Paniere meccanica razionale e statica - domande aperte

Teorema di Galileo

Enunciare il Teorema di Coriolis Un peso di massa m poggia su un piano inclinato di 45° ed è collegato attraverso una carrucola A, avente momento di inerzia I, ad un altro corpo di massa m. L'attrito dinamico è pari all'attrito statico. Si determini il valore di attrito statico che assicura l'equilibrio del sistema. Un punto materiale P di massa m è mobile a senza attrito su un carrello ed è collegato ad un punto O' solidale al carrello mobile tramite una molla di costante k. Indicare i gradi di libertà del sistema e le coordinate dei punti O' e P. Determinare la posizione del baricentro del sistema descritto in figura e composto da una lamina circolare, omogenea di raggio r e massa m, e una lamina quadrata, omogenea di lato 2r e massa 3m, tangente alla prima. Indicare la posizione degli assi di riferimento scelto. In un piano verticale, due punti A e B, di Ugual massa, sono collegati da un

filo inestensibile di massa trascurabile. Il punto A scorre su una guida orizzontale ed è collegato ad O da una molla di costante elastica k, mentre B scorre su una guida verticale. Qual è la relazione fra l'accelerazione del punto A e quella del punto B? calcolare inoltre la tensione del filo.

In un piano verticale, due punti A e B, di uguale massa, sono collegati da un filo inestensibile di massa trascurabile. Il punto A scorre su una guida orizzontale ed è collegato ad O da una molla di costante elastica k, mentre B scorre su una guida verticale. In assenza di attrito calcolare la tensione t del filo.

Dato il pendolo doppio descritto in figura, indicare le reazioni vincolari quando il sistema si scompone nei due pendoli:

Cosa sono gli integrali primi del moto?

Il baricentro e le sue proprietà.

Descrivere il momento di inerzia di un disco di raggio R e massa m.

Descrivere il momento di inerzia di un semi-disco di raggio R e massa m.

Descrivere il momento di inerzia.

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strisciare su un piano inclinato di un angolo α rispetto al piano orizzontale. scrivere la prima equazione cardinale.

H V – mg = 0

V = mgH H

Il sistema rappresentato in figura si può muovere in un piano verticale ed è composto da due aste rigide di massa me lunghezza 2 l, collegate in A da una cerniera. L’ asta AO è vincolata nel punto O, mentre l’ estremo B dell’ asta AB può muoversi lungo l’ asse orizzontale. i punti O e B sono collegati da una molla elastica avente k come costante elastica. I vincoli sono ideali. Indicare le forze attive sull’ asta AO

Il sistema in figura è composto da un disco di massa m e raggio R che rotola senza strisciare su un asse orizzontale, eda un’ asta di lunghezza 2R e massa m, che può ruotare in un piano verticale attorno al punto A (centro del disco). Il centro dell’ asta è collegato ad un punto della circonferenza del disco da una molla di costante

elestoca k vincolata inun punto P posto sulla circonferenza del disco. Calcolare l'energia cinetica dell'asta.

T = ½ I θ = ½ ∙ ½ m (2R) θ = 1/24 m 4R θ =1/6 m R θ

AData un'asta di lunghezza l e massa trascurabile, avente agli estremi due masse m uguali. L'asta è vincolata in unpunto O, che divide l'asta in due segmenti di lunghezza pari a un terzo di l e due terzi di l. calcolare il momento diinerzia del sistema rispetto ad un asse verticale passante per O.

Descrivere il rapporto fra gli assi principali di inerzia nel caso di corpi piani

Scrivere e descrivere il teorema di Konig per il corpo rigido (CR)

Scrivere il Teorema di Konig per un corpo rigido qualsiasi in funzione del centro di istantanea rotazione H.

Data un'asta di lunghezza l e massa trascurabile, avente agli estremi due masse m uguali. L'asta è vincolata in unpunto O, che divide l'asta in due segmenti

Di lunghezza pari a un terzo di l e due trezi di l. Scrivere l'equazione del moto:

Dato il sistema in figura, indicare le reazioni vincolari:

Si consideri un sistema nel piano verticale costituito da due aste omogenee ed uguali di lunghezza 2l e massa m collegate in B da una cerniera. L'estremo A dell'asta AB è fisso ad una altezza l da un asse orizzontale, l'estremo C dell'asta AC è vincolato al centro di un disco di massa m e raggio l che rotola senza strisciare sull'asse orizzontale. Indicare il numero di gradi di libertà, giustificare la risposta e indicare le coordinate dei punti A, B e C.

g∙l = 1 (θ)

Si consideri il sistema nel piano verticale costituito da due aste omogenee di uguale lunghezza 2l e massa m collegate in B da una cerniera. L'estremo A dell'asta AB è collegato ad una molla di costante elastica k vincolata in O, mentre l'altra asta può ruotare nel piano attorno al punto B.

Indicare i gradi di libertà del sistema e scrivere l'energia cinetica dell'asta oscillante.

In un piano verticale, il corpo rigido OAB (composto da due aste OA e AB omogenee rispettivamente di massa 2m em, e lunghezza 2l e l, saldate ad angolo retto in A) è incernierato in O, mentre l'estremo B è vincolato da un carrello liscio sul lato verticale di una lamina quadrata omogenea, di massa M e lato 2l. La lamina è vincolata nei suoi vertici P e Q a scorrere su una guida liscia orizzontale passante per O. Una molla di costante elastica k collega P a O. Dire a quali condizioni l'appoggio della lamina sulla guida orizzontale è sempre garantita, sapendo che le reazioni vincolari all'appoggio in Q è sempre garantito, in P solo se in P e Q sono V = e V = P QM˃(2+ )m.

Un'asta omogenea di massa m e lunghezza è incernierata nell'estremo A e presenta all'altra estremità una sfera di massa 2m.

Questa sfera è collegata ad una molla di costante elastica k e lunghezza a riposo nulla, bloccata nel punto B. Determinare le reazioni vincolari in A e in B nella configurazione di equilibrio.

In un piano verticale un'asta AB, omogenea di lunghezza l e massa m, scorre senza attrito su un asse orizzontale. Un disco, omogeneo di raggio r e massa μ, rotola senza strisciare sull'asta. Il centro C del disco è collegato all'estremo A da una molla di costante elastica k. Indicare i gradi di libertà del sistema, le coordinate del punto C e il valore del momento M affinché il sistema sia in equilibrio quando il punto di contatto fra il disco e l'asta si trova a metà strada fra A e B. g∙l = 2.

Il sistema in figura è posto in un piano verticale. Le aste AO e OB sono omogenee, rispettivamente di peso p e q e uguale lunghezza l. Sul carrello liscio B, posto sull'orizzontale passante per la cerniera O, è applicata

Una forza orizzontale F diretta verso O. Si prenda come coordinata libera l'angolo θ che OA forma con l'orizzonte. Indicare le reazioni vincolari.

Cosa sono i vincoli ideali?

Scrivere l'equazione simbolica della dinamica.

Enunciare il Principio dei Lavori Virtuali.

Un'asta di lunghezza l è collegata da un pattino ad una guida orizzontale. Sapendo che sull'asta agisce un momento M, calcolare con il Principio dei Lavori Virtuali la posizione di equilibrio.

Un'asta omogenea di massa m e lunghezza è incernierata nell'estremo A e presenta all'altra estremità una sfera di massa 2m. Questa sfera è collegata ad una molla di costante elastica k e lunghezza a riposto nulla, bloccata nel punto B. Determinare i gradi di libertà del sistema e determinare la posizione di equilibrio.

g∙d∙l = 2

Descrivere gli spostamenti virtuali.

Due aste omogenee di massa m e lunghezza l sono incernierate fra loro nel punto A.

L'asta AO è vincolata da una cerniera fissa in O, mentre l'asta AB è vincolata a scorrere su di una guida verticale. Le aste sono collegate fra loro da una molla di costante k. A riposo la lunghezza della molla è nulla. Determinare la posizione di equilibrio del sistema utilizzando il Principio dei Lavori Virtuali.

Un'asta omogenea di massa m e lunghezza 2l è appoggiata sullo spigolo B e ha un estremo A vincolato a scorrere lungo una guida orizzontale. L'estremo A è inoltre vincolato con una molla di costante elastica k e lunghezza a riposo nulla. L'altezza dello spigolo B rispetto alla guida orizzontale è pari a l. Determinare gli angoli θ e θ entro cui può variare l'angolo θ.

Enunciare il teorema di stazionarietà del potenziale.

Un'asta omogenea di massa m e lunghezza 2l è appoggiata sullo spigolo B e ha un estremo A vincolato a scorrere lungo una guida orizzontale.

L'estremo A è inoltre vincolato con una molla di costante elastica k e lunghezza a riposo nulla. L'altezza dello spigolo B rispetto alla guida orizzontale è pari a l. Determinare la posizione θ di equilibrio.

Descrivere le equazioni di Lagrange in forma non conservativa

Scrivere l'Equazione simbolica della dinamica sia in termini di spostamenti virtuali δP che in quelli di spostamenti virtuali delle coordinate libere δqk

In un piano orizzontale sono date due circonferenze di raggio R tangenti esternamente. Su ciascuna di esse vi è una massa m. Le due masse sono collegate fra loro da una molla. Determinare la Lagrangiana del sistema.

L=T+U

Si consideri un sistema di due corpi rigidi di massa m vincolati a muoversi lungo due rette parallele. Le masse sono collegate con due molle di costante elastica k ad una retta perpendicolare alle altre due rette. Le due masse interagiscono tra di loro attraverso una terza molla di costante elastica k.

zione di Lagrange e spiegare come viene utilizzata per ottenere le equazioni del moto. Per determinare i gradi di libertà di un sistema, si considera il numero minimo di coordinate indipendenti necessarie per descrivere completamente lo stato del sistema. Ad esempio, un oggetto che si muove liberamente nello spazio tridimensionale ha tre gradi di libertà, corrispondenti alle coordinate x, y e z. La lagrangiana di un sistema è una funzione che descrive l'energia cinetica e potenziale del sistema in funzione delle coordinate generalizzate e delle loro derivate rispetto al tempo. La lagrangiana è definita come la differenza tra l'energia cinetica e l'energia potenziale del sistema: L = T - V dove T è l'energia cinetica e V è l'energia potenziale. La funzione di Lagrange viene utilizzata per ottenere le equazioni del moto del sistema attraverso il principio di azione minima, noto anche come principio di Hamilton. Questo principio afferma che il moto di un sistema è tale che l'integrale della lagrangiana sul tempo tra due punti è minimo. Per ottenere le equazioni del moto, si utilizza il principio di azione minima per derivare le equazioni di Eulero-Lagrange, che sono equazioni differenziali che descrivono il moto del sistema. Queste equazioni sono ottenute calcolando le derivate parziali della lagrangiana rispetto alle coordinate generalizzate e alle loro derivate rispetto al tempo, e impostando queste derivate parziali uguali a zero. Le equazioni di Eulero-Lagrange possono quindi essere risolte per ottenere le equazioni del moto del sistema, che descrivono come le coordinate generalizzate variano nel tempo. Queste equazioni sono fondamentali per lo studio del moto dei sistemi fisici e sono utilizzate in molte branche della fisica, come la meccanica classica e la teoria dei campi.