Lezioni, Geometria 3

GEOMETRIA 3

Fino Anna Maria

• curve differenziabili in Rⁿ (caso dello spazio e del piano)
• forme differenziali in Rⁿ
• superfici differenziabili in R³

3 Marzo 2016

Una curva parametrizzata differenziabile è una funzione γ ∈ C^∞

γ: (a,b) (eventualmente con a,b = ±∞) ⟶ Rⁿ t ⟼ γ(t)

• Traccia di γ = γ⦉(a,b)⦊
• γ si dice regolare in t₀ ∈ (a,b) se γ'(t₀) ≠ 0
• γ si dice regolare se è regolare in ogni t ∈ (a,b)

Indichiamo con (x₁, x₂, ..., x_n) le coordinate cartesiane in Rⁿ

⇒ γ(t) = (x₁(t), ..., x_n(t))

Nel caso speciale in cui n=2 si parla di curva parametrizzata

nel piano e nel caso in cui n=3 curva parametrizzata nello spazio.

Il vettore γ'(t) si cerca, si dice il vettore tangente a γ nel punto γ(t) (per γ regolare), viene anche detto vettore velocità ||γ'(t)|| tiene della velocità della curva int

La retta tangente alla curva γ in γ(t₀) è la retta per γ(t₀) e parallelo al vettore γ'(t₀)

Se S⊆Rⁿ (strana cosa) si dice una curva parametrizzata se S=γ⦉(a,b)⦊ (immagine inversa γ di (a,b))

Esempi (curve parametrize differentiabili)

1. retta in Rⁿ (in particolare R² e R³)
2. circiferenca nel piano R² al centro (o,o) e raggio r

γ: t ⟼ (rcost, rsint) ∈ R

Possono anche coincidere γ≠γ₀ e avere un'altra parametrizzazione

δ(t) = {rcos(kt), rsin(kt)}

• γ e δ hanno la stessa traccia
• ma una percorre con velocità diversa
• |δ'_γ(t)| ≠ |δ_{_B}'(t)|

3. Ellica circolare nello spazio R³

δ(t)=(a cos t, a sin t, bt)

a, b > 0

dove a è il raggio dell'elica

b è quello che si chiama passo dell'elica

4. Curva non regolare ★

δ': ℝ → ℝ² ; t ↦ (t³, t₂)

che non è regolare nell'origine

5. Sia f: (a, b) → ℝ ; t ↦ F(t)

Grafico di t' = {t, F(t)} t ∈ (a, b)

⇒ si tratta di una curva parametrica differenziabile

si tratta di curve cartesiane

ESERCIZIO

1. Determinare la retta tangente all'elica circolare δ(t)=(a cos t, a sin t, bt) nel punto generico δ(t)

tale che δ(t)=(a sin t, a cos t, b)

retta tangente in δ(t) =

• x = a cos t - (a sin t)λ
• y = a sin t + (a cos t)λ
• z = bt + bλ

Se calcoliamo dS/dt = ||γ'(t)|| (ovvero S(t)) è una primitiva di ||γ'(t)||

γ'(t) ≠ 0 ⇒ S(t) è una funzione strettamente crescente ⇒ invertibile

fissata S(t) la funzione S(t) è invertibile e quindi è possibile esprimere S = S(t) ⟺ t = t(S)

Se scelgo δ(t) invece che γ(t) come argomento cosa cambia? ⇒ ottengo una nuova ascissa curvilinea, S₁(t)

⇒ la nuova ascissa curvilinea si differisce da S(t) per la costante data dalla lunghezza dell'arco δ(t₀) = P₀ e δ(t₁) = P₁

t = t(s) ⇒ una curva regolare può essere riparametrizzata rispetto all'ascissa curvilinea

⇒ non mi importa il punto di origine!

PROPRIETÀ

Una curva riparametrizzata rispetto all'ascissa curvilinea S ha velocità unitaria

dγ/ds = dγ/dt / dS/dt = γ'(s) / ||γ'(t)|| = γ'(s)/|γ'(s)| = 1

⇒ 0 ≤ |γ'(s)| γ'(s) ∀ s

ESERCIZIO

Data γ(t) = (1 + cos t + 2sen t, 2 - 2 cos t - sen t, 3 + tcos t - 2sen t) t ∈ [0, 2π]

Calcoliamo la lunghezza d'arco della curva compresa tra i punti A = (2, 0, 5) e B = (0, 4, -1)

Ma possiamo osservare che A = γ(0) e B = γ(π)

∫₀^π ||γ'(t)|| dt = ∫₀^π√ = ∫₀^π 3 dt = 3π

γ'(t) = (- sen t + 2 cos t, 2sen t - cos t, - 2sen t - 2 cos t)

Le formule c definisce la torsione τ(s) di α(s)

funzione a valori in R

[DIM] A

Segue dalla definizione di curvatura

^α'(s)/_||t(s)|| = ^α'(s)/_||α'(s)|| = κ(s)

Per provare C.

b(s)·b(s) = 1 ∀s ⇒ b'(s)·b(s) ∀s

d/ds (b·t) = db²/ds

b + b²/d^t/ds · b - db²/ds · l

= κ(s)τ(s)

Si definisce τ(s) in maniera tale che db/ds = τ(s) τ(s)

Per provare la B Viamo che [t(s), τ(s), b(s)] è una

base ortonormale

d/ds (db^/ds·τ) = ^d/s·τ) t^dτ/ds τ + (dτ/ds ) τ + (dτ/ds · b)'

Sappiamo che τ(s)·l(s) = 0

dτ/ds · l + τ (dτ/ds ) = 0

⇒ k(s) τ(s)

Da τ(s)·b(s) = 0 Denomino rispetto a γ

dτ/ds · b + τ'·  d/ds = 0 ⇒ dτ/ds · τ = τ(s) τ

☞ *( ⤾ pagina

* d/ds (ı(b(s)) = d/ds (b∩τ(s)), - db^t/ ∧ τ(s) + b l

= τ(l)∧ d/ds = b(s) l l(s) = τ∧ τ(s)

δ'(t) = (-sin t, 2t, ¹/_(t+1)²)

δ''(t) = (-cos t, 2, ²/_(1+t)³)

n(t) = (0, 0, -1)

δ''(0) = (-1, 2, ¹/₂)

δ'(0) = ξ'(0)

δ'(0) ∧ δ''(0) = det

B(0) = (²/_√5, ¹/_√5, 0)

(0, 0, -1) ∧ (²/_√5, ¹/_√5, 0) = det

= ¹/_√5 (3, 2, 0)

ESERCIZIO Determinare i punti in cui δ''(t) è parallelo a n(t)

e determinare i punti in cui la curvatura k(t)

è massima o minima

1. δ''(t) = k(t) n(t) + ^d2s/_dt² t(t)

δ''(t) è parallela a n(t) nei punti δ(t) per cui ^d2s/_dt² = 0

vanno dove ^ds/_dt = |δ'(t)|

Dobbiamo trovare t per cui d/dt(‖δ'(t)‖) = 0

δ'(t) = (cos t, -2 sen t, cos t)

‖δ'(t)‖ = √(cos²t + (-2 sen t)² + cos²t) = √(1 + 2 sen²t) = ^ds/_dt

Derivando rispetto a t si trova che ^d2s/_dt² = 0 nei valori

di t per cui sen t cos t = 0 → t = π/2 ± kπ/2

k = 0, 1, 2, 3

2. dκ/dt = 0 → k(t) = ^{|δ'(t) ∧ δ''(t)|}/_{‖δ'(t)‖³} = √8

→ i punti in cui k(t) è max o min sono i punti

ESERCIZIO 1

Consideriamo la curva

γ(t) = (1/t, 1 - t, t - 1/t) t ∈ ℝ \ {0}

γ(t) è piano e si determini equazione del piano che lo contiene

1. Determinare il cerchio osculatore a γ nel punto P₀ = (1, 0, 0)

   γ(t) = (-1/t², 1, 1 + 1/t²)

   γ(1) = (-1, 1, 2)

   γ'(1) = (1/3, 0, -3/2)

   det √

   V u * v.a.

   E(t)=√₆ (1, 1, 2)

   b(t)= (1/³ (2, 1, -1)

   4(1/2)=(1/4)=(1, 1, 0)

   k [b(t) - 1/√₃ (

   C=(1, 0, 0) + 3√3/√₈ (1,

   =(1, 0, 0) + (3, 3, 0) = (4, 3, 0)

   β sul nelle piano osculatore β = {²

   {(x - 4)² + (y - 3)² - 18

= {f(p+tv)∂/∂t φ(p+tv) + g(p+tv)∂/∂t ψ(p+tv)]_|_t=0

= {f(p)∇φ[□] + g(p)∇ψ[□]} □

Le proprietà precedenti in particolare la □ e la □

ψ: L₀₀(R^N) → R lineare + soddisfa Lipschitz

→ quindi ψ è una derivazione lineare su L₀₀(R^N)

□(ψ)

con V quota del contorno

DIFERENZIALE (O PUSHFORWARD)

di una funzione (applicazione)

differenziabile F: R^N → R^N

f(p) = {f₁(p), ..., f_n(p)} f_j: R^N → R p ∈ R^N

j=1,...,n

U = quota di R^N

• U ⊂ R^N quota. Una funzione F: U → Rⁿ è differenziabile se ogni f_j: U → R è differenziabile.

j=1,...,n

• Se A è un sottoinsieme di R^N ancora dire F: A → R^N è differenziabile se su quota V ⊂ R^N tali che F̃ è un'estensione di F ad A (anche con F e differenziabile).

F̃ |=_A = F

• Un diffeomorfismo è tra 2 quote U e V di R^N è un'applicazione differenziale con inverso differenziabile.

F: U → V

F̃ |: V → U