Paniere meccanica razionale e statica - domande aperte

Oscillatore armonico forzato e libero

Descrivere l'oscillatore armonico forzato

L'oscillatore armonico forzato è un sistema che subisce una forza esterna periodica, oltre alla forza di richiamo elastica. L'equazione differenziale che lo descrive include un termine forzante che può essere una funzione sinusoidale del tempo.

Descrivere l'oscillatore armonico libero

L'oscillatore armonico libero è descritto dall'equazione differenziale senza termini forzanti. Questo sistema oscilla a una frequenza naturale che dipende dalle costanti dell'equazione, come la massa e la costante elastica.

Terna intrinseca

Descrivere la terna intrinseca

La terna intrinseca è un sistema di riferimento mobile associato a un punto materiale che si muove lungo una traiettoria. Essa è costituita dal vettore tangente, normale e binormale.

Descrivere velocità e accelerazione nella terna intrinseca

Nella terna intrinseca, la velocità è diretta lungo il vettore tangente, mentre l'accelerazione ha componenti sia lungo il vettore tangente (accelerazione tangenziale) che normale (accelerazione centripeta).

Equazioni di Poisson e teoremi

Descrivere le equazioni di Poisson

Le equazioni di Poisson descrivono la relazione tra le derivate temporali dei vettori di posizione e velocità angolare di un corpo rigido, tenendo conto delle forze esterne e dei momenti angolari.

Teorema di Eulero

Il teorema di Eulero afferma che ogni rotazione nello spazio tridimensionale può essere espressa come una rotazione attorno a un asse passante per l'origine. Questo asse è detto asse di rotazione.

Teorema di Chasles

Il teorema di Chasles stabilisce che ogni movimento rigido nello spazio tridimensionale può essere descritto come una rotazione attorno a un asse, seguita da una traslazione lungo la direzione di quell'asse.

La dimostrazione del teorema di Chasles prevede l'uso delle proprietà dei quaternioni e delle trasformazioni rigide, mostrando come ogni trasformazione possa essere decomposta in una rotazione e una traslazione.

Sistemi di vincoli e gradi di libertà

Descrivere il sistema rappresentato in figura e il legame funzionale

Si consideri il sistema rappresentato in figura. L'asta AB, omogenea di lunghezza 1 e massa m, ha gli estremi A e B che possono scorrere rispettivamente lungo gli assi verticale e orizzontale di un sistema cartesiano xy. L'estremo A dell'asta è collegato, mediante una molla di costante elastica k, a un punto fisso C, posto sull'asse y a una distanza 1 da O. Si possono assumere come lisci tutti i vincoli del sistema. Il legame funzionale fra l'allungamento della molla e l'angolo θ di inclinazione dell'asta si ottiene applicando le leggi della cinematica e della statica.

Descrivere la classificazione dei vincoli dal punto di vista cinematico

I vincoli dal punto di vista cinematico possono essere classificati in vincoli olonomi e anolonomi. I vincoli olonomi impongono relazioni sulle coordinate del sistema, mentre i vincoli anolonomi impongono relazioni sulle velocità o accelerazioni.

Gradi di libertà del sistema e vettore velocità del punto E

Il sistema in figura è composto da una lamina quadrata omogenea ABCD di massa m e lato l, e un disco omogeneo con centro E di massa m e raggio R. La lamina poggia in A e B su una guida orizzontale liscia ed è collegata tramite una molla di costante elastica k. Il disco rotola senza strisciare sul lato BC della lamina ed è collegato a C tramite una molla di costante elastica k. I gradi di libertà del sistema sono calcolabili analizzando le possibili direzioni di moto indipendenti delle componenti.

Coordinate del baricentro G dell'asta e del punto B

Il disco in figura è omogeneo, di massa m e raggio r, mentre l'asta ha massa m e lunghezza l. L'estremo A dell'asta è vincolato con un carrello liscio all'asse y ed è incernierato in B al centro del disco. Il disco ruota senza strisciare sull'asse x e il suo centro è collegato all'asse y da una molla di costante elastica k. Al disco è applicata una coppia oraria di momento C. Le coordinate del baricentro G dell'asta e del punto B si determinano utilizzando le proprietà geometriche e le condizioni di equilibrio dinamico.

Legame cinematico tra coordinate θ, x, e y

Il sistema in figura comprende un disco omogeneo di raggio R e massa m e un contrappeso P di massa m, posto in un piano verticale. Il disco appoggia senza attrito su una guida orizzontale liscia. Il punto P è fissato a un estremo di un filo inestensibile e massa trascurabile che si avvolge senza strisciare sulla circonferenza del disco e si appoggia senza attrito su un piolo posto ad altezza 2R dal suolo. Il legame cinematico tra θ, x, e y si ottiene applicando le leggi della meccanica rigida e della cinematica dei corpi rigidi.

Teoremi di Galileo e Coriolis

Enunciare il teorema di Galileo

Il teorema di Galileo afferma che in assenza di attrito, il moto di un oggetto su un piano inclinato dipende solo dall'angolo di inclinazione e non dalla sua massa.

Enunciare il teorema di Coriolis

Il teorema di Coriolis è un principio della meccanica classica che descrive l'effetto di una forza apparente su un corpo che si muove all'interno di un sistema di riferimento rotante.

Problemi di dinamica e statica

Determinare il valore di attrito statico per l'equilibrio del sistema

Un peso di massa m poggia su un piano inclinato di 45° ed è collegato attraverso una carrucola A, avente momento di inerzia I, a un altro corpo di massa m. L'attrito dinamico è pari all'attrito statico. Per determinare il valore di attrito statico che assicura l'equilibrio del sistema, è necessario risolvere le equazioni di equilibrio delle forze e dei momenti meccanici.

Gradi di libertà e coordinate dei punti O' e P

Un punto materiale P di massa m è mobile senza attrito su un carrello ed è collegato a un punto O' solidale al carrello mobile tramite una molla di costante k. I gradi di libertà del sistema sono determinati dalle possibili direzioni di moto libero del carrello e del punto P. Le coordinate dei punti O' e P si ricavano tenendo conto delle condizioni iniziali e delle leggi della dinamica.

Posizione del baricentro del sistema composto

Determinare la posizione del baricentro del sistema descritto in figura e composto da una lamina circolare, omogenea di raggio r e massa m, e una lamina quadrata, omogenea di lato 2r e massa 3m, tangente alla prima. La posizione degli assi di riferimento scelto si stabilisce utilizzando le proprietà geometriche del sistema e applicando il principio del centro di massa.

Relazione tra le accelerazioni e tensione del filo

In un piano verticale, due punti A e B, di ugual massa, sono collegati da un filo inestensibile di massa trascurabile. Il punto A scorre su una guida orizzontale ed è collegato ad O da una molla di costante elastica k, mentre B scorre su una guida verticale. La relazione fra l'accelerazione del punto A e quella del punto B si ottiene analizzando le forze agenti sui punti e risolvendo le equazioni derivate dalle leggi del moto. Inoltre, si calcola la tensione del filo utilizzando il principio dell'equilibrio delle forze.