Parte 1, Geometria 3

Name: Parte 1, Geometria 3
Brand: Skuola.net
Price: 4.99 EUR
Availability: InStock
Author: rlaura91

Aggiornato il 15/04/2026

di rlaura91

Publisher

Vota

Contenuto verificato e approvato dal Team di Esperti di Skuola.net

Appunti di Geometria 3 per l’esame del professor Nordo. Gli argomenti trattati sono i seguenti: richiami- spazi topologici, spazio morfologico, limite, assiomi di numerabilità, …

Esame Geometria 3

Facoltà Scienze matematiche fisiche e naturali

Dal corso del Prof. Nordo Giorgio

Università Università degli Studi di Messina

A.A. 2014-2015

63 pagine

Appunto

Scarica

Estratto del documento

Richiami - Spazi Topologici

Sia X ≠ ∅ τ ⊆ 𝒫(X)

Diciamo che τ è una topologia su X se:

∅, X ∈ τ
{A_i}_{i ∈ I} ⊆ τ (τ è una famiglia chiusa rispetto all'unione qualsiasi)
allora ⋃_{i ∈ I} A_i ∈ τ
Se {A_i}_{1 ≤ i ≤ m} ⊆ N è una famiglia finita di τ, allora
⋂_i=1^m A_i ∈ τ (τ è una famiglia chiusa rispetto all'intersezione finita)

Tra tutte le topologie possiamo individuare

τ_t = {∅, X} topologia banale τ_d = 𝒫(X) topologia discreta

Gli elementi di τ si chiamano insiemi aperti
I complementari degli elementi di τ si chiamano insiemi chiusi

1, 2 e 3 valgono per i chiusi?

∅ e X sono sia aperti che chiusi - Sⁱ
Sia C_i chiuso ∀ i ∈ I, considero ⋂_{i ∈ I} C_i
∀ A ⊆ X, A ∈ C_i : C_i = X \ A_i

Posso scrivere

⋃_{i ∈ I} C_i = ⋃_{i ∈ I} (X \ A_i) = X \ ⋂_{i ∈ I} A_i

In generale l'unione qualsiasi di chiusi non è chiusa

Se facciamo l'unione finita è ancora un chiuso

Richiami - Spazi Topologici

Sia X ≠ ∅

Τ ⊆ P(X)

Diciamo che Τ è una topologia su X se:

∅, X ∈ Τ
{ A_i }_i∈I ⊆ Τ allora ⋃_i∈I A_i ∈ Τ
Se { A_i }_i=1...m ⊆ N ↺ è una famiglia finita di Τ allora ⋂_i=1...n A_i ∈ Τ

Tra tutte le topologie possiamo individuare:

Τ = { ∅, X } topologia banale
Τ = P(X) topologia discreta

Gli elementi di Τ si chiamano insiemi aperti.
I complementari degli elementi di Τ si chiamano insiemi chiusi.

I 1, 2 e 3 valgono per i chiusi?

∅ e X sono sia aperti che chiusi - Sì
Sia C_i chiuso ∀ i ∈ I, considero ⋃ G_i

∀ A ⊆ X, C_i = X \ A. Posso scrivere ⋃_i∈I C_i = ⋃_i∈I (X \ A_i) = X \ ⋂_i∈I A_i;

Se facciamo un’_unione FINITA è ancora un chiuso.

compl. tale che l'infinitodi un punto s e chiuso.

Legge di chius.

Sia _i∈IX(A_i) = X∩_i∈IA_i.coincide concomplemento di unaperto s e chiuso.

Considero la coppia ( x, τ ). Prendi il nome di SPAZIO TOPOLOGICOSia x_o ∈ XSi chiama intorno di x_o un qualunque insieme U ⊆ X micca un aperto (A∈ U) x_o∈A ⊆ UDefinizione base di un intorno di x_o: una famiglia U(x_o) di intorni di x_o t.c. ∀ U ⊆ X intorno di x_o, ∃ V ∈ U (x_o) t.c.V ⊆ USe l'aperto U aperto esso e intorno di qualsiasi suo punto, vale anche il viceversa. Possiamo quindi affermare cheUn insieme e aperto e intorno di quai suori puntoSia A ⊆ X e x_o∈Adiciamo che x_o e interno ad A se ∃ U intorno di t.c.x_o∈U ⊆ AL'insieme dei punti interni ad A si chiama interno di A e si indica con A°Si dimostra che l'interno di A e il piu grande insieme aperto contento in A; si puo construitro facendo l'unione di tutti gli aperti contenti in A.

Def

A ⊂ X

x₀ ∈ X

Diciamo che x₀ è di aderenza per A se ∀ U intorno di x₀, si ha che U ∩ A ≠ ∅

Per un insieme aperto tutti i suoi punti sono interni. L'interno dell'insieme coincide con l'insieme stesso. Vedi il riquadro.

L'insieme dei punti di aderenza si chiama chiusura di A e si indica con A.

Si può provare che A è il più piccolo insieme chiuso contenente A ovvero l'intersezione di tutti i chiusi contenenti A.

Se x₀ ∈ A, prendendo un qualsiasi intorno U di x₀, si ha che x₀ ∈ A ∩ U ≠ ∅

A ⊂ A

Se A è chiuso allora A = A, e quindi A = A

A è chiuso ↔ A = A

Def

Diciamo che x₀ è di accumulazione per A se ∀ U intorno di x₀, si ha U ∩ (A \ {x₀}) ≠ ∅

Def

A ⊂ X

∂A = {x ∈ X : ∀ U intorno di x si ha U ∩ A ≠ ∅ e U ∩ (X \ A

Anteprima

Vedrai una selezione di 14 pagine su 63