Orale di Analisi Matematica 2

Definizioni

• Prima unità - Serie di Fourier

Funzione periodica:

f: R -> R è periodica di periodo T > 0 sse:

φ(x+T) = φ(x)   ∀x∈R

Ad ogni funzione periodica è possibile cambiare periodo.

φ(x) - > φ(wx)   w > 1 contrazione

     w < 1 dilatazione

w = _T/T   T nuovo periodo

• Osservazione 1:

Due funzioni periodiche f1(x) e g1(x) si possono considerare dello stesso periodo sse:

∃k∈N tale che: nT₁ = kT₂

• Osservazione 2:

La combinazione lineare di funzioni periodiche dello stesso periodo, è ancora una funzione periodica dello stesso periodo. (cfr. sine e cos) periodo = 2π

• Osservazione 3:

Le funzioni costanti sono funzioni periodiche di qualsiasi periodo.

• Osservazione 4:

La funzione periodica di periodo 2π sarà:

P(x) = σ Z ₁ ^∞ (a_kcoskx + b_ksinkx)   Post-Fourier

Possiamo vedere P(x) come la somma di una serie

Definizioni

• Prima Unità - Serie di Fourier

Funzione Periodica:

f: R → R è periodica di periodo T₀ se:

• f(x+T) = f(x) ∀x ∈ R

Ad ogni funzione periodica è possibile cambiare periodo.

• f(x) → f(wx) _{w > 1} contrazione
• f(x) → f(wx) _{w < 1} dilatazione

ω = _2π/_T^{1 nuovo periodo}

Osservazione 1:

Due funzioni periodiche f(x) e g(x) si possono considerare dello stesso periodo ¹

• Allora n° tale che: nT₁ = kT₂

Osservazione 2:

La combinazione lineare di funzioni periodiche dello stesso periodo, è ancora una funzione periodica dello stesso periodo. (es. sinx e cosx ^{periodo = 2π})

Osservazione 3:

Le funzioni costanti sono funzioni periodiche di qualsiasi periodo.

Osservazione 4:

La funzione periodica di periodo 2π sarà:

f(x) = _∞Σ^k=1 (a_kcoskx + b_ksinkx)^{postscript err}

• ^{1 fornula di somma serie}

Possiamo vedere f(x) come la somma di una serie.

con h=2pi/2 ott. la seguente serie:

1/2 + sum (a_kcoskx+b_ksinkx) serie trigonometrica

Funzione Sviluppabile in Serie Trigonometrica:

1 funzione periodica di periodo 2pi si dicesviluppabile in serie trigonometrica se 1²a₀a_kb_keR

1 fun.:

a₀/2 + sum a_k(a_kcoskx+b_ksinkx)=f(x)

vale il viceversa di.

Serie di Fourier:

chiameremo a₀,a_kb_k coefficenti di Fourier,essi servono per risolvere la serie di Fourier:

a₀=1/pi integ dal -pi al 0 f(x)dx

a_k=1/pi integ dal -pi al pi f(x)coskx dx , k∈N

b_k=1/pi integ dal -pi al pi f(x)sinkx dx , k∈N

a₀/2 + sum_k=1^oo (a_kcoskx+b_ksinkx) serie di Fourier di f(x)

Serie di Fourier per Funzioni di Periodo T:

a₀/2 + sum_k=1^oo (a_kcoskwt+b_ksinkwt)

i coefficienti di Fourier sono:

a₀=2/T integ da 0 a T f(x)dx

a_k=2/T integ da 0 a T f(x)coskwt dx , k∈N

b_k=2/T integ da 0 a T f(x)sinkwt dx , k∈N

con w₀=2pi/T

FUNZIONE REGOLARE A TRATTI:

f: [0,T] → R

è regolare a tratti se ∃ I₁, ..., I_n:

f = [a₁, b₁] ϵ ⋃ⁿ_i=1 I_i

I_i ∩ I_j = ϕ

i ≠ j (intervalli contigui!)

In altre parole, è regolare a tratti se è possibile dividere l'intervallo [0,T] in un numero finito di intervalli:

f è continua e derivabile in Ii.

Osservazione 1:

Una funzione regolare a tratti possiede un numero finito di discontinuità eliminabile x f, salto e un numero finito di punti angolosi.

Osservazione 2:

Essere regolare significa essere C_i.

FUNZIONE SVILUPPABILE IN SERIE DI FOURIER:

f è sviluppabile in serie di Fourier se:

a₀/2 + Σ_k=1^+∞(a_kcoskwx + b_ksinkwx) = f(x) ʌ x ϵ R

In altre parole, f sarà sviluppabile in serie di Fourier solo se f è continua in x e regolare a tratti.

•CURVE

DEFINIZIONI SULLE CURVE:

• SI DEFINISCE CURVA UNA FUNZIONE : I ⊂ ℝⁿ CON I INTERVALLO CONNESSO
• SI ESCLUDE: (t) = (x₁(t), ..., xn(t))