta di un insieme dotato di due operazioni binarie goduto con due numeri in nome associato un terzo.
- Anche Q è un campo ordinato
- Agli scopi dell'ingegnere l'ambiente è spesso se non sempre sufficiente
Sia E ⊆ R E≠0
- E è un insieme limitato superiormente, ovvero:
X≤M per ogni X∈E
M è definito MAGGIORANTE
- Esempio
- E1: {X∈R: 2 0
Reciproco
(a² + b²), (0, -b)
Si ottiene un campo dei numeri complessi con i simboli C
Convenzioni:
- ⟶ t
- ⟶ .
- (0; t) ⟶ i
- (a; 0) ⟶ a
Oss.:
(0, 1) ⊞ (0, -1) = i ⋅ -i = -1
i² = -1
et z = (a, b) = (a, 0) ⊞ (0, 1) (b, 0)
a + ib
C contiene un sotto campo coppie della forma (a; 0) che è formalmente identico a R (isomorfo)
In pratica C contiene R.
Esempi
iz + 1 + 2i + 2
ρ = 3√2
Parte reale
θ = π/3 + k2πi/3
K = 0,1,2
- k = 0
θ0 = π/9
z0 = 3√2 [cosπi/9 + i sinπi/9]
- k = 1
θ1 = 7π/9
z1 = 3√2 [cos7πi/9 + i sin7πi/9]
- k = 2
θ2 = 13π/9
z2 = 3√2 [cos13πi/9 + i sin13πi/9]
OSS: Le tre soluzioni vanno a formare un triangolo equilatero.
Ogni nuovo cerchio ha il suo centro.
x |⟼ f(x)
N.B.: Si compatta con g{x_2...
Funzione lineare
Ipotex. 1: x_1 + x_2 ⟼ f(x_1) + f(x_2) ∀ x_1, x_2 ∈ E
(f(x_1), f(x_2)) ⟹ x_1 - x_2
E ⟼ g(E)
f(E) ⟼ f⁻¹ E
Teoremi
- Teorema di unicità del limite
Siano:
E ⊆ R, f : E → R, x0 ∈ E', l1, l2 ∈ R*
Allora
- {f(x) → l1 per x → x0} {f(x) → l2 per x → x0} → l1 = l2 (il limite è unico)
Dimostrazione
- Allora ∃ due intorni V1 e V2 di l1 e l2 t.c. V1 ∩ V2 = ∅
- f(x) → l1 per x → x0 ↔ ∀ intorno V1 di x0 ∃t.c. ∀x ∈ E \ {x0} x ∈ U1 allora f(x) ∈ V1.
- f(x) → l2 per x → x0 ↔ ∀ intorno V2 di x0 t.c. ∀x ∈ E \ {x2} x ∈ U2 allora f(x) ∈ V2.
- Poniamo U = U1 ∩ U2 disequivalente ∀x ∈ E \ {x0} x ∈ U allora f(x) ∈ V1 e f(x) ∈ V2 che è una palese contraddizione, quindi V1 ∩ V2 ≠ ∅.
OSS3
f(x) = o(1) ↔ f(x) → 0
|f| < x − x0
OSS4
Se f(x) → 0 per x → x0 (con a ε R) allora f(x) − a → 0 per x → x0. Se
quindi f(x) − a = o(1) per x → 0, cioè f(x) − a + o(1) per x > 0, ni
meno f(x) = a + o(t) per x → x0. allora f(x) → a per x → x0.
Il simbolo di uguaglianza asintotica
f(x) e g(x) definiti num. ≠ 0 per x → x0.
f(x) ~ g(x) per x → x0 significa f(x)
OSS1
f(x) ~ f(x) un folta f(x)⁄f(x) → 1
OSS2
g(x) ~ g(x) g(x) g(x)
OSS3
- f(x) ~ g(x)
- g(x) ~ h(x)
⇒ f(x) ~ h(x) un folta f(x)⁄h(x)² f(x)⁄g(x) g(x)⁄h(x) → 1, 1 = 1
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