Paniere geometria - risposte aperte

Parlare brevemente dei vettori geometrici

Un vettore geometrico è una classe di equivalenza della relazione di equivalenza appena definita sull’insieme delle frecce. Per distinguere i vettori geometrici non applicati (ossia le classi di equivalenza) da quelli applicati, i primi sono anche detti liberi. I vettori geometrici liberi sono rappresentanti dei vettori geometrici applicati.

L’insieme di tutti i vettori geometrici del piano è indicato con V, mentre l’insieme di tutti i vettori geometrici dello spazio è indicato con V.

Parlare brevemente delle operazioni dei gruppi e/o campi

Una operazione su un insieme X è una funzione •: X×X→X. Dati due elementi x,y ∈ X, l’immagine della coppia (x,y) è detta risultato dell’operazione ed è indicata con x • y.

Un gruppo abeliano o gruppo commutativo è un insieme G dotato di una operazione •: G×G→G che soddisfa le seguenti proprietà:

• (G1) Per ogni g₁,g₂,g₃ ∈ G si ha g₁•(g₂•g₃) = (g₁•g₂)•g₃ (proprietà associativa).
• (G2) Esiste e ∈ G tale che g•e = e•g = g per ogni g ∈ G (esistenza dell’elemento neutro).
• (G3) Per ogni g ∈ G esiste g⁻¹ ∈ G tale che g•g⁻¹ = g⁻¹•g = e (esistenza dell’opposto/inverso).

Un campo è un insieme K dotato di due operazioni, una detta addizione ⊕: K×K→K e una detta moltiplicazione ⊗:K×K→K, che soddisfano le seguenti proprietà:

• (K1) L’insieme K dotato dell’operazione di addizione è un gruppo abeliano, ossia
• a) Per ogni λ, μ, ν ∈ K si ha λ⊕(μ⊕ν) = (λ⊕μ)⊕ν (proprietà associativa per l’addizione).
• b) Esiste 0 ∈ K tale che λ⊕0 = 0⊕λ = λ per ogni λ ∈ K (esistenza dell’elemento neutro per l’addizione).
• c) Per ogni g ∈ K esiste ⊖g ∈ K tale che g⊕⊖g = (⊖g)⊕g = 0 (esistenza dell’opposto).
• d) Per ogni λ, μ ∈ K si ha λ⊕μ = μ⊕λ (proprietà commutativa per l’addizione).

Dare la definizione di spazio vettoriale

Uno spazio vettoriale su un campo K è un insieme V dotato di due operazioni, una detta addizione +: V×V→V e una detta moltiplicazione per scalare ·: K×V→V, che soddisfano le seguenti proprietà:

• (SV1) L’insieme V dotato dell’operazione di addizione + è un gruppo abeliano, ossia
• a) Per ogni v, w, u ∈ V si ha v+(w+u) = (v+w)+u (proprietà associativa per l’addizione).
• b) Esiste 0 ∈ V tale che 0+v = v+0 = v per ogni v ∈ V (esistenza dell’elemento neutro per l’addizione).
• c) Per ogni v ∈ V esiste (−v) ∈ V tale che v+(−v) = (−v)+v = 0 (esistenza dell’opposto).
• d) Per ogni v, w ∈ V si ha v+w = w+v (proprietà commutativa per l’addizione).
• (SV2) Per ogni v ∈ V e λ, μ ∈ K si ha λ·(μ·v) = (λ·μ)·v (compatibilità della moltiplicazione per scalare e della moltiplicazione di K).
• (SV3) Per ogni v ∈ V e λ, μ ∈ K si ha (λ+μ)·v = (λ·v)+(μ·v) (proprietà distributiva della moltiplicazione per scalare rispetto all’addizione di K).
• (SV4) Per ogni v, w ∈ V e λ ∈ K si ha λ·(v+w) = (λ·v)+(λ·w) (proprietà distributiva della moltiplicazione per scalare rispetto all’addizione di V).
• (SV5) Per ogni v ∈ V si ha 1·v = v.

Gli elementi di V sono detti vettori, e quelli di K sono detti scalari.

Enunciare un risultato (teorema, proposizione, corollario) sugli spazi vettoriali

Proposizione: Sia V uno spazio vettoriale su un campo K con l’addizione + e la moltiplicazione per scalare ·. Allora, le seguenti proprietà sono soddisfatte:

• (SV6) Per ogni v ∈ V si ha 0·v = 0.
• (SV7) Per ogni v ∈ V si ha (−1)·v = (−v).
• (SV8) Per ogni λ ∈ K si ha λ·0 = 0.
• (SV9) Per ogni λ ∈ K\{0}, se v ∈ V e λ·v = 0 allora si ha v = 0.

Parlare brevemente delle combinazioni lineari

Le combinazioni lineari sono la più semplice espressione che possiamo scrivere in uno spazio vettoriale: sono somme di prodotti per scalare. Esse sono anche le più generali, perché ogni espressione in uno spazio vettoriale può essere ridotta a una combinazione lineare attraverso le proprietà degli spazi vettoriali.

Parlare brevemente dei sottospazi vettoriali

I sottospazi vettoriali sono sottoinsiemi di spazi vettoriali che ereditano la struttura di spazio vettoriale.

Parlare brevemente del concetto di insieme di generatori e dei sottospazi vettoriali finitamente generati

Definizione: Un sottospazio vettoriale W di uno spazio vettoriale V è detto finitamente generato se esiste un sottoinsieme finito {w₁, w₂, ..., w_n} di W tale che Span(w₁, w₂, ..., w_n) = W. Uno spazio vettoriale V è detto finitamente generato se V, pensato come sottospazio vettoriale di sé stesso, è finitamente generato, ossia se esiste un sottoinsieme finito {v₁, v₂, ..., v_n} di V tale che Span(v₁, v₂, ..., v_n) = V.

Enunciare un risultato (teorema, proposizione, corollario) sui sottospazi vettoriali

Proposizione: Sia V uno spazio vettoriale dotato di addizione + e moltiplicazione per scalare · su un campo K. Un sottoinsieme W di V è un sottospazio vettoriale di V se e solo se valgono le seguenti proprietà:

• (SSV1) 0 ∈ W;
• (SSV2) Per ogni v, w ∈ W si ha v+w ∈ W;
• (SSV3) Per ogni v ∈ W e λ ∈ K si ha λ·v ∈ W.

Parlare brevemente della dipendenza e dell’indipendenza lineare

Definizione: Sia V uno spazio vettoriale su un campo K, e siano v₁, v₂, ..., v_n vettori di V. I vettori v₁, v₂, ..., v_n sono detti linearmente indipendenti se il vettore nullo è il risultato di una sola combinazione lineare dei vettori v₁, v₂, ..., v_n (quella con tutti i coefficienti nulli), ossia se, comunque vengono scelti i coefficienti λ₁, λ₂, ..., λ_n ∈ K non nulli, il risultato della combinazione lineare λ₁v₁ + λ₂v₂ + ... + λ_nv_n non è il vettore nullo.

I vettori v₁, v₂, ..., v_n sono detti linearmente dipendenti se il vettore nullo è il risultato di una combinazione lineare dei vettori v₁, v₂, ..., v_n con coefficienti non tutti nulli, ossia se esistono λ₁, λ₂, ..., λ_n ∈ K non tutti nulli tali che 0 = λ₁v₁ + λ₂v₂ + ... + λ_nv_n.

Enunciare un risultato (teorema, proposizione, corollario) sulla dipendenza o sull’indipendenza lineare

Proposizione: Sia V uno spazio vettoriale, e siano v₁, v₂, ..., v_n vettori di V con n ≥ 2. Essi sono linearmente dipendenti se e solo se uno di essi è il risultato di una combinazione lineare degli altri.

Proposizione: Sia V uno spazio vettoriale, e siano v₁, v₂, ..., v_n vettori di V. Essi sono linearmente indipendenti se e solo se ogni vettore di Span(v₁, v₂, ..., v_n) è il risultato di una sola combinazione lineare dei vettori v₁, v₂, ..., v_n.

Parlare brevemente delle coordinate di un vettore rispetto a una base

Definizione: Sia B = {v₁, v₂, ..., v_n} una base di uno spazio vettoriale V, e sia v un vettore di V. Le coordinate di v rispetto alla base B sono i coefficienti λ₁, λ₂, ..., λ_n della (unica) combinazione lineare di v₁, v₂, ..., v_n il cui risultato è v, v = λ₁v₁ + λ₂v₂ + ... + λ_nv_n.

Parlare brevemente delle basi degli spazi vettoriali

Definizione: Una base di uno spazio vettoriale V è un insieme finito ordinato B = {v₁, v₂, ..., v_n} i cui vettori v₁, v₂, ..., v_n generano V e sono linearmente indipendenti.

Parlare brevemente dell’algoritmo di estrazione di una base

Algoritmo: (Estrazione di una base). Sia X = {v₁, v₂, ..., v_n} un insieme finito ordinato di generatori di uno spazio vettoriale V. I passi dell’algoritmo sono n. Al passo i-esimo si decide se tenere o scartare il vettore v_i:

• Il vettore v_i viene tenuto se esso, insieme agli altri vettori tenuti fino a quel momento, forma un insieme di vettori linearmente indipendenti.
• Il vettore v_i viene scartato altrimenti (ossia se esso, insieme agli altri vettori tenuti fino a quel momento, forma un insieme di vettori linearmente dipendenti).

I vettori tenuti dopo gli n passi, ordinati come in X, sono il risultato dell’algoritmo.

Enunciare un risultato (teorema, proposizione, corollario) sulle basi degli spazi vettoriali

Proposizione (Wikipedia): Sia B = {v₁, v₂, ..., v_n} una base di uno spazio vettoriale V. Allora B è un insieme massimale di vettori linearmente indipendenti in V.

Parlare brevemente della dimensione degli spazi vettoriali finitamente generati

Definizione: La dimensione di uno spazio vettoriale finitamente generato V è il numero degli elementi di una qualsiasi delle sue basi, ed è indicata con dim(V).

Parlare brevemente dell’algoritmo di completamento a una base

Algoritmo (Completamento a una base): Sia X = {v₁, v₂, ..., v_m} un sottoinsieme ordinato di vettori linearmente indipendenti di uno spazio vettoriale finitamente generato V. Al passo i-esimo,

• Se Span(v₁, v₂, ..., v_m+i-1) ≠ V, si sceglie un vettore v_m+i che non appartiene a Span(v₁, v₂, ..., v_m+i-1).
• Se Span(v₁, v₂, ..., v_m+i-1) = V, l’algoritmo termina e il risultato è l’insieme ordinato {v₁, v₂, ..., v_m+i-1}.

Enunciare un risultato (teorema, proposizione, corollario) sulle dimensione degli spazi vettoriali

Corollario: Sia n la dimensione di uno spazio vettoriale finitamente generato V, e siano v₁, v₂, ..., v_k vettori di V. Le seguenti proprietà sono soddisfatte:

• Se v₁, v₂, ..., v_k sono linearmente indipendenti, allora k ≤ n.
• Se v₁, v₂, ..., v_k generano V, allora n ≤ k.

Parlare brevemente delle operazioni elementari sulle matrici, e di uno dei metodi di eliminazione di Gauss con normalizzazione o di Gauss-Jordan

Definizione: Una operazione elementare sulle righe su una matrice A ∈ K è una delle seguenti modifiche di A:

• I) Scambio di due righe di A.
• II) Moltiplicazione di una riga di A per un elemento λ ∈ K \ {0}.
• III) Sostituzione di una riga di A con la somma della riga stessa e di un multiplo di un’altra riga.