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Equazioni di Maxwell
E campo elettrico B campo magneticoD induzione elettrica H induzione magnetica
Solo nel vuoto, in assenza di cariche ρ=0 J=0
∇⋅E = 0∇⋅H = 0
μ0 = 4π 10-7 H/mε0 = 8,85·10-12 F/m
∇×(∇×E) = ∇⋅(∇⋅E) - ∇2E
-∇×H = μ0 ε0 ∂2E/∂t2
Equazione d'Almbertiano
- ∇2E = μ0 ∂2E/∂x2Equazione delle ondeDE=0
La parte successiva causa
D = d'Almbertiano
Ottengo la stessa equazione d'onda per il campo magnetico
DH=0
In generale abbiamo sempre:
∂2U/∂x2 + ∂2U/∂y2 + ∂2U/∂z2 - 1/u2 ∂2U/∂t2
con U = Ex, Ey, Ez, Hx, Hy, Hz
Studiamo questa equazione nel caso unidimensionale
∇2 → ∂2/∂z2
∂2U/∂z2 - 1/u2 ∂2U/∂t2
u è caratteristico del mezzo di propagazione
Soluzioni armoniche
U(z,t) = U0 cos (kz-ωt)
-k2 U0 cos (kz-ωt) = -ω2/k2 cos (kz-ωt)
μ = ω/k
Nel vuoto μ = c (velocità della luce)
ω: pulsazione v: velocità di propagazione k: vettore d'onda
λ: periodicità spaziale = lunghezza d'onda
In generale, l'argomento del coseno
Propagazione da destra dell'onda
Introduciamo B: grandezza T: periodo
ωT = 2π T = 2π/ω
Frequenza v = 3/T ω = 2πv
Velocità di propagazione (velocità di fase)
(k2 - k1)t = k((z + Δz) - k(t + Δt))
Velocità di fase
Δz = ω/k μ velocità di fase
Nota: L'operatore di affiancamento è lineare
Onda una loro combinazione lineare è ancora un'onda
= Principio di sovrapposizione
Onda tridimensionale
ψ
ρ2
Onda piana in 3 dimensioni
∇2
∂x = Ey(z̄)
∂y = Bx(z̄)
∂z̄2 -∂
∇ × Ê = -μÊ
∂x = E0 cos (k̄•x̄ - ωt)
∇̄ = k̂
k̂ - m̂
ω
k̂
kx + ky +
μE = μF
Onde sferiche
Scriviamo coordinate adattate
- x = rsenθcosφ
- y = rsenθsenφ
- z = rcosθ
- Δs* 2
Equazione delle onde
∇2 = 1 Π
E⟂H
yΠx =
1
La soluzione della forma:
(r,t) = (tr^(n/2) t)
A esempio pormi anto 1/x cos(kx - ωt)
Esso può essere studiato nel formalismo di Jones.
Rappresentazioni ortogonali
Dobbiamo utilizzare un prodotto scalare.
(A1 B1) (A2 B2)*
Il prodotto scalare è: A1A2* + B1B2*
Per ortogonalità abbiamo A1A2* + B1B2* = 0
È da qui che
E1, E2=0
Polarizzatore e filtro
La luce ambiente è nettamente luce non polarizzata.
Per vedere la luce polarizzata possiamo usare i polaroid: sono microcristalli, hanno una direzione preferenziale che oscura una certa PL.
Depolarizz. L’orientamento della luce dipende dalla polarizzazione della luce incidente.
Sorgenti polarizzate
- Schermo
- Riframare
La riflessione dipende da θ e dalla polarizzazione incidente R(θ, pincaolcate)
Cinema 3D
l’idea è trasmettere all’occhio destro e all’occhio sinistro input diversi.
Si ricostruiscono, nello schermo, due immagini con polarizzazioni ortogonali. Però ci vuole una polarizzazione invariata per ricostruire.
[occhiali da cinema]
Matrici di Jones
Per studiare il modo in cui dei dispositivi agiscono sulla polarizzazione
(AB ) (Eox) = (A Eox + B Eoy)
(CD ) (Eoy) (C Eox + D Eoy)
Hx/y (π/4) ( 0 1 ) = 1/√2 ( 1 1 )
Preserva l'ortogonalità.
Hx/y (π/4) [ 1/√2 ( 1 1 )
-1 1 )
Hx/y (π/4)
[ 1/√2 ] = [ 1/2 -1/2 ]
Hx/x (π/4) [ 1/2(1 1) = [ 1/2(1 1)
-1/2(-1 1) ] = 1√2 (1 1) a meno di una fase globale
tira rotazionante a left è autorestate di questa funzione (anche -45°).
Quindi prima 1/2 e a sinistra andiamo campo e // ad una
degli essi proiettore): Le due componente è uncopatanno luogo di lavoro
Hx/y (0) H -> H V -> + -> - + L -> R
Hx/y (π) H -> H V -> L + -> - R -> R + -
Hx/y (π/2) H -> R V -> H R -> V Q -> V L -> H
H/y (π) H -> R -> Q -> H
A/D Ruotata
Hx/y (θ) = R(-θ) Hx/y (0) R(θ) = ( C -S ) compute="1 0 (C S) " (C^2-S^2)/S^2=2C
X/Y = ( cos2θ +sen2θ ) = Hx/y (θ)
( +sen2θ cos2θ )
Hx/y (π/2)
( 0 1 ) ( 0 0 )
- -> R -> H RSL L -> R
Hx/y (118) = + -
V -> 1/√2 ( -1 -1 ) (-1)
H -> 0 P(1) ( 1 )
Ruotata
normalise = P(θ) Ambyte
P(θ) = ( cosθ cosθsen2θ )
( cosθsen2θ )
È un proiettore
16/03/2018
ts: auto p. scorrente
Btm = Btm
rs = E3 / E3 = sen(θ - θi) / sen(θ + θi)
ts = E3 / E3 = 2 sen θ sen θi / sen(θ + θi)
Rp = tg2 (θ - θi) / tg (θ + θi)
Rs = sen2 (θ - θi) / sen(θ + θi)
QB = Angolo di Brewster
d/λ
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