Ottica e laboratorio

I ∂U

∂V 2

− −

V )dA + (U grad V V grad U )ρ dΩ = 0 (5.4)

(U n n

∂n ∂n sfera

A −r̂.

consideriamo il secondo addendo. Si noti che la normale alla superficie sferica non è altri che il versore

ikr ikr

I I e e ∂U

∂

−iωt 2

2 −

− −V ρ dΩ

)

(U grad V V grad U )ρ dΩ = e (U

0

n n ∂r r r ∂r

sfera sfera r=ρ

ikr ikr

ikr

I ike e

e ∂U

−iωt 2

−V −

−

= e [U ( ) ρ dΩ

]

0 2

r r r ∂r

sfera r=ρ

ikρ

I e ∂U

−iωt 2 ikρ ikρ

−V −

= e (− ρ + U ike ρ e U )dΩ

0 ρ ∂r

→

passando al limite ρ 0 si ha I −iωt

2

−

(U grad V V grad U )ρ dΩ = V e U 4π (5.5)

0 P

n n

sfera

Dunque si ha sostituendo in (5.4) ikr ikr

I e e

1 −

( grad U U grad )dA (5.6)

U =

P n n

4π r r

A

che costituisce il teorema integrale di Kirchoff.

5.2.1 Applicazione - fenditura

Vogliamo ricavare il campo in corrispondenza di un punto P assumendo noto il campo in corrispondenza della

fenditura. Definiamo una superficie chiusa arbitraria comprendente il punto P e la fenditura. Risulta ragionevole

assumere il campo nullo sulla superficie definita eccezion fatta per la fenditura stessa e che il valore del campo

in corrispondenza dell’apertura è pari a quello che si avrebbe in sua assenza.

Assumiamo dunque che il campo U sia pari a 0

ikr

e −iωt

U = U e (5.7)

0 0

r

sulla fenditura e nullo negli altri punti della superficie.

Abbiamo dunque 0 0

ikr ikr ikr ikr

I

1 e e e e

−iωt −

U = U e ( grad grad )dA (5.8)

p 0 n n

0 0

4π r r r r

A

42 CHAPTER 5. DIFFRAZIONE

calcoliamo i gradienti 0 0 0

ikr ikr ikr

e ike e

ˆ

0 −

grad = cos(n̂, r )( )

n 0 0 02

r r r 0

0 ikr

ikr e

i2πe

ˆ

0 − )

= cos(n̂, r )( 0 02

λr r

0

ikr

i2πe

ˆ

0

≈ cos(n̂, r ) 0

λr

ikr ikr ikr

e ike e

− )

grad = cos(n̂, r̂)(

n 2

r r r

ikr ikr

i2πe e

−

= cos(n̂, r̂)( )

2

λr r

ikr

i2πe

≈ cos(n̂, r̂) λr −2

2

in cui si è sfruttato k = 2π/λ e che r >> rλ portando dunque al poter trascurare i termini di ordine r .

Si ha dunque sostituendo in (5.8) 0

−iωt ikr ikr

I

U e ike e

0 ˆ

0

− −

U = [cos(n̂, r̂) cos(n̂, r )]dA (5.9)

P 0

4π rr

Consideriamo il caso semplice di fenditura circolare.

In questo modo possiamo considerare in corrispondenza della fenditura una calotta sferica centrata in S di

ˆ ˆ

0 0 0

− −1.

raggio r . In questo modo si ha n̂ = r implicando cos(n̂, r ) = Si ha dunque

0

−iωt ikr ikr

I

U e ike e

0

− [cos(n̂, r̂) + 1]dA (5.10)

U =

P 0

4π rr −1

Si noti che considerando come punto P la sorgente S stessa si ha anche cos(n̂, r̂) = portano U = 0. Questo

P

implica che non si ha riflessione.

Questo risultato non si può ottenere dal solo principio di Huygens.

0 0

ikr

Possiamo interpretare la (5.10) nel seguente modo: U = U e /r è l’onda primaria incidente sulla fenditura.

A 0

Da questa ogni elemento di superficie dA dell’apertura è sorgente di un’onda sferica secondaria

i(kr−ωt)

U e

A dA

r

e l’effetto totale in corrispondenza di P è dato dalla somma di tutte queste onde, ognuna pesata dal fattore di

obliquità cos(n̂, r̂) + 1. −iπ/2 ◦

−i

Si osservi inoltre la presenza del fattore = e , implicando che l’onda diffratta è sfasata di 90 dall’onda

primaria incidente.

5.3 Regime di Fraunhofer

Tale regime è connotato dall’approssimare sia il fronte d’onda incidente che quello diffratto con un’onda piana.

Intuitivamente tale condizione si verifica se sia la distanza della sorgente che del punto P considerato dalla

fenditura è tale da rendere non apprezzabile la curvatura del fronte d’onda. Possiamo dare un criterio per poter

meglio quantificare tale condizione correlandola alle dimensioni proprie della fenditura.

Consideriamo la seguente figura

5.3. REGIME DI FRAUNHOFER 43

Calcoliamo la variazione della distanza totale che il fronte d’onda deve attraversare a seconda del punto della

fenditura considerato. Tale valore sarà pari alla differenza tra il cammino di lunghezza massima e minima:

p p

p p

0 02 0 02 02

2 2 2 2 2

− −

∆(r r ) = d + (h + δ) + d + (h + δ) ( d + h + d + h )

s s

s s

2 2 2

2

0 0 0

h + δ h + δ h h

0 0 −

−

+ d d

d

= d 1 + 1 + 1 + 1 +

0 0 0

d d d d

√

≈

sfrutto lo sviluppo notevole 1 + 1 + .

2 0 02

02 2 2 2 2

δ h δ h δ hδ h h

h 0

0 0 − −

− ≈ + + ) + d(1 + + + ) d (1 + ) d(1 + )

∆(r r ) d (1 + 02 02 02 02 02

2 2 2

2d 2d d 2d 2d d 2d 2d

0

h h 1

1 1 2

= ( + +

)δ + ( )δ

0 0

d d 2 d d

2

Il termine in δ è una misura della curvatura del fronte d’onda. In regime di Fraunhofer dunque tale termine

deve essere trascurabile. La lunghezza caratteristica dei fenomeni ondulatori è la lunghezza d’onda λ. Infatti

ikr ik(r+∆)

→

se i termini sono piccoli rispetto a quest’ultima allora le variazioni di e e sono piccole (implicando

in questo caso che i punti sono tutti in fase). Affermato ciò si ha dunque che la condizione affinchè il regime sia

di Fraunhofer è 1 1

1 2

( + )δ << λ

0

2 d d 0

1 d + d 2

δ << λ

0

2 dd

2

δ << Rλ

0 0

con R = 2dd /(d + d ), che rappresenta un sorta di distanza ridotta.

5.3.1 Esempi

Consideriamo in primis il teorema integrale di Kirchoof 0

−iωt ik(r+r )

Z Z e

ikU e

0 0

−

− [cos(n, r) cos(n, r )]dA (5.11)

U =

P 0

4π rr

A

0 0

ikr

Assumendo onda piana si ha che il termine e /r è costante in buona approssimazione e possiamo dunque

0

portarlo fuori dall’integrale; dato che r e r variano poco lo faranno anche gli angoli loro funzione, possiamo

0

−

dunque portare fuori dall’integrale cos(n, r) cos(n, r ); il termine 1/r varia poco e dunque possiamo sostituirlo

ikr i2πr/λ

= e data la dipendenza da λ è suscettibile anche a piccole variazioni

con il suo valore medio; il termine e

di r, dunque non lo si può portare fuori dall’integrale.

Si ha dunque che (5.11) si riduce a Z Z ikr

U = C e dA (5.12)

P A

con C che ingloba tutte le costanti.

Consideriamo adesso diversi esempi concreti di applicazione di tale formula.

• Singola fenditura unidimensionale

Consideriamo un sistema di riferimento solidale con la fenditura con l’asse y parallelo a questa e con y = 0

coincidente con il suo centro. La dimensione della fenditura è pari a b.

44 CHAPTER 5. DIFFRAZIONE

Vogliamo ricavare il valore del campo U in funzione dell’angolo θ, con θ pari all’angolo compreso tra la

P

direzione di propagazione del fronte d’onda piano e l’asse x.

Definiamo la distanza r = r + y sin θ, con r pari alla distanza dal punto y = 0 (centro della fenditura).

0 0

La scelta di tale definizione è data dal voler avere un dominio di integrazione simmetrico in modo da

ricondurci immediatamente ad una funzione trigonometrica.

Si ha dunque +b/2

Z ikr

U (θ) = C e dy

−b/2 +b/2

Z

ikr iky sin θ

= Ce e dy

0 −b/2

ikr

Ce 0 −ikb

ikb sin θ/2 sin θ/2

−

(e e )

= ik sin θ

ikr

2Ce b

0

= sin(k sin θ)

k sin θ 2

definiamo β = kb sin θ/2. Otteniamo sin β

0

U (θ) = C (5.13)

β

e l’intensità dell’onda è dunque pari a 2

sin β

I(θ) = I (5.14)

0 2

β

2 β

sin 2

β

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2 β

-5 5

I minimi dell’intensità sono in corrispondenza di nλ

→ ±nπ → ≈ ±

sin β = 0 β = sin θ θ = b

5.3. REGIME DI FRAUNHOFER 45

Si ha che il primo minimo, che definisce la larghezza del picco maggiore, è θ = λ/b. Si evince che

min

→ → ∞ → ∞

per b 0 l’angolo diverge, mentre per b questo tende a zero. Il limite b implica che la

fenditura è di dimensione infinita, e l’angolo nullo implica che va avanti senza che abbia luogo il fenomeno

→

della diffrazione. In tale limite si ha I(β) δ(β). Si faccia attenzione che in quest’ultimo caso bisogna

considerare la presenza di una lente di dimensione infinita. Infatti in tale circostanza (in regime di

Fraunhofer) tutto è focalizzato in un solo punto.

Il parametro rilevante è il rapporto λ/b.

• Apertura rettangolare

Consideriamo un apertura rettangolare di lati a e b e definiamo gli angoli θ e φ tali che θ sia quello che

sottende lungo la direzione di b e φ lungo la direzione di a.

Si ottiene, senza compiere la dimostrazione 2 2

sin β

sin α (5.15)

I = I

0 α β

con α = ka sin φ/2 e β = kb sin θ/2.

• Due fenditure unidimensionali

A differenza dei casi precedenti si hanno in questo caso due aperture in cui il campo elettromagnetico è

diverso da zero. Utilizziamo il teorema integrale di Kirchoof applicandolo ad una superficie che racchiude

entrambe le fenditure. Definiamo un sistema di riferimento come mostrato in figura

ikr

Si ha dunque, senza espicitare il fattore di fase globale e 0

b h+b

Z Z Z

iky sin θ iky sin θ iky sin θ

e dy = e dy + e dy

A 0 h

1 ikb sin θ ik(b+h) sin θ ikh sin θ

− −

= (e 1 + e e )

ik sin θ

1 ikb sin θ ikh sin θ ikb sin θ

− −

= [(e 1) + e (e 1)]

ik sin θ

1 ikb sin θ ikh sin θ

−

= (e 1)(1 + e )

ik sin θ

ikb sin θ ikh sin θ

e e