Teoria di Ottica

Equazioni di Maxwell

\[\nabla \cdot \vec{E} = \rho\]

\[\nabla \cdot \vec{B} = 0\]

\[\nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\]

oppure

\[\nabla \times \vec{B} = \mu_0 \vec{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\]

Equazione delle onde

\[\nabla^2 \vec{E} - \varepsilon \mu \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} = 0\]

\[\nabla^2 \vec{B} - \varepsilon \mu \frac{\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2} = 0\]

Soluzione più generale

\[f(x,t) = f(x-vt)\]

• a) \(x = vt\) onda progressiva
• b) \(x = -vt\) onda regressiva

Fronte di onda: \(x\) è luogo dei punti in cui è assunta lo stesso valore

Onda periodica:

\[f(\xi) = A\sin\left(\frac{2\pi}{\lambda}(x-vt)+\varphi\right) = A\sin\left(\frac{2\pi}{T}(x/v - t) + \varphi\right) = A\sin(kx-\omega t + \varphi)\]

Con:

• \(T\) = periodo
• \(\lambda\) = lunghezza d'onda
• \(\nu = 1/T\) = frequenza
• \(\omega = 2\pi/T\) = pulsazione
• \(k = 2\pi/\lambda\) = numero d'onda

Velocità di fase: è la velocità con la quale si propaga il fronte d'onda

Onde piane

Equazione: \[\frac{\partial^2 \xi}{\partial x^2} - \varepsilon \mu \frac{\partial^2 \xi}{\partial t^2} = 0\]

La soluzione più generale è

\[f(x,t) = f_1(x-vt) + f_2(x+vt)\]

Prendiamo ad esempio \[f(x,t) = A\cos(kx - \omega t + \varphi)\]

Ora ricaviamo alcune relazioni dalle equazioni di Maxwell:

1. \[\nabla \cdot \vec{E} = 0\] a) \[\frac{\partial E_x}{\partial x} = 0\]
2. \[\nabla \cdot \vec{B} = 0\] b) \[\frac{\partial B_x}{\partial x} = 0\]
3. \[\nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\]

c) \[\frac{\partial E_x}{\partial x} = 0\]

d) \[\frac{\partial E_x}{\partial x} = \frac{\partial B_y}{\partial t}\]

e) \[\frac{\partial E_x}{\partial x} = \frac{\partial B_z}{\partial t}\]

Equazioni di Maxwell

∇ · &vec;E = ∅ ∇ × &vec;B = ∅ ∇ × &vec;E = -∂B/∂t ∇ · &vec;B = 0 ∇ × &vec;B = μ∅∂&vec;E/∂t ∇ × &vec;H = ∅∂&vec;B/∂t

Equazioni delle onde

∇²