Geometria 1a (parte 3)

EImfProp V ladiKery è ssv pera linearitàwImf disuèDim eda Kery Kersperché a esupponiamo fKerEvi v2di ElkdaIlly linearità 8vi didava difif pervaKeryfui v Epercheo KeryEV2Ilva o da IkerIlli fdeviV2 davaD ecioeob di daImf Elkewi wa che Imfdevi davaprovarevoglio efutIvImf wVe t.cWi D eIvif tela V IlvaW De e wa1 Iv AwAffi dadava f tinavaAw InfdaD EWa Wf ImfProp suriettivaèa fb è iniettiva Kery osDim immediato dalla degase Kery Lob d Ci sono piùD lae e cui èLoimmagine è f noniniettivaIlvafuitSe IIkerD Eflu Va vi vao oV V2 DO Vi V2hanno laDue stessaelementi immaginelorola diff nucleosta nerALEX OIn fufuigenerale KeryVa eViCantarinidellavd sul Sitopagine VAllora EWKery IngePossiamo dire sulla dimqualcosa di questi SsuTEOREMA RANGODELdi dim finita lineareWV1dimV dimkerft dialet29 Miglio10f lineareW SSV SSVf iniettivaf suriettivaSe Vi unOss generatori ImfIlva diIvi generatoriIvAl Imf flue ww9 Vitve ElkConaura anQi

Luiperché vaVgeneranof fluiltfu Vita tana a anfibiawwespanfflv.li funcioeCome linearefsi allarispettocomportalineare indipendenzaIn generale fuitse funvi un D dc è ilveroinma contrario ovveronongeneralelinearef insiemimandache ininsiemiuna ic c if applicazione nullaESEMPIOsul tuo diOgni vienevettori mandatoinsieme Dcin owIIIIPiù Kerfsiageneralein oSe KerfV70 V eV Wfuèu c Din mac oi inProp f i iniettiva per sottoinsiemeognivi funfuivia c èI cKerfper oè laDim proposizionenegoSupponiamo f iniettiva assurdovi L esistessepersesua I nulla banalecombinazione lineare dinonuna ff fuk dUk Ivi covveroviFa fui argiva otuttiEon nulliai ar nonflair 8linearità diarva o per diKerf IIIPENEavi 9Wh o sarebberovavieQui aka o DCTeorema (del rango) ASSURDOfSia V lineareW mucodiDine Mbase kartSia diunaUkvi delil completamentoteoremaper posso scegliereV fVa E CKai base VUn disia unaUk VistiVi baseIflu 419funchedimostrarevoglio ImfIlvaf vi1

generanoDall'osservazione fatta Viprima poiche NnVgenerano il furti generanoIlva funvia Imfbb IlvaIlva ImfgeneranoVe YdietroOss Span VaiKept Unspariti NK nkerfparticolare spanfrati vnn 1oMostriamo furti fun2 che csono IPer assurdo supponiamo Iratoflirti angina9kt o nuelifIII.sututtiCon 9kt nonanlinearità fallora diperIlaktivkt aura 0Cioè KerfArvn eAktiVktitAktivktitMa Spanetana unVatiI 1quindi Via tper 9kt tantama poiche unVia sono c iAssurdoO9kt anla dimostrazione funzionaOSS peranche oKIn tal Luidache partirecaso invece va0dasi parteQuello che abbiamo dimostrato è in realtà ladiClassicosa seguente equivalenzaspan inurti Wf ImfKerfNTEIEIEENTOS.co Kereè diununvistiSpan complementoQuello Che abbiamo dimostrato è che ImfIMMAGINEf SPaufry gg è iniettiva2In altre ilparole se restringa dominio ainfil codominioSpall Via un ovveroaeI Imfispanfrati unspan Vai in biunivocaf lineareèè isomorfismo eunPerchéiniettiva è va disegno la Kerf è di contro immagine a o sopra il fortemente è complemento unico non Imf Kerf diretta e sono somma non in IN Diversi ANCHE PERCHE ABITANO DUE INSIEMI Conseguenze del teorema del rango Vse dim mW di V dim infedim W Edindim infmV dimkerf di V dimdinkert so NON iniettive FUNZIONI ESISTONO LINEARI CIOE Vf W divers dimW per con lineare ES dimkerf 2 f è suriettiva lineari Analogamente funzioni esistono non on suziettive per V W diceva f se diaw lineare f diase dim W può non isomorfismo essere un In altre parole Due di diversa vettoriale dim isomorfismi sono non Abbiamo dive vettoriale gia diogni che visto sp1k è su 1k isomorfo all'applicazione Ab Due finita dimensione divettoriali isomorfisono s hanno la dimensione stessa MANCA ESERCIZIO f U DW W u lineare g lineare UU è fg Applicazione linearia i sistemia a Ii A b Am Ama IKAx 1kmb Ca Ax LACH base 1k di canonica se OSS enle A e Alncilenilaici nesima Colonna colonna di A Essendo di di immagini insieme un generatori IK le esse di colonne sono

generatori insieme un lui La per In Quindi La A colonne di soluzioni del La sistema Ker AX Odim In la A rkc A colonne di per rango dim Keila Kr A righe per rango n Adi Il del La teorema rango per dim dimker Ik mlndi La VARIAAVINCA AH RKCµ RKC4111 Miglia Cosa UN'Applicazione CHIEDERE AD puosi lineare la mancata viene base del Infatti arbitrariamente dominio TEOREMA Siano V W finita dimensione vettoriali di spazi V di base sia e vi una un Siano W arbitrari dielementi un wi U Il f W tcfifui wi i n Dim f U ESISTENZA Definisco W tea fifui allora se ve Wi si scriven ui Avit maniera in unica aula fi fuit anfluna a tanninwitpongofi ben definita sono perché ai an lui essendo determinati univocamente un base una che f Resta da verificare definita così lineare sia fui futu u ADDITIVITÀ Bavab Vitflu flatb bufluulvittauvatbivittbavnfutu flaflaitbilv.tt busuuautitbilfluit flatbaaut babil Wu Fait Antwit buntI Iaiwittanwntb.net OMOGENEITÀ Edfu FLIN ev delk Qiu Quum Illo fliaivit ianuattdanf uulda.fi

dfluaiwittanwnld fPoiché taleUNICITÀ farbasta vedereesisteI allora di altrovaleche se l'immagine ogniVvettore V è unicamentee determinataPoiché baseunvi è una1ktEai CanV ai a nunVit flaviaMa vaafuallora anfluaaifluilt Wean9 wImf wutOss Span WiCOROLLARIO lineareapplicazioneOgni mf 1kdella Acformaè Manla un'opportunaper iRicordiamo IKKLAche LAè definita AXXla baseSe diè canonicaenliLalli Ali colonnai Sima lineare1kSia f laCostruiamo Ala colonna ècuimatrice primalaIle flewcolonna èn simaPer La i colonnali sicostruzione maleiA f Hi niflu La dellacoincidono basesui canonicae vettori f Lal'unicità dalcitata teoremaper la dicomposizioneAbbiamo chevistogiàOSS lineari lineareè ottimismoapplicazioni aanche cheAbbiamo frailosservato prodottomatrici è associativo 2OttimismoESERCIZIOPercio siaLa Pm B LBo ALABO MALIKIEB A l'osservazioneper precedenteCB LA XI BLAHLBLA

BLAHAIXBassociatività Xper BaRicordiamo linearef W biunivocaSi dice f èisomorfismoun se è lineareWIn fcasoquestof fofiof idwid cheancheAbbiamo isomorfismo vtravisto un eW dimv mWdiesistef lineareV W è isomorfismounOssIn flubase fundiè unaunè Wbase diunaDim WVf lineare isomorfismoè un VbaseSia diunvi unaIf fun fperché èvi iniettivasono Icf W poichefun generanogeneranoviImf f suriettivaied funiAlvi base Wse è diunafImf suriettivaèWalloraPer delil teorema rangodi dimkerfdimkerftdimlmfmV n n ofdinkerfPoiche iniettivaèo qualsiasidi unaCome l'immagineOss conseguenza baseèbase voltaa sua unaUsando il teorema Bu Ludici basee vmWdise diunBu Wbasew di