Lezioni, Geometria 3

Geometria e curve differenziabili

Curve differenziabili su Rⁿ

Una curva parametrizzata differenziabile è una funzione γ : (a,b) (eventualmente con a, b ± ∞) → Rⁿ t → γ(t).

La traccia di γ è γ((a,b)).

γ si dice regolare in t₀ ∈ (a,b) se γ'(t₀) ≠ 0.

γ si dice regolare se è regolare vettore nullo in Rⁿ in ogni t ∈ (a,b).

Indichiamo con (x₁, x₂, ..., x_n) le coordinate cartesiane su Rⁿ ⇒ γ(t) = (x₁(t), ..., x_n(t)).

Nel caso speciale in cui n=2 si parla di curva parametrizzata nel piano e nel caso in cui n=3 curva parametrizzata nello spazio.

Il vettore γ'(t) si dice il vettore tangente a γ nel punto γ(t) (per γ regolare), viene anche detto vettore velocità. ||γ'(t)|| misura della velocità della curva in t.

La retta tangente alla curva γ in γ(t₀) è la retta per γ(t₀) e parallelo al vettore γ'(t₀).

Se S ⊆ Rⁿ (stazionario) si dice una curva parametrizzata se S= γ((a,b)) (immagine mediante γ di (a,b)).

Esempi di curve parametrizzate differenziabili

1. Retta in Rⁿ (in particolare R²∈R³)
2. Circonferenza nel piano R² al centro (0,0) e raggio r δ : t → (r cos t, r sen t) t ∈ R

Curve differenziabili in R

Una curva parametrizzata differenziabile è una funzione : (a,b) → R eventualmente con a₁, b = ± ∞. Si dice regolare in t₀ è R : I → (I).

Traccia di = [(a,b)] si dice regolare in t₀ ∈ (a,b) se '(t₀) ≠ 0. Si dice regolare se è regolare in ogni t ∈ (a,b).

Indichiamo con (x₁, x₂, ..., x_n) le coordinate cartesiane in R ⟶ (t) = (x₁(t), ..., x_n(t)).

Nel caso speciale in cui n=2 si parla di curva parametrizzata nel piano e nel caso in cui n=3 curva parametrizzata nello spazio.

Il vettore y (t) si dice il vettore tangente a nel punto (t) (per regolare), viene anche detto vettore velocità. |'(t)| lungo della velocità alla curva in t.

La retta tangente alla curva in (t₀) è la retta per (t₀) e parallela al vettore '(t₀).

Se S ⊂ R (stiamo seno) si dice una curva parametrizzata se S = [(a, b)] (immagine necessaria di (a,b)).

Esempi di curve parametrizzate differenziabili

1. Retta in R in particolare R² e R³
2. Un circonferenza nel piano R² al centro (0,0) e raggio r_θ: : I → (r_{cos t, sin t}) t ∈ R

Possiamo anche considerare γ±θ e avere un’altra parametrizzazione δ₁(t) = ⟨r cos(ta), r sen(ta)⟩. γ e δ₁ hanno la stessa traccia ma viene percorsa con velocità diversa. ||δ'₁(t)|| = |a| ||γ'(t)||.

3. Elica circolare nello spazio R³: δ(t)=⟨a cos(t), a sin(t), bt⟩, a,b>0, dove a è il raggio dell’elica, mentre b è quello che si chiama passo dell’elica.
4. Curva non regolare: δ: I ⊆ R → R²; t ↦ ⟨t³, t²⟩, che non è regolare nell’origine.
5. Sia F: ⟨a,b⟩ → R : t ↦ F(t). Grafico di F = ⟨t,F(t)⟩ ⊆ ⟨a,b⟩ × R. Si tratta di una curva parametrica differenziabile, si tratta di curve cartesiane.

Esercizio 1

Determinare la retta tangente all'elica circolare δ(t)=⟨a cos(t), a sin(t), bt⟩ nel punto generico δ(t) tali che γ(t)=⟨x(t), a cos(t), b⟩, x=a cos(t), direzione tangente in δ(t)=γ-b sin(t)+(a cos t)tz= b; t+Δa.

Campi vettoriali

Lungo è una curva δ: (a,b) → Rⁿ parametrizzabile e differenziabile, è un'applicazione Y che associa ad ogni t ∈ (a,b) un vettore y(t) in Rⁿ applicata in δ(t). Lo considererò applicato nell'origine di Rⁿ: Y(t) = (y₁(t), ..., y_n(t)).

Y è C^∞ o differenziabile y_j(t) ∈ C^∞ ∀j = 1, ..., n. Y'(t) = (y'₁(t), ..., y'_n(t)), derivata del campo, ancora un campo vettoriale.