Parte 1, Geometria 3

Richiami - Spazi Topologici

Sia X ≠ φ

τ ⊆ P(X)

Diciamo che τ è una topologia se X se:

1. φ, X ∈ τ
2. {A_i}_{i ∈ I} ∈ τ allora ⋃_{i ∈ I} A_i ∈ τ (τ è una famiglia chiusa rispetto all'unione qualsiasi)
3. Se {A_i}_i=1^m ∈ N e una famiglia finita di τ allora ⋂_i=1^m A_i ∈ τ (τ è una famiglia chiusa rispetto all'intersezione finita)

Tra tutte le topologie possiamo individuare

τ = {φ, X} topologia banale

τ = P(X) topologia discreta

• Gli elementi di τ si chiamano insiemi aperti
• I complementari degli elementi di τ si chiamano insiemi chiusi

1, 2 e 3 valgono per i chiusi?

4. φ e X sono sia aperti che chiusi - Sì
5. Sia C_i chiuso ∀i ∈ I, considero ⋃_{i ∈ I}C_i
6. ∀ A ∈ τ C_i = X \ A_i

Posso scrivere:

⋃_{i ∈ I} C_i = ⋃_{i ∈ I} (X \ A_i) = X \ ⋂_{i ∈ I} A_i

In generale l'unione qualsiasi di chiusi non è chiusa.

Se facciamo un'unione finita è ancora un chiuso.

Considero la coppia (X, T). Prendo il nome di spazio topologico.

Sia x₀ ∈ X.

Si chiama intorno di x₀ un qualunque insieme U ⊆ X t.c. ∃ un

aperto (A ∈ T) x₀ ∈ A ⊂ U.

Definiamo base di un intorno di x₀ una famiglia U(x₀) di

intorni di x₀ t.c. ∪U ⊆ X intorno di x₀, ∃ V ⊆ U(x₀) t.c.

V ⊆ U

Se prendo U aperto esso è intorno di qualsiasi suo punto vale

anche il viceversa. Possiamo quindi affermare che

U un insieme è aperto ⟺ è intorno di ogni suo punto

Sia A ⊆ X e x₀ ∈ A.

Dicevasi che x₀ è interno ad A se ∃ U intorno di x t.c.

x₀ ∈ U ⊆ A

L'insieme dei punti interni di A si chiama interno di A e

si indica con Ā

Si dimostra che l'insieme di Ā è il + grande insieme aperto

contenuto in A, si può costruire facendo l'unione di tutti gli

aperti contenuti in A.

A ∈ un punto, 1A ∈ chiuso

&exists; _r (1A) = &exists; _r (A) = aperto

1U ∈ _r ∈ D x₀ e aperto ∃ A x₀ D_f (b) ∈ ⊂ (D) ⊂ 1 (A)

Quindi x ∈ un punto che contiene un punto, cioe' con intorno di x. Poniamo U _f ⊂ (b) ∈ intorno di x. Verifichiamo se V verifica le condizioni di confermazione. cioe' devo far vedere che se x + V ∈ ⊂ (A) ∈ V se x ∈ f(r) ∈ A ∈ D_f (b) ∈ U x + V ∈ V ∈ f ∈ continua in x

ossi

Negli sp. topologici in generale non si ha l'amicita' del Lim da prop. minimale che garantisce l'amicita' e l'omean₁. Uno spazio topologico verifica l'assunto z o e di Hausdorff se ∀x, y ∈ x + U ∃ V intorno di x ∃ V intorno di y t.s. U ∧ V &=emptyset;

Prop Sia (x) Sp. topologico compatto, sia K ⊂ x chiuso t.s K e compatto

Dim Sia ∃_i I una famiglia di aperti t.s. U_i ⊂ K Considero (∪_{i∈ I} A_i) U (∃ x - K_{i∈ I}) ⊂ X o-------o

aperto aperto

-> X e un ricoprimento aperto dello spazio che ho supermonte compato. cio signifrica che ∃∃_{i∈ I} I −⋏ finitio t.s. ∪_{i∈ I−⋏} A_i U (x − K) ⊂ x → ∪_{i∈ I−⋏} A_i ⊂ K → K ∈ compatto

(X, d) spazio metrico

dati topologica e quella delle palle aperte

x, y ∈ X

come 2 intorni disgiunti? Se sono la topologia indotta è di

Hausdorff

∄ r > 0: B_{(x, r)} ∩ B_{(y, r)} = ∅?

Se prendo M, d(x, x) ≤ ε, la condizione precedente vale,

Contraddizioni!

Quindi gli intorni sono disgiunti.

Sia x₀ ∈ X

Scegliamo la famiglia {B(x₀, 1/m)} _m∈N. Essa è una base di

intorni.

Dato U intorno di x₀, proviamo che ∃ m ∈ N: B(x₀, 1/m) ⊆ U

Data U intorno di x₀, proviamo che ∃ m ∈ N: B(x₀, 1/m) ⊆ U

∃ A ∈ B_x0: x₀ ∈ A ⊆ U. ∃ ε > 0: B(x, ε) ⊆ A

∃ m ∈ N: B(x₀, 1/m) = B(x, ε) ⊆ A ⊆ U

(b.o. significa definibile m visto grande)

É base

Prop.

Sia (X, d) spazio metrico e C ⊆ X

Allora C è chiuso ⇔ ∀ x_m ⊆ C _m∈N t.c. x_{m → x*} ε X si ha x* è C

Dim.

⇒ Sia C chiuso

Prendiamo una successione x_n ⊆ C t.c. x_{m → x*} ε X

Prop

(X, d) spazio metrico

siano _n E X

x E X

Allora

_n→+∞ X_n = x ⟺ ∀ε > 0 ∃m E IN d(x_m, x) < ε ∀m ≥ m_ε

Dim

(⟹) Sia ε > 0.

Considero B(x, ε) intorno di x. Per hp

∃m∈IN: ∀m ≥ m x_m E B(x, ε) cioè la distanza x e x_m o < ε |x - x_m| < ε

(⟸) Sia U intorno di x, ∃ A E ₀: x E A ⊆ U

∀ε > 0: B(x, ε) ⊆ A ⊆ U. Applicando l'hp si ha ∀n≥m_ε

_∞ d(x_n, x) < ε ⟹ X_n E B(x, ε) ⟹ X_n E U

∀m ≥ m_ε

1|d(x_n, m) - d| < ε ⟹ qui d(x_n, x) → 0

∧ formulazione equivalente di *

OSS

Dire che d(x_n, x) < ε vuol dire che d(x_n) - d < ε succede stando _n

d(x, _n) e una sc di numero reali positivi. Chiamiamo d(x, x_n) ≡ m. La d(x

e la distanza nelle rette reale. Ciò significa che qui _n⟶0

Per cui se d(x_n) - d - 1 < ε ∧ qui d(x_n+n⟶0)

Per cui un altra formulazione della prop precedente è

qui d(x_n)⟶0 ⟺ ∀ε > 0 ∃n_ε E IN: d(x_n, x) < ε ∀m ≤ m_ε

Volevamo far vedere che c'è una succ. che è di Cauchy

per la metrica _d(x, y) = |e^-x - e^-y| ma non per d(x,1) = |x -1| tale successione è x_n = n

infatti x_n non può essere una successione di Cauchy per d(x,y) = |x-y | poiché se prendo m,n la loro dist

deve essere minore di 1, cioè d(n,m) = 1 quindi basta prendere ε = 1 e non vale la def di successioni di Cauchy

invece x_n è di Cauchy per _d(x,y) = |e^-x - e^-y| poiché |e^-m - e^-n| = |e^-n e^n-m - e^-n e⁰| = e^-n |1- e^n-m| ∴ ε > 0 → ∃m∈N : e^-m < ε/₂ ∀m > m_e

ε ₂ > 0 Se prendo m,n ≥ m_e mi vediamo se realizzo la cond di Cauchy Se prendo m,n ≥ m_e in bsa a e^-n < ε/₂

→ |e^-m - e^-n| < ε/₂ + ε/₂ = ε pertanto S(x_m,x_n) = |e^-n e⁰ - e^-x_n e^m-m| < ε

→ x_n è di Cauchy

(R, _d(x,y)) è completo?

Se C₀ fosse x_n essendo di Cauchy per il sarebbe convergente e quindi x_n dovrebbe avere convergente ma

se C₀ esistenza d(x,y) vorrebbe ∄ e 2 metriche sono equivalenti Ma dovrebbe essere allora x_n di Cauchy per d(x,y) una abbiamo visto che non C₀ è Quindi (R, _d(x,y) = |1-e^-x| Non è se completo