Parte 1, Geometria 3

Name: Parte 1, Geometria 3
Brand: Skuola.net
Price: 4.99 EUR
Availability: InStock
Author: rlaura91

Revisionato il 01/05/2026

di rlaura91

Publisher

Vota

Contenuto verificato e approvato dal Team di Esperti di Skuola.net

Appunti di Geometria 3 per l’esame del professor Nordo. Gli argomenti trattati sono i seguenti: richiami- spazi topologici, spazio morfologico, limite, assiomi di numerabilità, …

Esame Geometria 3

Facoltà Scienze matematiche fisiche e naturali

Dal corso del Prof. Nordo Giorgio

Università Università degli Studi di Messina

A.A. 2014-2015

63 pagine

Appunto

Scarica

Estratto del documento

Richiami - Spazi topologici

Sia X ≠ ∅ τ ⊆ &Pscr;(X). Diciamo che τ è una topologia su X se:

∅, X ∈ τ
{A_i}_{i ∈ I} ⊆ τ (τ è una famiglia chiusa rispetto all'unione qualsiasi) allora &bigcup;_{i ∈ I} A_i ∈ τ
Se {A_i}_{1 ≤ i ≤ m} ⊆ N è una famiglia finita di τ, allora &bigcap;_i=1^m A_i ∈ τ (τ è una famiglia chiusa rispetto all'intersezione finita)

Tra tutte le topologie possiamo individuare:

τ_t = {∅, X}, topologia banale
τ_d = &Pscr;(X), topologia discreta

Gli elementi di τ si chiamano insiemi aperti. I complementari degli elementi di τ si chiamano insiemi chiusi.

1, 2 e 3 valgono per i chiusi?

∅ e X sono sia aperti che chiusi - Sì
Sia C_i chiuso ∀ i ∈ I, considero &bigcap;_{i ∈ I} C_i
∀ A ⊆ X, A ∈ C_i : C_i = X \ A_i

Posso scrivere

&bigcup;_{i ∈ I} C_i = &bigcup;_{i ∈ I} (X \ A_i) = X \ &bigcap;_{i ∈ I} A_i

In generale l'unione qualsiasi di chiusi non è chiusa. Se facciamo l'unione finita è ancora un chiuso.

Spazi topologici

Sia X ≠ &emptyset;, Τ ⊆ P(X). Diciamo che Τ è una topologia su X se:

&emptyset;, X ∈ Τ
{ A_i }_i∈I ⊆ Τ allora &bigcup;_i∈I A_i ∈ Τ
Se { A_i }_i=1...m ⊆ N è una famiglia finita di Τ, allora &bigcap;_i=1...n A_i ∈ Τ

Tra tutte le topologie possiamo individuare:

Τ = { &emptyset;, X }, topologia banale
Τ = P(X), topologia discreta

Gli elementi di Τ si chiamano insiemi aperti.
I complementari degli elementi di Τ si chiamano insiemi chiusi.

I 1, 2 e 3 valgono per i chiusi?

&emptyset; e X sono sia aperti che chiusi - Sì
Sia C_i chiuso ∀ i ∈ I, considero &bigcup; G_i

∀ A ⊆ X, C_i = X \ A. Posso scrivere &bigcup;_i∈I C_i = &bigcup;_i∈I (X \ A_i) = X \ &bigcap;_i∈I A_i;

Se facciamo un'unione finita è ancora un chiuso.

Legge di chiusura: sia _i∈I X(A_i) = X∩_i∈IA_i. Coincide con complemento di un aperto s e chiuso.

Considero la coppia (x, τ). Prendi il nome di spazio topologico.

Sia x_o ∈ X. Si chiama intorno di x_o un qualunque insieme U ⊆ X, micca un aperto (A∈ U) x_o∈A ⊆ U.

Definizione base di un intorno di x_o: una famiglia U(x_o) di intorni di x_o tale che ∀ U ⊆ X intorno di x_o, ∃ V ∈ U(x_o) tale che V ⊆ U. Se l'aperto U è aperto esso è intorno di qualsiasi suo punto, vale anche il viceversa.

Possiamo quindi affermare che un insieme è aperto ed è intorno di qualsiasi suo punto.

Sia A ⊆ X e x_o∈A. Diciamo che x_o è interno ad A se ∃ U intorno di tale che x_o∈U ⊆ A. L'insieme dei punti interni ad A si chiama interno di A e si indica con A°. Si dimostra che l'interno di A è il più grande insieme aperto contenuto in A; si può costruirlo facendo l'unione di tutti gli aperti contenuti in A.

Definizione: A ⊂ X

Diciamo che x₀ è di aderenza per A se ∀ U intorno di x₀, si ha che U ∩ A ≠ ∅. Per un insieme aperto tutti i suoi punti sono interni. L'interno dell'insieme coincide con l'insieme stesso.

L'insieme dei punti di aderenza si chiama chiusura di A e si indica con Ā. Si può provare che Ā è il più piccolo insieme chiuso contenente A, ovvero l'intersezione di tutti i chiusi contenenti A.

Se x₀ ∈ A, prendendo un qualsiasi intorno U di x₀, si ha che x₀ ∈ A ∩ U ≠ ∅. A ⊂ Ā.

Se A è chiuso allora A = Ā, e quindi Ā = A.

A è chiuso ↔ A = Ā.

Definizione: Diciamo che x₀ è di accumulazione per A se ∀ U intorno di x₀, si ha U ∩ (A \ {x₀}) ≠ ∅.

Definizione: A ⊂ X

∂A = {x ∈ X : ∀ U intorno di x si ha U ∩ A ≠ ∅ e U ∩ (X \ A)}.

Anteprima

Vedrai una selezione di 14 pagine su 63