Analisi matematica 2 - preparazione per orale

PUNT PER

DOMINIO

DEL FRONMERA DOMINIO

IL

Di

E

3)

Quando PUNTO SELIA

chiama

di DI

critico si

min

di

punto ne

ne max

un non è

HESSIANO fxx(10) fxy(Ro (Schwartz)

f(R0)

- Hessiana

manuche simmetruca

e

= ,

fxx(10 fyy(Ro) A (P)

feC

f O

Data AcR2 Ro=(Xo critico

R Yo)

A RISULTA CHE

punto :

: - e

* ,

,

,

v2f(Ro) POSITIVA relativo

definita Lo

D min

è

· v2f(Ro) relativo

definita Io

NEGATIVA D max

è

· v2g(Ro) indefinita sella

oli

=>

è

· o applicabile

v2g(Ro) th

semidefinite

e non

=>

· (101]

[fxy

(10)

il H(P)

H(Po) fxx(Ro) fxy

Indichiamo Hessiance

determinante mattrice

della

con -

·

=

Per il

definita Contesto

positiva cui

metodo di

negativa per

essere possiamo usare :

....

,

,

fxx(Po)c Do

HCRo)> 0 relativo

O min

D

· =

, relativo

Ro

0 fxx(Ro)

H[Ro) <O

· =D

> max

, Ro

HCRo) sella

<O D

=

· fxx(Po)c0 relativo

·

H(Ru) Io

0 puo max

non evere

= =

, fxx(Po)cO

H(R) relativo

0 Io

D min

puo

= non evere

· = ,

TH SCHWARTZ

DI

. RoeA

f AcR2

A R

: + ,

,

f=C(Ro) 1 xx (Ro) uguali

derivate

fxy(R0) be music

overo

P

se sono

= =

DI

1° DINI

TH U

. . =

F ACR2 Ro

R 0

dell'equazione

A 2Xo F(X

socuzione

yo) 4)

=

: punto

un

= =

, ,

, UpocA

-

supposto che :

FE((Vco)

1) derivabile Zoo derivata

parzialmente di

2) rispetto

Fè in segno costante

con

y f(x)) XxeIxo

5540 5xo FCX

58

72x0 [xo 0

->

=> : : =

,

, ,

f(X0) Yo

· =

f(((2x0)

·

DIM : tale

Sia in

po Do intorno

Fy

disco di positiva

che

raggior supponiamo

e

un sa

centro e .

h(Y)

ERR

Y1 funzione

fix

Fix variabile

Ye Yz F(X0

Y2 4)

% Yc

Y1 della sola

=

= =

-r = y :

re una

+ =

: ,

,

Fye 4)

2X0

: e Ro

, Ye)

4)

risulta 0 tenendo

F(Xo

Fy(Xo

derivabile hiCY)

Dalle 40)

F(Xo da

h Yc)

che FCXo

D <

e conto

ip <

< cul

e =

= , , ,

,

%0)

FCXo Y2)

che F(Xo

0 FCXo Ye) >0

O

arremo < e

=

, , ,

consideriamo variabile

funzion

olue sola

della

ora X :

2)

F(X Wo

S2LX) XXER Ye)

(X e

,

= ,

: (X

F(X xGR

*

y2) Y2)

S2(X) = Ro

:

, ,

= del

continua th

Essendo F continue applicando

S22xo)c0

anche ScCXo)>O permanenza

sono e

Se Sc e

= ,

I dell'anex

14. <0

determinare S2(X) >0

S2CX)

possiamo :

segno e

e

2 14

Ixx

Considerando 1 simultaneamente

valgono S

S12X)CO (X) >0

e

= :

.

23

[Ye

3x

Sia I

fix abitraramente

poi =

x

e

= x

0

, 4) Aye

funzione F(X

g(y)

variabile

ta Jyo

g(y) della :

Sia y = ,

g(Y2)

Da yz)

Ye)

che F(X

g(Yz) S2(x)

F(X

Se(x) Sc(X) <0

<0 avremo S1(x)

>0 >0

e

e ,

= = ,

= =

Inoltre g(f(x))

!

7 f(x)

dal degli

th

continua 0

quindi

crescente

strettamente

e :

zeri

e

g =

=

.

, ,

f(x))

quindi FCX 0

=

,

le ts

prendendo proviamo f(x0)=40

sociolineate che valida

ea fe((2x0)

prima

parti risulta omio e

e ,

vieue provato

non TH

2° DI U DINI

. . =

F ACR2 Ro

R 0

dell'equazione

A 2Xo F(X

socuzione

yo) 4)

=

: punto

un

= =

, ,

, UpocA

-

supposto che :

1) Fe22(Wxo)

2) Fy(Ro) O

= f(x)) XxeIxo

5540 5xo FCX

58

72x0 [xo 0

->

=> : : =

,

, ,

f(X0) Yo

· = Fx(x f(x))

feC(2x0) fi(X) ,

e

· = - f(y))

Fy(x ,

DIM :

Le Dini

dimostrate 10th U

prime di

due hee

sono . 1x0

Proviculo detirabilità

la xth

hel

1x0

8

allora di FIX :

sic =

e

xe

, f(x))

FCx

Da abbiamo de h))

f(x

FCx+h 0

0

provato

quanto = + =

, ,

, n))

Fx=(x 75 (f(x)

Applicando volte lagrange h)

due f(x

che

otteniamo =

x :

+

+

, , ,

h)) he

f(x))

f(x F(x f(x1)h y)(f(x dividendo amboi

f(x)) chi membici

Fy(x h

F(x Fx(x

h h) o

0 per

-

+

+ + + -

+

= =

,

, ,

,

h->

lim

passando oneniamo

al 0 che

f(x) f(x))

8(x+h) Fx(X

- ,

eim Ol

= V

C .

. .

f(x))

Fy(X

h

h 0

+ ,

LAGRANGE

TH MOLTPUCATORI DI

. Syn

8 M 10 vincolato

max/min

4 ACR2

Siano che

A di supponiamo

(XoYe punto

un

: :

+ =

, ,

07

I (1(R0)

1) 4 = f(20)

, 5xt (0 0)

x y(20)

= : + = ,

ve(Ro) (0

2) = ,

DIM : Yy(R0) il

1) U

Dalla quindi

2) Dini che

che 20th Oli affermare

dalla

=O applicare

possiamo e

supponiamo .

, .

52x0 3x0 h(x))

(x

75y0 Ih 2xo Y 0

+>

: : =

,

,

, h(x)

4x(X

h(X0) C2(Ixo)

Inoltre Xx=2x0

hi(x)

Yo he ,

e =

= , - 4y(X h(x))

,

8/sy edi

max/min

1x max/min

f(x

Risulta vincolato

g(x) Xxe essendo

h(x))

che No per ge

: =

=

= o

,

quindi Ferman che

auremo

per : 3)

fy(R0)(

Dfx(1r) D fx(Ro)4y2)

Dfx(40)

g((X0) fy(04x(10)

0

fy(fr)h(Xo) 0

0 0

- -

= =

+

+

= = =

Ixe1R

lin dipendenti TY(Ro)

Vf(Ro) 07

: colonna / 10

venoti

oweto sono +

-> : =

. ,

E fx(Ro) x4x(10) 0

+

il =

IXER verificato

Ro max /min vincolato sistema

se cui

per e :

è XYy(Ro)

fy(Ro) + 0

=

4(Rol 0

=

F

DELLE

TH D L

. .

. . w-C(A)

ol

W f e A le affermazioni

in connesso

aperto

una =D seguenti

e vene

sono

e :

.

. . A

1) in

wesata

Juw in

regolare chiusa A

U

2) generalmente

0 contenuta

e

= ,

Jrew= Suzw punti

regolari A che

generalmente gli

di

3) congiungono

coppia in

Un

Un stess

curve e

contenure

, ,

DIM :

1) 2)

= b]

[a

4 >Y(a)

R 4(b)

Chiusa

->

: reg

gen = =

, . . E

indicata

essendo che

primitiva

sua

esaña avremo

w una

con

e

(rM(x

J0w z(e(a))

z(f(b))

y)0x y)dy

N(x 0

+ = -

, ,

= =

2) -3)

= Srew-brzw frew

Saw

Spw Sr

FzUS-U2}

P Cirsa

considero 0 w

ma

gen reg

curva = =

= = =

. = ,

,

.

1]

3) ⑯

= in dimostrame

definita A

Costruiamo di

primitiva

I che w

ula

e e

Suw

R Io

qualunque

ye

(x I

Urna che

A WCx 4)

sia congiunge

curra a

=

, ,

= ,

&Y Y2x

Proviamo N

che 4)

4)

(x 4 e =

=

, ,

N RCh)

ce

continue differenziabile costuia

We

M oli

Essendo E Tisperio

= X :

,

. y))

(2xx Sow-Srew

-(x

n y)

-

+ ,

,

RCh) =

= h h I c

WURRn

Do R da

U1= RCh)

We congiungere 4)

(x h onenicul

dovendo W

Sara

+ di

a =

= , an

***

S /

te[x xth] JEe[X

RCh) xth]

4) ot applicando la media integrate

e 4 st :

=

, = , ,

,

2

+ 4)

lie d

MCE h

facendo

MCE

RCh) 3)

Y/h M2x M(x

R(h) y)

0 4)

ex V

C

=

=

= = =

. = ,

, .

, . .

, = , n 0

-

CARE

POIN

TH . N(x A

y)oy

y)dx f in

M(x

W e

d

= , + , .

.

. in A

supposto A

in

A Rispetto chiusa

W

ad

Stellato W esata

>

un is

punto

se =

=

TH GULDINO

DI

. il

calcolare dalla

per dee

EcR3 D

volume piano

increme

di and oli

ause

rotazione xy

atorno

otenuto un un

//c

VE) 3

di angolo axoly

a

rotazione

D d X

añorno :

=> = //e

VE)

di angolo axoly

a x

rotazione d añorno y :

· =

COORDINATE

TH INTEGRALI DOPPI

CAMBIO GLI

PER

. f=C(E)

8 R

E EcIR2

->

: , w))

f(u R2

(h(u

&: v)

v)

E R2

A g(u (P(A) :

INVERTBILE E -

+ = , ,

,

,

,

1) A Area

di NULLA

un Insieme

In

eccetto siamo

0 in se

OPERIAMO SOSTITUZIONE

LA :

v)

(x n(u ,

= v)

y(u

y = , /.

/set I

( ((af(n(u 121dude

u))

a) g(u 151

8xx A

axay

y/ in

0

= ,

, ,

=> = =

,

= GAUSS-GREEN

FORMULE DOMINI

SU

DI REGOLARI

NORMALI E =-lop+

//p

I y7ux

Regolare all'anse

D normale inspetto okoly f(x

x

e .

: x ,

fe(1(D) DCR2 D

=

, //p ** /op+ yoy

Regolare all'ane

D normale inspecto y okoly=

e f(x

:3

: (x ,

I

DIM : N

(as exsay

esaxcy=( 43]s ax=

I 24 Tre

ar

ex [81x

=

, ,

a at M

3

m

=( x(x))]

[f(x i

! 51

1(x x

B(xx =

ax

- ,

, >

B

Calcoliamo 6D+

l'integrale Curvilineo We 22 Ws 5

+

+ +

=

= : =I (a))

[B(a)

[a by

= + +

re ,

: - Wa

+ ,

-

by !

ATTENZIONE sensi

Al PERCORRENZA

e

classe di /a

*

(48)+

(ef(b

(f(t

(6 31-at fa

))16t +)8dt=

f(x + B)

t)0 at

30x + + +

+

= . ,

,

, ,