Paniere verificato di Geometria (2025) - Risposte aperte

→V

+: VxV

e una detta moltiplicazione per scalare:

→V,

K x V

che soddisfano le seguenti proprietà:

(SV1) l’insieme V dotato dell’operazione di addizione + è un gruppo abeliano, ossia:

a) per ogni v, w, u V si ha v+(w+u) = (v+w)+u

∈

(proprietà associativa per l’addizione),

b) esiste 0 V tale che 0+v=v+0=v per ogni v V

∈ ∈

(esistenza dell’elemento neutro per l’addizione),

c) per ogni v V esiste (-v) V tale che v+(-v) = (-v)+ v = 0

∈ ∈

(esistenza dell’opposto),

d) per ogni v, w V si ha v+w=w+v

∈

(proprietà commutativa per l’addizione);

(SV2) per ogni v V e λ,μ K si ha λ · (μ · v) = (λ · μ) · v

∈ ∈

(compatibilità della moltiplicazione per scalare e della moltiplicazione di K);

(SV3) per ogni v V and λ,μ K si ha (λ+ μ )·v = (λ ·v)+( μ ·v )

∈ ∈

(proprietà distributiva della moltiplicazione per scalare rispetto all’addizione di K);

(SV4) per ogni v, w, V e λ K si ha λ·(v+w) = ( λ·v) + ( λ·w)

∈ ∈

(proprietà distributiva della moltiplicazione per scalare rispetto all’addizione di V );

(SV5) per ogni v V si ha 1·v = v.

∈

(neutralità di 1 rispetto alla moltiplicazione per scalare).

Gli elementi di V sono detti vettori, e quelli di K sono detti scalari.

Proposizione: Sia V uno spazio vettoriale su un campo K con l’addizione + e la

moltiplicazione per scalare : Allora, le seguenti proprietà sono soddisfatte:

(SV6) per ogni v V si ha 0·v=0;

∈

(SV7) per ogni v V si ha (−1)·v=(-v);

∈

(SV8) per ogni λ∈K si ha λ·0=0;

(SV9) per ogni λ∈K\{0}, se v∈V e λ·v=0 allora si ha v=0. 4

Lezione 006

01. Parlare delle combinazioni lineari.

Sia V uno spazio vettorialie su un campo K. Si considerino V1,V2,…Vn V λ1, λ2,… λn K.

∈ ∈

La scrittura

λ1V1+ λ2V2+….λnVn

È detta combinazione lineare dei vettori Vi. Gli scalari λi sono detti coefficenti della combinazione

lineare. Il vettore V = λ1V1+ λ2V2+….λnVn è detto risultato o valore della combinazione lineare.

Zero vettore dano una sola combinazione lineare, il ciu il risultato o valore e nullo.

Le combinazioni lineari sono la più semplice espressione che possiamo scrivere uno spazio

vettoriale: sono somme di prodotti per scalare. Esse sono anche le più generali, perché

ogni espressione in uno spazio vettoriale può essere ridotta a una combinazione lineare

attraverso le propietà degli spazi vettoriali. 5

Lezione 007

01. Parlare brevemente dei sottospazi vettoriali

I sottospazi vettoriali sono sottoinsiemi di spazi vettoriali che ereditano la

struttura di spazio vettoriale.

Proposizione: Sia V uno spazio vettoriale dotato di addizione + e moltiplicazione

per scalare · su un campo K. Un sottoinsieme W di V è un sottospazio vettoriale

di V se e solo se valgono le seguenti proprietà:

(SSV1) 0 W;

∈

(SSV2) per ogni v,w W si ha v+w W;

∈ ∈

(SSV3) per ogni v W e λ Ksi ha λ·v W.

∈ ∈ ∈

02. Parlare brevemente del concetto di insieme di generatori e dei sottospazi

vettoriali finitamente generati

Definizione: Un sottospazio vettoriale W di uno spazio vettoriale V è detto

finitamente generato se esiste un sottoinsieme finito {w1,w2.w3….wn } di W tale che

Span (w1,w2,w3…wn) = W.

Uno spazio vettoriale V è detto finitamente generato se V, pensato

come sottospazio vettoriale di sé stesso, è finitamente generato, ossia se esiste un

sottoinsieme finito {v1,v2,v3,…vn} di V tale che Span (v1,v2,v3,…vn ) = V. 6

Lezione 008

01. Parlare della dipendenza e dell’indipendenza lineare, in particolare dando la

definizione ed enunciando un risultato (teorema, proposizione o corollario).

Definizione: Sia V uno spazio vettoriale su un campo K, e siano V1,V2,V3,…Vn vettori di V.

• I vettori V1,V 2,V3,…Vn, sono detti linearmente indipendenti se il vettore nullo è

il risultato di una sola combinazione lineare dei vettori V1,V2,V3,…Vn (quella

con tutti i coefficienti nulli), ossia se, comunque vengono scelti i coefficienti , λ1,

λ2,…, λn K non nulli, il risultato della combinazione lineare λ1v1 + λ2v2 +···+λn vn non è il vettore

∈

nullo.

• I vettori V1,V2,…,Vn sono detti linearmente dipendenti se il vettore nullo è il

risultato di una combinazione lineare dei vettori V1,V2…Vn con coefficienti non

tutti nulli, ossia se esistono λ1,λ2,...,λn K non tutti nulli tali che

∈

0=λ1V1 +λ2V2 +…+ λnVn.

Proposizione: Sia V uno spazio vettoriale, e siano V1,V2,…Vn vettori di V con n ≥ 2.

Essi sono linearmente dipendenti se e solo se uno di essi è il risultato di una combinazione lineare

degli altri.

Proposizione: Sia V uno spazio vettoriale, e siano V1,V2,…Vn vettori di V.

Essi sono linearmente indipendenti se e solo se ogni vettore di Span (v,v,...,v ) è

il risultato di una sola combinazione lineare dei vettori V1,V2…Vn. 7

Lezione 009

01. Parlare delle basi degli spazi vettoriali, in particolare dando la definizione ed

enunciando un risultato (teorema, proposizione o corollario).

Uno spazio vettoriale su un campo K è un insieme V dotato di due operazioni,

una detta addizione

+: V × V →V

e una detta moltiplicazione per scalare

·: K × V →V,

che soddisfano le seguenti proprietà:

(SV1) l’insieme V dotato dell’operazione di addizione + è un gruppo abeliano,

ossia:

a) per ogni v, w, u V si ha v+(w+u) = (v+w)+u

∈

(proprietà associativa per l’addizione),

b)esiste 0 V tale che 0+v=v+0=v per ogni v V

∈ ∈

(esistenza dell’elemento neutro per l’addizione),

c) per ogni v V esiste (-v) V tale che v+(-v) = (-v) + v = 0

∈ ∈

(esistenza dell’opposto),

d) per ogni v, w V si ha v+w=w+v

∈

(proprietà commutativa per l’addizione);

(SV2) per ogni v V e λ, μ K si ha λ·(μ·v) = (λ·μ)·v

∈

∈

(compatibilità della moltiplicazione per scalare e della moltiplicazione di K);

(SV3) per ogni v V e λ, μ K si ha (λ+μ)·v = (λ·v)+(μ·v)

∈

∈

(proprietà distributiva della moltiplicazione per scalare rispetto all’addizione di V);

(SV4) per ogni v, w, V e λ K si ha λ·(v+w)=(λ·v)+(λ·w)

∈ ∈

(proprietà distributiva della moltiplicazione per scalare rispetto all’addizione di K );

(SV5) per ogni v V si ha1·v = v.

∈

(neutralità di 1 rispetto alla moltiplicazione per scalare).

Gli elementi di V sono detti vettori, e quelli di K sono detti scalari.

Proposizione: Sia V uno spazio vettoriale su un campo K con l’addizione + e la

moltiplicazione per scalare: Allora, le seguenti proprietà sono soddisfatte:

(SV6) per ogni v∈V si ha 0·v=0;

(SV7) per ogni v∈V si ha( −1)·v=(-v);

(SV8) per ogni λ∈K si ha λ·0=0;

(SV9) per ogni λ∈K \{0},se v∈V e λ·v=0 allora si ha v=0. 8

02. Parlare dell’algoritmo di estrazione di una base.

Algoritmo(Estrazione di una base).

Sia I = { , , . . . , } un insieme finito ordinato di generatori di uno spazio vettoriale V. I

passi dell’algoritmo sono n. Al passo i-esimo si decide se tenere o scartare il vettore :

• il vettore viene tenuto se esso, insieme agli altri vettori tenuti fino a quel momento, forma

un insieme di vettori linearmente indipendenti;

• il vettore viene scartato altrimenti (ossia se esso, insieme agli altri vettori tenuti fino a

quel momento, forma un insieme di vettori linearmente dipendenti).

I,

I vettori tenuti dopo gli n passi, ordinati come in sono il risultato dell’algoritmo.

03. Parlare delle basi degli spazi vettoriali, e delle coordinate di un vettore rispetto a una

base.

Definizione (Base).

, , . . . , } una base di uno spazio vettoriale V , e sia v un vettore di V. Le

Sia B = { , , . . . , della (unica)

coordinate di v rispetto alla base B sono i coefficienti λ λ λ

, , . . . , il cui risultato è v,

combinazione lineare di

v = + + · · · + .

λ λ λ

Allora, i seguenti fatti sono equivalenti fra loro:

• B è una base di V ,

• ogni vettore di V è il risultato di una e una sola combinazione lineare degli elementi di B.

Definizione (Cordinate).

Siano , , . . . , le coordinate di un vettore v rispetto a una base B di uno spazio

λ λ λ

vettoriale V. Il vettore colonna di che ha come entrate queste coordinate è detto vettore

delle coordinate o rappresentazione di v rispetto alla base B, ed è indicato con

:=

[v] ⋮ 9

Lezione 010

01. Parlare della dimensione degli spazi vettoriali finitamente generati in particolare dando

la definizione ed enunciando un risultato (teorema, proposizione o corollario).

Definizione: La dimensione di uno spazio vettoriale finitamente generato V è il

numero degli elementi di una qualsiasi delle sue basi, ed è indicata con dim(V).

Corollario: Sia n la dimensione di uno spazio vettoriale finitamente generato V ,

e siano v1, v2 , . . . , vk vettori di V. Le seguenti proprietà sono soddisfatte:

• se v1, v2, . . . , vk sono linearmente indipendenti, allora k ≤ n;

• se v1, v2, . . . , vk generano V, allora n ≤ k.

02. Parlare dell’ algoritmo di completamento a una base.

Algoritmo (Completamento a una base):

Sia X = {v1, v2 , . . . , vm} un

sottoinsieme ordinato di vettori linearmente indipendenti di uno spazio vettoriale

finitamente generato V . Al passo i-esimo,

≠ m+i

• se Span (v1, v2,…,vm + i−1) V, si sceglie un vettore vm+i che non appartiene a Span

(v1 , v2 , . . . , vm + i-1);

• se Span (v1, v2,…,vm+i−1) = V, l’algoritmo termina e il risultato è l’insieme

ordinato {v1, v2, . . . , vm+i−1}.

Lezione 011

NO HAY PREGUNTAS 10

Lezione 012

01. Parlare delle operazioni elementari sulle matrici, e di uno dei metodi di eliminazione di

Gauss, di Gauss con normalizzazione o di Gauss-Jordan. ,