Lezioni, Analisi e geometria I

Ambiente fondamentale

Campo ordinato dei numeri reali

Si tratta di un insieme dotato di due operazioni binarie che permettono, con due numeri in esso associati, di ottenere un terzo. Anche Q è un campo ordinato. Agli scopi dell'ingegnere, l'ambiente è spesso, se non sempre, sufficiente. Sia Σ ⊆ R Σ ≠ ∅.

Un numero H è limitato superiormente se:

• X ≤ H per ogni X ∈ Σ.

H è definito maggiorante.

Esempi

1. E₁: { X ∈ R : 2 < X < 3}² (2, 3). E₁ risulta limitato superiormente.
2. E₂: {0, 1, 2, 3, ...} non ci sono maggioranti: Non è limitato superiormente bensì inferiormente.

Ambiente fondamentale

Complesso ordinato dei numeri reali

Sistemi di un insieme dotato di due operazioni binarie che godono di due numeri reali associati a un terzo. Anche Q è un esempio ordinato. Agli scopi dell'ingegnere, l'ambiente è pressoché, se non sempre, sufficiente. Sia \( \Sigma \subseteq \mathbb{R} \) \(\Sigma \neq \varnothing \).

È un insieme limitato superiormente, cioè: \( x \leq H \) per ogni \( x \in \Sigma \). È definito maggiorante.

Esempi

• \( E_1: \{ x \in \mathbb{R}: 2 \).
• Un insieme analogo senza limiti inferiori a tutto l'insieme di R è pertanto facile da trovare.
• Un insieme limitato con eventi in un segmento è limitato sia inferiormente sia superiormente. Dunque, m < x < M per ogni x &in; E.
• E = [m, M].
• Si dice un evento e nell'insieme E un numero maggiore di tutti gli altri. M &in; E | x ≤ M per ogni x &in; E. Se M &in; E ed è unico, si indica con il simbolo "max E".
• Analogamente è definito il minimo. Se E è limitato superiormente, l'estremo superiore è "sup E" e maggiore di max E. Il "sup E" è presente in ogni intervallo limitato superiormente. Analogamente è definito l'estremo inferiore E.

E ⊂ R. E = Ø; y ∈ Ry = sup E ↔ {
1) x ≤ y   ∀ x ∈ E
2) z z non è un maggiorante di E
y = inf E ↔ {
1) y ≤ z   ∀ x ∈ R
2) y z non è un minorante di E
Ogni insieme di R limitato superiormente ha un estremo superiore, una situazione analoga si ha col limite inferiore. In Q non vale.

E = { x ∈ R: x ≥ 1/N, N ∈ N - {0} } = { 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5 }. max E: sup E = 1, inf E = 0. A insieme dei maggioranti di E, B insieme dei minoranti di E.

Esempio

E = {x ∈ Q, x > 0, x² < 2}. x = ^m⁄_n con m, n interi positivi non entrambi pari. (^m⁄_n)² = 2 = m² = 2n² ⇒ m² pari ⇒ m pari ⇒ m = divisibile per 2 ⇒ n² pari ⇒ n pari. Assurdo. In Q non esistono numeri che hanno come quadrato 2, non ci sono paragoni. L'insieme Rivolto dei "buchi" perché gli mancano alcuni numeri, in realtà R è contenuto. Ampliato il calcolo più potente. Essenziale per l'analisi dei problemi. Per la risoluzione di problemi di analisi:

• Uccidete Q
• Unire R
• Interpolare i risultati in A
• Approssimare

Simbologia

Fattoriale:

• n: intero positivo
• n! = 1 · 2 · 3 · 4 ... n
• es. 4! = 2 · 4 · 2 · 2 · 3 = 1 · 2 · 3 · 6, 4! = 3 · 6! = 6! · 4 = 24

Definizione ricorsiva di fattoriale:

• 0! = 1
• (n+1)! = n!(n+1)

Calcoliamo: Permutazioni semplici

Dati: n posti e n oggetti

Risultato: n!

Permutazioni semplici ovvero la disposizione di n oggetti in n posti senza ripetizione - numero di combinazioni possibili

Disposizioni semplici di elementi

Dati: 0 < K ≤ n posti, n oggetti distinti

Risultato: D_n,k = n(n-1)(n-2)(n-3)...(n-K+1) = (n!)/(n-K)! K fattori

Nel caso in cui K = n allora 0!n! = 1 -> problema

Disposizioni con ripetizione

Dati: K posti, n oggetti

Ovvi: n e K numeri interi positivi di valore qualunque

Risultato: D*_n,k = n^k

Coefficiente binomiale di Newton

Dati: n numero in