Paniere con risposte chiuse di Metodi di analisi matematica A20 e A26

Paniera completo e-campus - Risposte chiuse

Metodi di analisi matematica

L'insegnamento delle materie scientifiche negli istituti secondari di I e II grado: matematica e fisica

Docente: Catania Davide

Lezione 002

• 01. Il numero complesso z=-1+i in forma goniometrica è √2 (cos(3/4 π)+i sin(3/4 π)) o 2(sin(3/4 π)+icos(3/4 π)) o 2(cos(3/4 π)+isin(3/4 π)) o √2 (sin(3/4 π)+icos(3/4 π))
• 02. L'argomento principale del numero complesso z=-3-4i è arctan(4/3)+π o arctan(4/3)-π o arctan(3/4)-π o arctan(4/3)
• 03. Se z=3-2i e w=1+i, la parte reale di z/w è -2,5 o 1/2 o 3 o 1/√2

Lezione 003

• 01. Le radici seste di z=3+4i sono i vertici di un esagono inscritto nella circonferenza di centro z e raggio 5 o un esagono inscritto nella circonferenza di centro z e raggio radice sesta di 5 o un esagono inscritto nella circonferenza di centro l'origine e raggio radice sesta di 5 o un esagono inscritto nella circonferenza di centro l'origine e raggio 5
• 02. Il numero complesso z=1-i in forma esponenziale è √2 exp(-π/4 i) o 2exp(-π/4 i) o 2exp(π/4 i) o √2 exp(π/4 i)
• 03. Sia z=1/2+i (√3)/2. Allora z3=√2 exp(π/3 i) o z3=exp(π/3 i) o z3=exp(π i) o z3=√2 exp(π i)

Lezione 004

• 01. Sia z=e(π/6 i) e w=2+3i. Allora zw è e-π/2[1/2-i(√3)/2] o eπ/2[1/2+i(√3)/2] o eπ/2[1/2-i(√3)/2] o e-π/2[1/2+i√3]
• 02. Ln(-1-i) è uguale a ln(√2)+i(-3/4 π) o ln(radice di 2)+i(3/4 pigreco+2kpigreco) o ln(√2)+i(5/4 π+2kπ) o ln(radice di 2)+i(5/4 pigreco)
• 03. Sia f(z)=ez, con z variabile complessa. Allora f(z) assume sempre valori reali positivi o f(z)=f(x+iy)=ex+eiy o |f(z)|=1 per ogni z in C o f(z) può assumere valori reali negativi

Lezione 005

• 01. Se f(z)=sinh(z), allora f(π/4 i)=(√2/2)i o f(π/4 i)=(√2/2) o f(π/4 i)=i/2 o f(π/4 i)=2i
• 02. Se f(z)=zez=(x+iy)ex+iy, allora Re[f(z)]=ex(xcosy-ysiny) o Re[f(z)]=ex(xcosy-xsiny) o Re[f(z)]=ey(xcosx-ysiny) o Re[f(z)]=ex(xcosy-ysinx)
• 03. Una branca di f(z)=√z è una funzione per tutti i valori di z in C escluso lo 0 o per tutti i valori di z in C escluso l'asse x o per tutti i valori di z in C o per tutti i valori di z in C escluso il semiasse delle x<0

Lezione 006

• 01. Sia z0 un punto di accumulazione del dominio D di f(z). Allora il limite di f(z) per z→z0 è uguale a ∞ se Esiste K>0: δ>0 e risulta |f(z)|>K∀ ∀z∈D∩B_δ(z0)\{z0} o Esiste K>0 ed esiste δ>0: risulta |f(z)|>K∀z∈D∩B_δ(z0)\{z0} o K>0 esiste δ>0: risulta |f(z)|>K∀ ∀z∈D∩B_δ(z0)\{z0} o K>0 esiste δ>0: risulta f(z)>K∀ ∀z∈D∩B_δ(z0)\{z0}
• 02. Il limite di (z -̅ z)/z² (dove z ̅ indica il coniugato di z) per z→0, calcolato lungo l'asse immaginario vale 2 o 0 o non esiste o ∞
• 03. Sia f(z) una funzione continua in z0, punto di accumulazione del suo dominio. Allora Il limite di f(z) per z→z0 esiste lungo qualsiasi curva che passa per z0 e il valore del limite può essere ∞ o Il limite di f(z) esiste lungo qualsiasi curva per z0 ed è uguale a f(z0) o f(z0) esiste ed è un valore finito, ma non è detto che il limite di f(z) per z→z0 esista o Esistono direzioni lungo le quali f(z) ammette limite finito e direzioni lungo le quali il limite è ∞

Lezione 007

• 01. Il limite di f(z)=[2-2cos(z)-z²]/(3z⁴) per z→0 vale -0,25 o -1/36 o 2/3 o 0
• 02. La funzione f(z)=|z|² è derivabile ∀z∈C o è derivabile ∀z∈C\{0} o è derivabile solo per z=0 o non è derivabile in alcun punto
• 03. Il limite di (ez-1-z)/z² per z→0 vale 1 o ∞ o 0 o 1/2

Lezione 008

• 01. Sia C un cammino parametrizzato da r(t) in [a,b]. C è un cammino semplice se r(t) è suriettivo o r(t) è iniettivo o r(a)≠r(b) o r(a)=r(b)
• 02. Se il cammino C è parametrizzato da r(t) in [a,b], allora il cammino inverso -C può essere parametrizzato da r(b+t(a+b)) con t∈[0,1] o r(a+t(a+b)) con t∈[0,1] o r(b+t(b-a)) con t∈[0,1] o r(b+t(a-b)) con t∈[0,1]
• 03. Il sostegno di un cammino C parametrizzato da r(t) in [a,b] è r(b) o r([a,b]) o r(a) o L'intervallo [a,b]

Lezione 009

• 01. ∫1/z dz lungo la semicirconferenza di centro l'origine e raggio 1, dal punto z=1 al punto z=-1, vale -1 o 0 o -πi o πi
• 02. ∫z²dz lungo la semicirconferenza centrata nell'origine e di raggio 1, dal punto z=1 al punto z=-1, vale -2/3 o 4/3 o 2/3 o 2/3 i
• 03. ∫z/z̅ dz (dove z̅ indica il coniugato di z) lungo la circonferenza centrata nell'origine e di raggio 1 vale -1 o 0 o 2π o i

Lezione 010

• 01. ∫z²ezdz lungo la circonferenza centrata nell'origine e di raggio 1 vale 1 o 0 o 2πi o πi
• 02. ∫1/z dz lungo la circonferenza centrata in z=1 e di raggio 1/2 vale 1 o 0 o πi o 2πi
• 03. ∫1/(z-1) dz lungo una qualsiasi circonferenza centrata in z=1 vale πi o 0 o -πi o 2πi

Lezione 011

• 01. Sia f(z) una funzione analitica in un aperto di C. Allora il coefficiente n-esimo della sua espansione in serie di Taylor centrata in z0 è 1/n!∫f(z)/(z-z0)n+1 dz lungo una circonferenza centrata in z0 o 1/(2πi)∫f(z)/(z-z0)n+1 dz lungo una circonferenza centrata in z0 o ∫f(z)/(z-z0)n+1 dz lungo una circonferenza centrata in z0 o 1/(2πi)∫f(z)/(z-z0)n dz lungo una circonferenza centrata in z0
• 02. Una funzione di variabile complessa Se è analitica non è detto che sia olomorfa o Se è olomorfa non è detto che sia derivabile infinite volte o è analitica se e solo se è olomorfa o Se è olomorfa in z0 non è detto che sia sviluppabile in serie di Taylor in un intorno di z0
• 03. Se Λ è un circuito semplice e w è un punto interno a Λ, allora f(n)(w)=1/n!∫f(z)/(z-w)n dz, dove l'integrale è esteso a Λ o f(n)(w)=n!/(2πi)∫f(z)/(z-w)n dz, dove l'integrale è esteso a Λ o f(n)(w)=1/(2πn!)∫f(z)/(z-w)n+1 dz, dove l'integrale è esteso a Λ o f(n)(w)=n!/(2πi)∫f(z)/(z-w)n+1 dz, dove l'integrale è esteso a Λ

Lezione 012

• 01. ∫ez/(z-1)²dz lungo la circonferenza centrata in z=1 di raggio 1 vale eπi o 2eπi o 2πi o -2πi
• 02. ∫1/(z²-1) dz lungo la circonferenza centrata in z=-1 di raggio 1 vale -πi o 2πi o 1 o 0
• 03. ∫sin(z)/z⁴dz lungo la circonferenza centrata nell'origine e di raggio 2 vale πi/4 o -πi/3 o -πi/4! o πi/3

Lezione 013

• 01. La parte singolare dello sviluppo in serie di Laurent attorno a z=0 della funzione f(z)=1/[z²(z-1)] è -1/z²-1/z o -1/z²+1/z o 1/z²+1/z o 1/z
• 02. La parte singolare dello sviluppo in serie di Laurent attorno a z=0 della funzione f(z)=sin(z)/z è 0 o 1/z o 1/z² o ∑z²n+1/(2n+1)!, dove la sommatoria è per n che va da 0 a +∞
• 03. La funzione f(z)=1/cos(z) ha una singolarità non isolata in z=0 o non ha singolarità isolate o ha singolarità isolate in z=π/2+kπ, con k∈Z o ha una singolarità isolata in z=0

Lezione 014

• 01. La funzione f(z)=1/(z²-iz) ha in z=0 un polo doppio o in z=i un polo doppio o in z=0 e in z=i due poli doppio in z=0 e in z=i due poli semplici
• 02. La funzione f(z)=(ez-1)/z ha, in z=0 una singolarità eliminabile o un polo doppio o un polo semplice o una singolarità essenziale
• 03. Sia f(z) una funzione con un polo in z0=i. Allora la sua serie di Laurent centrata in z0 ha la parte singolare con un numero finito di termini o non ha la parte regolare o soltanto la parte regolare o la parte singolare con infiniti termini

Lezione 015

• 01. Il residuo di f(z)=zcos(1/z) in z=0 è 1/4! o 1/2 o -1/2 o 1
• 02. Il residuo di f(z)=z³e1/z in z=0 è 0 o 1 o 1/4! o 1/3!
• 03. Il residuo di f(z)=sin(z)/z² in z=0 è 1 o -1 o 2! o 0

Lezione 016

• 01. Se f(z)=1/g(z), con g(z0)=0 e g'(z0)≠0, allora z0 è un polo semplice per f(z) e Res(f,z0)=1/g'(z0) o z0 è un polo semplice per g(z) e Res(g,z0)=g'(z0) o z0 è un polo semplice per g(z) e Res(g,z0)=1/g'(z0) o z0 è un polo semplice per f(z) e Res(f,z0)=1/f'(z0)
• 02. Il residuo in ∞ di f(z)=[sin(1/z)]/(z-1) è -1 o 1 o 0 o πi
• 03. Se ∞ è un punto di accumulazione per il dominio di f(z) ed è una singolarità isolata per f(z), allora il residuo di f(z) in ∞ è il residuo di -1/z f(1/z) in 0 o il residuo di f(z) in ∞ è il residuo di f(1/z) in 0 o il residuo di f(z) in ∞ è il residuo di -1/z f(1/z) in ∞ o il residuo di f(z) in ∞ è il limite di f(z) per z→∞

Lezione 017

• 01. ∫z³e1/zdz lungo la circonferenza di centro z=1 e di raggio 4 vale πi/3 o πi/12 o πi o πi/4
• 02. ∫1/(z²+1) dz lungo la circonferenza centrata in z=i e di raggio 1 vale 2πi[Res(f,i)+Res(f,-i)] o 2πiRes(f,-i) o 2πi[Res(f,i)-Res(f,-i)] o 2πiRes(f,i)
• 03. ∫z³/(z⁴+i) dz lungo la circonferenza di centro z=0 e raggio 2 vale 2πi o -πi o -2πi o πi

Lezione 018

• 01. ∫cos(2t)/[2+3sin(t)] dt tra 0 e 2π vale 2πi(1/3-40/271) o 2πi(41/270+1/3) o 2πi(41/270-1/6) o 2πi(-1/3)
• 02. ∫x²/(x⁴+5x²+6)dx da -∞ a +∞ vale (3/√3)π o (3-√6)/(√3) π o 2πi o (3+√6)/(√3) π
• 03. ∫x²/(x²+1)³dx da -∞ a +∞ vale 2π/3 o πi/8 o πi/16 o π/8

Lezione 019

• 01. ∫cos(3x)/(x²+1)dx da 0 a +∞ vale 3πi/(2e) o 3π/(2e) o 3π/e o 3πe/2
• 02. ∫[xsin(x)]/(x²+1)dx da 0 a +∞ vale πi/(2e) o π/e o πi/e o π/(2e)
• 03. ∫cos(x)/x dx da -∞ a +∞ vale π o 0 o 1 o πi

Lezione 020

• 01. Sia Λ il cammino costituito dai due archi di circonferenza centrati in z=0, di raggio rispettivamente r e R e dai due segmenti che congiungono tali archi, partendo dal semiasse Re(z)>0 fino alla retta che forma un angolo di 2π/3 con tale semiasse. Sia f(z)=√z/(z³+1). Se Cr(0) e CR(0) sono i due archi di circonferenza e λ è il segmento sulla retta che forma un angolo di 2π/3 con Re(z)>0, allora l'integrale di f(z) su Λ è ∫√x/(x³+1)dx-∫√(iy)/[(iy)³+1)]dy+∫√(iy)/[(iy)³+1]dy+∫√x/(x³+1)dx