Paniere con risposte chiuse di Metodi di analisi matematica A20 e A26

Proprietà delle funzioni analitiche e olomorfe

Se è analitica non è detto che sia olomorfa. Se è olomorfa non è detto che sia derivabile infinite volte. È analitica se e solo se è olomorfa. Se è olomorfa in z0 non è detto che sia sviluppabile in serie di Taylor in un intorno di z0.

Formula di Cauchy per le derivate

Se Λ è un circuito semplice e w è un punto interno a Λ, allora:

f⁽ⁿ⁾(w) = 1/n! ∮ f(z)/(z-w)ⁿ dz, dove l'integrale è esteso a Λ

f⁽ⁿ⁾(w) = n!/(2πi) ∮ f(z)/(z-w)ⁿ dz, dove l'integrale è esteso a Λ

f⁽ⁿ⁾(w) = 1/(2πn!) ∮ f(z)/(z-w)ⁿ⁺¹ dz, dove l'integrale è esteso a Λ

f⁽ⁿ⁾(w) = n!/(2πi) ∮ f(z)/(z-w)ⁿ⁺¹ dz, dove l'integrale è esteso a Λ

Esempi di integrali di contorno

1. ∮ e^z/(z-1)² dz lungo la circonferenza centrata in z=1 di raggio 1 vale 2πi

2. ∮ 1/(z²-1) dz lungo la circonferenza centrata in z=-1 di raggio 1 vale -πi

3. ∮ sin(z)/z⁴ dz lungo la circonferenza

centrata nell'origine e di raggio 2 valeπi/4o -πi/3o -πi/4!o πi/3o

Lezione 01301. La parte singolare dello sviluppo in serie di Laurent attorno a z=0 della funzione f(z)=1/[z2(z-1)] è-1/z2-1/zo -1/z2+1/zo 1/z2+1/zo 1/zo0

2. La parte singolare dello sviluppo in serie di Laurent attorno a z=0 della funzione f(z)=sin(z)/z è0o 1/zo 1/z2o ∑z2n+1/(2n+1)!, dove la sommatoria è per n che va da 0 a +∞o

3. La funzione f(z)=1/cos(z)ha una singolarità non isolata in z=0o non ha singolarità isolateo ha singolarità isolate in z=π/2+kπ, con k∈Zo ha una singolarità isolata in z=0o

Lezione 01401. La funzione f(z)=1/(z2-iz) hain z=0 un polo doppioo in z=i un polo doppioo in z=0 e in z=i due poli doppio in z=0 e in z=i due poli semplicio

2. La funzione f(z)=(ez-1)/z ha, in z=0una singolarità eliminabileo un polo doppioo un polo sempliceo una singolarità essenzialeo

3. Sia f(z) una funzione con un polo in z0=i.

Allora la sua serie di Laurent centrata in z0 ha la parte singolare con un numero finito di termini, non ha la parte regolare. O ha solo la parte regolare, non ha la parte singolare con infiniti termini. Lezione 015 01. Il residuo di f(z)=zcos(1/z) in z=0 è 1/4! 02. Il residuo di f(z)=z3e1/z in z=0 è 0 03. Il residuo di f(z)=sin(z)/z2 in z=0 è 1 Lezione 016 01. Se f(z)=1/g(z), con g(z0)=0 e g'(z0)≠0, allora z0 è un polo semplice per f(z) e Res(f,z0)=1/g'(z0) 02. Il residuo in ∞ di f(z)=[sin(1/z)]/(z-1) è -1 03. Se ∞ è un punto di accumulazione per il dominio di f(z) ed è una singolarità isolata per f(z), allora il residuo di f(z) in ∞ è il residuo di -1/z f(1/z) in ∞

1. Il residuo di f(z) in ∞ è il residuo di f(1/z) in 0
2. Il residuo di f(z) in ∞ è il residuo di -1/z f(1/z) in ∞
3. Il residuo di f(z) in ∞ è il limite di f(z) per z→∞
4. Lezione 01701. ∫z^3e^(1/z)dz lungo la circonferenza di centro z=1 e di raggio 4 vale πi/3
5. Lezione 01701. ∫z^3e^(1/z)dz lungo la circonferenza di centro z=1 e di raggio 4 vale πi/12
6. Lezione 01701. ∫z^3e^(1/z)dz lungo la circonferenza di centro z=1 e di raggio 4 vale πi
7. Lezione 01701. ∫z^3e^(1/z)dz lungo la circonferenza di centro z=1 e di raggio 4 vale πi/4
8. 02. ∫1/(z^2+1) dz lungo la circonferenza centrata in z=i e di raggio 1 vale 2πi[Res(f,i)+Res(f,-i)]
9. 02. ∫1/(z^2+1) dz lungo la circonferenza centrata in z=i e di raggio 1 vale 2πiRes(f,-i)
10. 02. ∫1/(z^2+1) dz lungo la circonferenza centrata in z=i e di raggio 1 vale 2πi[Res(f,i)-Res(f,-i)]
11. 02. ∫1/(z^2+1) dz lungo la circonferenza centrata in z=i e di raggio 1 vale 2πiRes(f,i)
12. 03. ∫z^3/(z^4+i) dz lungo la circonferenza di centro z=0 e raggio 2 vale 2πi
13. 03. ∫z^3/(z^4+i) dz lungo la circonferenza di centro z=0 e raggio 2 vale -πi
14. 03. ∫z^3/(z^4+i) dz lungo la circonferenza di centro z=0 e raggio 2 vale -2πi
15. 03. ∫z^3/(z^4+i) dz lungo la circonferenza di centro z=0 e raggio 2 vale πi
16. Lezione 01801. ∫cos(2t)/[2+3sin(t)] dt tra 0 e 2π vale 2πi(1/3-40/271)
17. Lezione 01801. ∫cos(2t)/[2+3sin(t)] dt tra 0 e 2π vale 2πi(41/270+1/3)
18. Lezione 01801. ∫cos(2t)/[2+3sin(t)] dt tra 0 e 2π vale 2πi(41/270-1/6)
19. Lezione 01801. ∫cos(2t)/[2+3sin(t)] dt tra 0 e 2π vale 2πi(-1/3)
20. 02. ∫x^2/(x^4+5x^2+6)dx da -∞ a +∞ vale (3/√3)π
21. 02. ∫x^2/(x^4+5x^2+6)dx da -∞ a +∞ vale (3-√6)/(√3) π
22. 02. ∫x^2/(x^4+5x^2+6)dx da -∞ a +∞ vale 2πi
23. 02. ∫x^2/(x^4+5x^2+6)dx da -∞ a +∞ vale (3+√6)/(√3) π
24. 03. ∫x^2/(x^2+1)^3dx da -∞ a +∞ vale 2π/3
25. 03. ∫x^2/(x^2+1)^3dx da -∞ a +∞ vale πi/8
26. 03. ∫x^2/(x^2+1)^3dx da -∞ a +∞ vale πi/16
27. 03. ∫x^2/(x^2+1)^3dx da -∞ a +∞ vale π/8
28. Lezione 01901.

1. ∫₀^+∞ cos(3x)/(x²+1)dx = 3πi/(2e)
2. ∫₀^+∞ [xsin(x)]/(x²+1)dx = πi/(2e)
3. ∫_-∞^+∞ cos(x)/x dx = π
4. Lezione 02001. Sia Λ il cammino costituito dai due archi di circonferenza centrati in z=0, di raggio rispettivamente re R e dai due segmenti che congiungono tali archi, partendo dal semiasse Re(z)>0 fino alla retta che forma un angolo di 2π/3 con tale semiasse. Sia f(z)=√z/(z³+1). Se Cr(0) e CR(0) sono i due archi di circonferenza e λ è il segmento sulla retta che forma un angolo di 2π/3 con Re(z)>0, allora l'integrale di f(z) su Λ è 3∫√x/(x+1)dx - ∫√(iy)/[(iy)+1)]dy + ∫√(iy)/[(iy)+1]dy + ∫√x/(x+1)dx, dove il primo integrale è calcolato da ro a R, il secondo lungo Cr(0), il terzo lungo CR(0) e il quarto lungo λ

1. +1)dz+∫√z/(z +1)dz, dove il primo integrale è calcolato lungo Cr(0) ed il secondo lungo CR(0)o 3 3∫√x/(x +1)dx+∫√x/(x +1)dx, dove il primo integrale è calcolato da r a R e il secondo lungo λo 3 3 3 3∫√x/(x +1)dx-∫√z/(z +1)dz+∫√z/(z +1)dz+∫√z/(z +1)dz, dove il primo integrale è calcolato da r a R, ilo secondo lungo Cr(0), il terzo lungo CR(0) e il quarto lungo λ02.

2. Sia Λ il cammino dell'esercizio precedente. Se r è sufficientemente piccolo e R è sufficientementegrande, la funzione f(z)=√z/(z3+1) hai tre poli z1=1/2+(√3/2)i, z2=1/2-(√3/2)i e z3=-1 all'interno di Λo soltanto il polo z1=1/2+(√3/2)i all'interno di Λo nessun polo all'interno di Λo i due poli z1=1/2+(√3/2)i e z2=1/2-(√3/2)i all'interno di Λo

3. 3. Utilizzando i risultati ottenuti nei due

1. esercizi precedenti ed il teorema dei residui, si ottiene che∫√x/(x3+1)dx da 0 a +∞ valeπi/3o π/3o πo πio
2. Lezione 02101. Sia Lf(s) la trasformata di Laplace di una funzione f(x). Allorail limite di Lf(s) per Re(s)→+∞ è uguale a +∞o il limite di Lf(s) per Im(s)→0 è uguale a 0o il limite di Lf(s) per Im(s)→+∞ è uguale a 0o il limite di Lf(s) per Re(s)→+∞ è uguale a 0o
3. 02. Se la trasformata di Laplace di f(x) è definita in s0 C, allora∈è definita ∀s∈Co è definita con Im(s)>Im(s0)∀s∈C,o è definita con Re(s)>Re(s0)∀s∈C,o è definita con Re(s)<Re(s0)∀s∈C,o
4. 03. Sia H(x) la funzione di Heaviside. Allora la trasformata di Laplace di f(x)=H(x)cos(ax), con a R, è∈2 2Lf(s)=s/(s -a )o 2 2Lf(s)=s/(s +a )o 2 2Lf(s)=1/(s -a )o 2 2Lf(s)=1/(s +a )o
5. Lezione 02201. Sia H(x) la funzione di Heaviside e

sintassi HTML, il seguente testo formattato:

sia f(x) una funzione trasformabile secondo Laplace. Se a>0, la trasformata di Laplace di g(x)=f(x-a)H(x-a) è Lg(s)=e-saLf(s) o Lg(s)=esaLf(s) o Lg(s)=f(a)LH(s) o Lg(s)=H(a)Lf(s)

Sia f(x) una funzione periodica di periodo T e sia f0(x)=f(x) se x [0,T], f0(x)=0 se x [0,T]. Sia H(x) la∈ ∉funzione di Heaviside. Allora L(fH)(s) è uguale a Lf0(s)(1-e-Ts) o Lf0(s)[1/(1-e-Ts)] o Lf0(s)H(s) o Lf(s)LH(s)

Se la trasformata di Laplace di f(x) converge in Re(s)>a e la trasformata di Laplace di g(x) converge in Re(s)>b, allora la trasformata di Laplace di f(x)+g(x) converge in Re(s)>(a+b)/2 o la trasformata di Laplace di f(x)+g(x) converge in Re(s)>min{a,b} o la trasformata di Laplace di f(x)+g(x) converge in Re(s)>a+b o la trasformata di Laplace di f(x)+g(x) converge in Re(s)>max{a,b}

Lezione 02301. Sia H(x) la funzione di Heaviside. Ricordando che la trasformata di Laplace di H(x)sin(x) è la funzione f(s)=1/(1+s^2), si ottiene, utilizzando la sintassi HTML, il seguente testo formattato:

della Heaviside e sia f(x) = x*sin(x)*H(x). Allora, ricordando che L[sin(x)*H(x)](s) = 1/(1+s^2), si ha: 2*L[-x*sin(x)*H(x)](s) = s/(1+s^2) 2*L[-x*sin(x)*H(x)](s) = -2s/(1+s^2) 2*L[-x*sin(x)*H(x)](s) = 1/(1+s^2) 2*L[-x*sin(x)*H(x)](s) = -s/(1+s^2) Lezione 02 401. Sia g(x) una funzione la cui trasformata di Laplace è G(s) = 1/(s^2+4) e sia F(s) = 2/[(s-1)^2+4]. Allora l'antitrasformata di Laplace di F(s) è: f(x) = 2*e^(-x)*g(x) f(x) = 2*e^(-x)*G(x) f(x) = 2*e^x*g(x) f(x) = 2*e^x*G(x) 02. Sia H(x) la funzione della Heaviside e sia f(x) una funzione derivabile con f'(x) trasformabile secondo Laplace in Re(s) > a. Se f(x) è trasformabile secondo Laplace in Re(s) > b, si ha che s C con Re(s) > max(a,b) per ogni ∈ L. f'(s) = s*L(f(s)) - f'(0+) f'(s) = s*L(f(s)) - f(0+) f'(s) = s*L(f(s)) + f(0+) f'(s) = L(f(s)) - f(0+) 03. Sia H(x) la funzione della Heaviside e sia f(x) = x*sin(x)*H(x). Allora, ricordando che L[sin(x)*H(x)](s) = 1/(1+s^2), si ha: L[H(x)*sin(x)](s) = π/2 - arctan(s) L[H(x)*sin(x)](s) = π + arctan(s) L[H(x)*sin(x)](s) = arctan(s) L[H(x)*sin(x)](s) = π/2 + arctan(s)di Heaviside. L'antitrasformata di Laplace di F(s)=1/(s+4) è f(x)=e^(-4x)H(x) o f(x)=4e^(4x)H(x) o f(x)=e^(4x)H(x) o f(x)=4e^(-4x)H(x) Sia H(x) la funzione di Heaviside. Ricordando che la trasformata di Laplace di x^2H(x) è f(s)=2/s^3 e la trasformata di Laplace di cos(ωx)H(x) è g(s)=s/(s^2+ω^2), si ottiene che l'antitrasformata di Laplace di F(s)=1/(s^2+3s)/(s^2+9) è f(x)=1/2x^2H(x)+cos(x)H(x) o f(x)=x^2H(x)+cos(3x)H(x) o f(x)=x^2H(x)+3cos(x)H(x) o f(x)=1/2x^2H(x)+3cos(3x)H(x) Lezione 02501. Si consideri il problema di Cauchy y''+2y'+5y=0, y(0)=2, y'(0)=4. Se si trasformano secondo Laplace entrambi i membri dell'equazione, indicando con Y(s) la trasformata di y, si ottiene l'equazione s^2+2s+5=2sY(s) o (s^2+2s+5)Y(s)=2s o (s^2+2s+5)Y(s)=s o s^2+2s+5=sY(s) o 02. Utilizzando il risultato dell'esercizio precedente e antitrasformando secondo Laplace, si ottiene che la soluzione del problema di Cauchy, per t