Ottica e laboratorio

Appunti di

Ottica e laboratorio

scritti da

Riccardo Javier Valencia Tortora

July 2, 2017

2

Contents

1 Onde elettromagnetiche 5

1.1 Caso 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Caso 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Spettro elettromagnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4 Propagazione di un’onda in un mezzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.5 Relazione tra campo elettrico e magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.6 Vettore di Poynting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.7 Inviluppo di onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.8 Dipendenza indice di rifrazione dalla frequenza dell’onda elettromagnetica . . . . . . . . . . . . . 12

2 Polarizzazione della luce 17

2.1 Vettori di Jones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2 Elemento ottico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2.1 Elemento ottico - polaroid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2.2 Effetti del mezzo di propagazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2.3 Rotatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2.4 Rotazione elemento ottico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2.5 Rotazione polaroid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2.6 Rotazione lamina di ritardo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3 Fenomeni di scattering 25

3.1 Riflessione e rifrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2 Relazioni di Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4 Interferenza 31

4.1 Interferometri (assente) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.1.1 Interferometro di Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.1.2 Interferometro di Michelson-Morley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.1.3 Interferometro di Sagnac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.1.4 Interferometro di Mach-Zender . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.2 Coerenza parziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.2.1 Esperienza 2 in laboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.2.2 Tempo e lunghezza di coerenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.3 Interferenza tra due laser indipendenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.3.1 Considerazioni sull’interferenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.3.2 Spettro in frequenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5 Diffrazione 39

5.1 Principio di Huygens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.2 Teorema integrale di Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.2.1 Applicazione - fenditura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.3 Regime di Fraunhofer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.3.1 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.3.2 Foro circolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.4 Potere risolutivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.4.1 Potere risolutivo spaziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.4.2 Potere risolutivo spettrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3

4 CONTENTS

6 Interferometro di Fabry-Perot 51

6.1 Presenza di assorbimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6.2 Impieghi interferometro Fabry-Perot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6.2.1 Spettrometro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6.2.2 Laser - Anticipazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

6.2.3 Multistrati dielettrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

7 Fenomeno della birifrangenza 59

7.1 Materiali non isotropi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

7.2 Birifrangenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

7.2.1 Lamine di ritardo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

7.2.2 Polirizing Beam Splitter (PBS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

7.2.3 Attività ottica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

7.2.4 Effetto Kerr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

7.2.5 Effetto Polkels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

7.2.6 Effetto Faraday - attività ottica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

8 Stati parzialmente coerenti e incoerenti 69

8.1 Vettori di Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

8.2 Procedura generale di caratterizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

8.3 Procedura sperimentale per stimare i parametri di Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

9 Ottica non lineare 73

10 Ottica geometrica 75

10.1 Equazione del diottro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

10.1.1 Trattazione matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

10.1.2 Combinazione di due diottri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

10.1.3 Sistema 4f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

10.2 Formalismo matriciale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

11 Laser: Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation 83

11.1 Funzionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

11.2 Laser He-Ne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

11.2.1 Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

12 Esperienze in laboratorio 87

12.1 Esperienza 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

12.2 Esperienza 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

12.3 Esperienza 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

12.4 Esperienza 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

12.5 Esperienza 5 - Studio della polarizzazione mediante lamine di ritardo . . . . . . . . . . . . . . . . 87

12.5.1 Parte 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

12.5.2 Parte 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

12.5.3 Parte 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

12.6 Esperienza 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

Chapter 1

Onde elettromagnetiche

Consideriamo le equazioni di Maxwell nel vuoto in assenza di sorgenti di campo elettrico e campo magnetico

(ρ = 0 e J = 0). ∂H

∇ × −

E = µ

0 ∂t

∇ · E =0 ∂E

∇ × H = 0 ∂t

∇ · H =0

dove −7

×

µ = 4π 10 H/m (1.1)

0 −12

×

= 8.854 10 F/m

0

sono rispettivamente la permeabilità magnetica del vuoto e la permittività elettrica del vuoto.

Applicando l’operatore rotore alla prima equazione si ottiene

∂

∇ × ∇ × −µ ×

E = (∇ H) (1.2)

0 ∂t

2

∇ × × ∇(∇ · − ∇

in cui sfruttando (∇ a) = a) a 2

∂ E

2

∇ (1.3)

E = µ

0 0 2

∂t

che non è altri che l’equazione delle onde.

Sfruttando il medesimo procedimento si ottiene anche l’equazione relativa al campo magnetico

2

∂ H

2

∇ H = µ (1.4)

0 0 2

∂t

Quindi in conclusione possiamo affermare, indicando con U sia E che H a seconda delle esigenze

2

1 ∂ U

2

∇ U = (1.5)

2 2

c ∂t

2

dove c = 1/ µ è la velocità di propagazione dell’onda, come di seguito dimostreremo.

0 0

L’equazione (1.5) può essere compattata introducendo il d’Alambertiano

2

1 ∂

2

∇ −

=

2 2

c ∂t

da cui = 0 (1.6)

U

in cui si noti che l’operatore è un operatore lineare, cioè date due funzioni f e f soluzioni allora anche

1 2

una loro combinazione af + bf è soluzione. Risulta valido il principio di sovrapposizione.

1 2 5

6 CHAPTER 1. ONDE ELETTROMAGNETICHE

1.1 Caso 1D

Consideriamo un’onda che si propaga lungo l’asse z. Avremo dunque

2 2

∂ U 1 ∂ U

= (1.7)

2 2 2

∂z c ∂t

cerchiamo una soluzione del tipo −

U = U cos(kz ωt) (1.8)

0

che opportunamente sostituita nell’equazione differenziale ci dà

2

ω

2 − −

k U cos(kz ωt) = U cos(kz ωt)

0 0

2

c

da cui ω

k = (1.9)

c

cosa rappresentano queste quantità?

• ω è la pulsazione, cioè la velocità con cui oscilla nel tempo fissata la posizione;

• k è il vettore d’onda, che rappresenta la velocità con cui oscilla nello spazio a tempo fissato;

• c è la velocità di propagazione dell’onda.

Diamo un senso ad ogni grandezza mediante una rappresentazione grafica dell’onda a tempi fissati t e t + ∆t

0

→

Considerando due punti a stessa ordinata, a quale velocità si sposta il punto P P ? Presentano lo stesso

argomento del cos e dunque − −

cos(kz ωt) = cos[k(z + ∆z) ω(t + ∆t)]

∆z

→

∆z =c∆t c = ∆t

da cui si evince che c è la velocità di propagazione, detta anche di fase, dell’onda. La velocità di fase è dunque

la velocità con cui si muove l’argomento del cos.

Si osservi che affinchè un’onda sia regressiva deve essere del tipo

cos(kz + ωt)

Affinché T sia il periodo dobbiamo avere che, fissata la posizione z, dobbiamo avere lo stesso argomento del

cos − −

cos(kz ωt) = cos(kz ω(t + T ))

− −

kz ωt + 2π = kz ω(t + T )

da cui 2π

→

ωT = 2π ω = = 2πν (1.10)

T

e analogamente affinchè λ sia la lunghezza d’onda bisogna avere che a tempo t fissato si abbia lo stesso argomento

del cos − −

cos(kz ωt) = cos(k(z + λ) ωt)

− −

kz ωt + 2π = k(z + λ) ωt

da cui 2π

→ (1.11)

kλ = 2π k = λ

da cui, dato che c = ω/k si ha λ

c = = λν (1.12)

T

1.2. CASO 3D 7

1.2 Caso 3D

Abbiamo un’onda che si può propagare liberamente nello spazio. Introduciamo il vettore

r = ix + jy + lz

e il vettore d’onda in 3D k = ik + jk + lk

x y z

Una soluzione dell’equazione delle onde è · −

U (x, y, z, t) = U cos(k r ωt) (1.13)

0

che sostituita in (1.5) ci dà 2 ω

ω

2 2 2 → c = (1.14)

k + k + k =

x y z 2 |k|

c

in cui si osserva che si ha la stessa relazione tra la velocità di propagazione c e k vista precedentemente.

Vogliamo adesso capire come si muovono i fronti d’onda. Un fronte d’onda è costituito da quell’insieme di

punti che hanno lo stesso valore del campo U . Nel caso della soluzione oscillante ricavata, questa condizione è

soddisfatta se hanno il medesimo argomento del cos, cioè se sono in fase.

L’equazione del fronte d’onda è dunque ·

k r = ωt + φ + 2πn (1.15)

che non è altri che l’equazione di un piano avente come vettore direttore k. Dato che il vettore direttore di un

⊥

piano è ortogonale al piano stesso si ha che k U. I fronti d’onda si propagano alla velocità di fase.

Il fatto che sia un piano indefinitamente è però fisicamente non accettabile. Infatti l’energia trasportata dall’onda

e strettamente correlata dalla superficie del fronte d’onda stesso, implicando che un fronte d’onda infinito ha

energia infinita.

Dove sta dunque il problema? L’onda piana costituisce un’approssimazione valida in una porzione limitata di

spazio lontana dalla sorgente.

Si noti che infatti un’altra soluzione accettabile è quella di un’onda sferica la cui sorgente è puntiforme. Il

valore del campo U in un dato punto dello spazio è, usufruendo delle coordinate sferiche

1 −

U = cos(kr ωt) (1.16)

r

|r|

in cui si noti che r = è la distanza dalla sorgente.

Un altro tipo di fronte d’onda accettabile è il fascio gaussiano, il cui fronte d’onda ha forma gaussiana.

8 CHAPTER 1. ONDE ELETTROMAGNETICHE

1.3 Spettro elettromagnetico

Riportiamo di seguito una tabella con le informazioni relative alla frequenza ν, lunghezza d’onda λ ed energia

(hν) associata al singolo fotone.

La lunghezza d’onda consente di affermare indicativamente quando è possibile l’osservazione dei fenomeni on-

dulatori, cioè se le dimensioni del nostro apparato sono con essa confrontabili (se la risoluzione non è sufficiente

il rilevatore fa un’operazione di media eliminando l’interferenza). La frequenza invece ci dà informazioni sulla

frequenza di campionamento necessaria.

L’energia associata ad un singolo fotone è pari a −34

× ·

E = hν ; h = 6.62 10 J s (1.17)

Sperimentalmente bisogna tenere in considerazione il rumore di fondo che generalmente, in questo caso, è

dato dal fenomeno radiativo di corpo nero, la cui energia è

E = kT

questa, a seconda della sensibilità dello strumento, può essere più o meno fastidiosa. Data la sua proporzionalità

con la temperatura per poterla eliminare quanto si fa è spingersi alle temperature più basse possibili.

1.4 Propagazione di un’onda in un mezzo

Assumiamo di trovarci sempre in assenza di cariche e correnti, tale che le equazioni delle onde elettromagnetiche

rimangano formalmente invariate. La presenza di un mezzo in cui l’onda si propaga, assumendo che questo sia

isotropo, omogeneo e non conduttivo, porta al sostituire la permeabilità magnetica e la permittività del

vuoto con quella propria del materiale. ∂H

∇× −

E = µ ; µ = µ µ

0 r

∂t

∇ · E =0 ∂H

∇ × ; =

H = 0 r

∂t

∇ · H =0

Si ottiene 2

1 ∂ U 1 c

2

∇ U = ; u = =

√ √

2 2

u ∂t µ µ

r r

1.5. RELAZIONE TRA CAMPO ELETTRICO E MAGNETICO 9

dato che stiamo considerando materiale non magnetici si ha µ = 1 da cui

r

c

√

u = r

c

= n

dove n è l’indice di rifrazione del materiale.

Di seguito riportiamo alcuni valori dell’indice di rifrazione

materiale n

aria 1.0003

polistirene 1.6

1.5-1.7

vetro

acqua 1.33

Abbiamo dunque una modifica della velocità di fase di un fattore 1/n a seguito del passaggio dell’onda elettro-

magnetica in un mezzo.

Vediamo se e come gli altri parametri si modificano:

• la frequenza ν non muta, dato che tutti i fronti d’onda vanno alla stessa velocità di fase, cosı̀ come anche

il periodo T = 1/ν e la pulsazione ω = 2πν;

• dato che u = νλ si ha che la lunghezza d’onda, assumendo λ quella nel vuoto, diventa

0

λ 0 (1.18)

λ = n

• il modulo del vettore d’onda, dato che si modifica la lunghezza d’onda, diventa

2πn

k = (1.19)

λ 0

1.5 Relazione tra campo elettrico e magnetico

Consideriamo nuovamente l’equazione delle onde 2

∂ U

1

2

∇ (1.20)

U = 2 2

u ∂t

con U = E o H con i = x, y, z.

i i

Risulta soluzione, sfruttando il formalismo complesso i(k·r−ωt)

U = U e (1.21)

0

la cui parte reale rappresenta la soluzione di significato fisico. Il formalismo complesso risulta usato frequente-

mente data la semplicità di uso rispetto alle funzioni trigonometriche.

∇

Osserviamo che l’applicazione degli operatori ∂ o equivale a

t

∂U i(k·r−ωt)

−iωU

= e

0

∂t i(k·r−ωt)

∇U = ike

dunque si ha ∂ → −iω (1.22)

∂t

∇ → ik (1.23)

Avendo definito l’applicazione di tali operatori sostituendo la soluzione trovata nelle equazioni di Maxwell si

ottiene ×

k E =