Teoria di Ottica

Equazioni di Maxwell

∇ · E = 0

∇ × E = - ∂B/∂t

oppure

∇ · B = 0

∇ × B = εμ ∂E/∂t

Equazioni delle onde

∇²E - Εμ ∂²E/∂t² = 0

∇²B - Εμ ∂²B/∂t² = 0

Soluzione più generale f(x,t) = ƒ(x ± νt)

• a) x - λt onda progressiva
• b) x + λt onda regressiva

Fronti d’onda

ξ ⊂ luogo dei punti in cui ξ assume lo stesso valore

Onda periodica

ƒ(ξ) = A sen(2π/λ (x - νt) + φ) = A sen(2π/T (x/vt) + φ)

= A sen(kx - ωt + φ)

T = periodo λ = lunghezza d’onda

ν = 1/T = frequenza

ω = 2πν = pulsazione

k = 2π/λ = numero d’onda

Velocità di fase

ν = λν = velocità con cui si propaga il fronte d’onda

Considerando il fronte della fase ξ=mλ al tempo t, e dopo un tempo t+Δt, nel quale ho di nuovo ξ:

ξ = x-vt ≠ ξ = x-v(t+Δt) → Δx = νΔt → ν = Δx/Δt

Onde piane

Equazione:

∂²ξ/∂x² = Eμ ∂²ξ/∂t² = 0

La soluzione più generale è ƒ(x,t) = f₁(x-νt) + f₂(x+νt)

Prendiamo ad esempio ƒ(x,t) = A cos(kx-ωt + φ)

Ora ricaviamo dalle relazioni delle equazioni di Maxwell:

1. ∇ · E = 0 → a) ∂ξ_z/∂z = 0
2. ∇ · B = 0 → b) ∂ξ_z/∂x = 0
3. ∇ × E = -∂B/∂t

• c) ∂ξ_z/∂x = 0
• d) ∂ξ_x/∂x = ∂ξ_y/∂y
• e) ∂ξ_x/∂x = -∂ξ_z/∂t

∇⃗ x E⃗ = - ∂E_y ∂x

∇⃗ x B⃗ = μE ∂E_z ∂t

A) + F)

D) + C)

Non danno contributo alla propagazione

Da cui ricaviamo che campo elettrico e campo magnetico sono

- direzione di propagazione

- direzione di propagazione, B, E

E_y = E_y (z)

B_z = B_z (z)

dE_y dz = dB d (-n)

Integrando otteniamo:

E_y + n

E⃗ = B⃗ x n⃗

E_y = E₀cos(kx - ωt)

Consideriamo che si propaga in direzione n̂

k = kx^ + kyÿ^ + kz^

n⃗ = kxx̂ + kyŷ + kz^

λ= w √kx^ + ky^ + kz^

π

La densità di energia

Onde Sferiche

Scriviamo le coordinate Sferiche

Lapreciano su coordinate sferiche

F(r, θ, ϕ, t) -> F(r, t)

Equazione delle onde sferiche

Abbiamo riscritto sotto forma dell'Eq. di un’onda piana

La soluzione generale e: F =

Allora f

b) Polarizzazione verticale \( \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \)

c) Polarizzazione lineare a +45° \( \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \)

d) Polarizzazione lineare a -45° \( \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \)

e) Polarizzazione circolare destra (R) \( \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -i \end{pmatrix} \)

f) Polarizzazione circolare sinistra (L) \( \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix} \)

Polarizzazioni ortogonali

Per verificare che queste due polarizzazioni siano ortogonali devo introdurre un prodotto vettore. Ho l'ortogonalità quando il prodotto vettore è nullo. A₁A₂ + B₁B₂ = 0 È e quindi: \( \vec{E_1} \cdot \vec{E_2} = 0 \)

Osservazioni

È composto da microonde. Durante il processo di fabbricazione i cristalli agiscono come polarizzatori mediante […] del campo magnetico; per questo motivo ha una direzione preferenziale. Funziona solo luce polarizzata in un modo specifico.

Diachroico

Ha un materiale diachroico, l'orientamento della luce dipende dalla polarizzazione della luce incidente.

Sorgenti polarizzate

• a) Schiuma (polarizzatore antiriflessente)
• b) Diffusione

La riflettività dipende da θ e dalla polarizzazione incidente. R(θ, polarizzazione incidente) la riflessione modifica la polarizzazione (vedi schema riflessione)

Matrici di Jones

Le usiamo per studiare il modo in cui dei dispositivi agiscono sulla polarizzazione.

\[\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} \begin{pmatrix} E_{ox} \\ E_{oy} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} AE_{ox} + BE_{oy} \\ CE_{ox} + DE_{oy} \end{pmatrix}\]

Matrici di Jones 1 polarizzazione | x polarizzazione un ingresso | un'uscita

Studiamo il caso dell’aula P.

Condizioni di contorno:

• Componenti tangenziali: E_t = E_it
• Componenti normali su onera di cariche: D_m = D_2m

a) E_i = E_t^"

• E_t + E_t^" = E_i^"
• E₀ cosθ + E₀ cosθ^" = E₀^" cosθ^"
• cosθ - (E₀) cosθ^" = (E₀) cosθ^"

b) E₂ = E_i^''

• m₂ E_m + m₂ E_m^" = m₂ E_m^''
• m₂ E₀ senθ + m₂ E₀ senθ^" = m₂ E₀ senθ^"
• m₁ senθ (E₀ + E₀^") = m₁ senθ E₀^''
• (E₀ + E₀^") = m₁ E₀^''

Ora sostituisco al vi b):

• m₂ (E₀ + E₀^") = m₁ (E₀ - (E₀^"))
• x_p = tan (θ - θ_i^')/(cosθ - (θ_i))
• x_p = E₀^'' = 2senθ cosθ^''/[cosθ - θ^{i - senθ (θ0 - θ)]}

Ora studiamo il caso dell’aula S.

Studiamo e relazioni di contorno:

• E_tm = E_2m
• B_it/M₁ = B_it/M₂

Se è relazioni tra θ, θ' =θ", ottenniamo:

• R_s = E₁/E_s
• sen(θ - θ_i^'')/sen(θ + θ_i^'')

Riflessione:

• R_s = |E₁|²/|E_s|²
• R_p = |E₁|²/|E_p|²
• R_P = sen(θ - θ_i^'')/sen(θ + θ_i^'')
• tg² (θ - θ_i^'')/tg² (θ + θ_i^'')

a) m₁ < m₂

Coerenza parziale

Onda piana monocromatica

L'onda ogni tanto fa un cambio di fase

exp[j(kx-wt+φ)]

la fase dipende dal tempo

Questa onda, per definire della frequenza, avrà uno banda.

Studiamo il sistema:

Semionda, tempo τ

Sorgente

Vogliamo studiare I

I = <EE^*>

I = <|E₁|²> + <|E₂|²> + 2Re(E₁E₂^*)

β(t-t₀)= Amp × ∫β(t)dt

Dato che stiamo considerando picconi stazionari, l'integrale è indipendente del punto di inizio dell'integrato

I = I₁ + I₂ + 2 Re <E₁E₂^*>

Funzione di correlazione

(detta anche di coerenza mutua)

I₁₂(τ) = <E₁(t)E₂(t+τ)>

I₁₂(0) = I_π

Funzione di correlazione normalizzata

i₁₂(τ) = I₁₂(τ) / ^{√I₁(0)I₂(0)}

Posso riscrivere I come:

I_tot = I₁ + I₂ + 2√I₁I₂Re[i₁₂(τ)] - I₁ + I₂ + 2√I₁I₂|i₁₂(τ)|cosφ

contributo di modulo contributo di fase

I_max = I₁ + I₂ + 2√I₁I₂|i₁₂(τ)|

I_min = I₁ + I₂ - 2√I₁I₂|i₁₂(τ)|

Visibilità

v = I_max - I_min / I_max + I_min = 4√I₁I₂|i₁₂(τ)| / 2(I₁ + I₂)

Nel caso in cui I₁ = I₂ ottengo v = |i₁₂(τ)|

Posso avere 3 casi:

1. A) |i₁₂(τ)| ≈ 0
2. B) |i₁₂(τ)| ≈ 1
3. C) |i₁₂(τ)| = cst. positivo

Onda piana monocromatica τ