Orale Analisi Matematica 2

Curva Piana

Si dice Curva Piana una funzione continua γ: I ⊆ ℝ → ℝ² dove I é un intervallo di ℝ e γ(t) é il punto di coordinate (x(t), y(t)).

Le equazioni parametriche sono

• x(t) = x
• y(t) = y

t ∈ I nel piano -> 2 variabili (x,y) nello spazio -> 3 variabili (x,y,z)

Quando si definisce una curva?

• Se I è chiuso e limitato
• Le funzioni sono continue

Sostegno di una curva

Data una curva γ: I ⊆ ℝ → ℝ², si dice sostegno di γ l'insieme di tutti i punti di ℝ² corrispondenti ad un valore della variabile t ∈ I

Sostegno di γ = γ(I), {x(t), y(t) : t ∈ I}

Curva Chiusa

P_IN = P_FI cioè γ(a) = γ(b), I = [a,b]

Curva di Classe C¹

Una curva γ: I ⊆ ℝ → ℝ² si dice di classe C¹ se le due componenti x(t) e y(t) sono di classe C¹

cioè sono continue e derivabili e con derivate x'(t) e y'(t) continue.

(Vedo se x(t) e y(t) sono continue e derivabili e che I é intervallo) dirò che γ ∈ C¹([I])

Curva Piana

Si dice curva piana una funzione continua γ: I ⊆ ℝ→ℝ² dove I è un intervallo di ℝ e γ(t) e' il punto di coordinate (x(t), y(t)).

Le equazioni parametriche sono:

• x(t) = x
• y(t) = y
• t ∈ I

nel piano → 2 variabili (x,y) nello spazio → 3 variabili (x,y,z)

Quando si definisce una curva?

• Se I è chiuso e limitato
• Le funzioni sono continue

Sostegno di una curva

Data una curva γ: I ⊆ ℝ → ℝ², si dice sostegno di γ l'insieme di tutti i punti di ℝ² corrispondenti ad un valore della variabile t ∈ I

Sostegno di γ = γ(I); {x(t), y(t) : t ∈ I}

Curva Chiusa

se P_in = P_fi cioè γ(a) = γ(b), I = [a,b]

Curva di Classe C¹

Una curva γ: I ⊆ ℝ→ℝ² si dice di classe C¹ se le due componenti x(t) e y(t) sono di classe C¹

cioe' sono continue e derivabili e con derivate x'(t) e y'(t) continue.

(vedo se x(t) e y(t) sono continue e derivabili e che I e' intervallo) diro' che γ ∈ C¹( I )

Lunghezza di una curva (L(γ))

Teorema Sia γ: I ⊆ ℝ→ℝ² una curva (I intervallo di ℝ)

Se : ipotesi 1 l'intervallo I è chiuso e limitatocioè I = [a,b]

ipotesi 2 γ è di classe ¹

Allora : tesi 1 L(γ) < +∞, cioè le lunghezze di γ è finitatesi 2 L(γ) = ∫_a^b || γ'(t) || dt = ∫_a^b √(x'(t))² + (y'(t))² dt

Insieme di livello

Sia una funzione f: domf ⊆ ℝ²→ℝ e K ∈ ℝ sidefinisce insieme di livello K della funzione f

E_k = { (x,y) ∈ domf : f(x,y) = K }

Derivate parziali

Sia f: domf ⊆ ℝ²→ℝ una f.di di due variabili ese (x_o,y_o) ∈ domf

Si dice che f è derivabile rispetto a x in (x_o,y_o) se∃ finito ∂f/∂x (x_o,y_o) = lim (f(x,y_o) - f(x_o,y_o)) / (x - x_o) = lim (f(x_o + h,y_o) - f(x_o,y_o)) / h

Si dice che f è derivabile rispetto a y in (x_o,y_o) se∃ finito ∂f/∂y (x_o,y_o) = lim (f(x_o,y) - f(x_o,y_o)) / (y - y_o) = lim_k→0 (f(x_o,y_o + k) - f(x_o,y_o)) / k

f è derivabile in (x_o,y_o) se è derivabile in (x_o,y_o)sia rispetto a x, che rispetto a y.

Significato Geometrico delle Derivate Parziali

Calcolare ∂f/∂x(x₀,y₀) significa considerare la funzione sulla retta y=y₀ e calcolare la derivata nella sola variabile x. Avremo ∂f/∂x(x₀,y₀)=m_x.

Allo stesso modo avremo ∂f/∂y(x₀,y₀)=m_y cioè rispetto a y

Possiamo interpretare la derivata parziale come la pendenza del grafico in P₀=(x₀,y₀,f(x₀,y₀)) nelle direzioni degli assi: x e y.

Vettore Gradiente

Direzione nella quale la superficie dell’ipergrafico è più ripida (direzione di max salita)

diverso ∃ entrambe le derivate parziali

∇f(x₀,y₀)= (∂f/∂x(x₀,y₀), ∂f/∂y(x₀,y₀))

v_max=∇f(x₀,y₀)

||∇f(x₀,y₀)||_Pmax

Derivate Direzionali

Può esistere la pendenza di F in P₀ in qualsiasi direzione

[direzioni in IR², un qualunque vettore di IR² cioè:

un vettore V= (v₁,v₂) tale che ||V||=1 cioè v₁²+v₂²=1 ]

Sia f:domf ⊂ IR² → IR una f in di due variabili,

se (x₀,y₀) ∈ domf

se V una direzione in IR²

Si dice che f è derivabile in (x₀,y₀) nella direzione V

se ∃ finito

∂f/∂V(x₀,y₀)=lim_t→0 (f(x₀+tv₁,y₀+tv₂)-f(x₀,y₀))/t

∂f/∂V(x₀,y₀) si dice derivata direzionale di f in (x₀,y₀)

nella direzione V = ∇f(x₀,y₀) ⋅ V

FUNZIONE DIFFERENZIABILE

Sia f : domf ⊆ ℝ² → ℝ una f.ne di due variabili e se (x₀, y₀) ∈ domf. Si dice che f è DIFFERENZIABILE in (x₀, y₀) se:

f(x, y) - (f(x₀, y₀) + a(x - x₀) + b(y - y₀)) = o(√((x-x₀)² + (y-y₀)²))per √((x-x₀)² + (y-y₀)²) → 0.

(cioè se il grafico di f ammette PIANO TANGENTE NON VERTIC.in P₀ = (x₀, y₀, z₀ = ƒ(x₀, y₀))

• DIM. che f è differenziabile in (x₀, y₀)
• (1) f continua in (x₀, y₀)
• (2) f derivabile in (x₀, y₀)
• (3) f ammette piano T_G in P₀
• (4) f derivabile in ogni direzione con ∂ƒ/∂ν(x₀, y₀) = ∇ƒ(x₀, y₀) · ν ̄.

TEOREMA DIFFERENZIALE TOTALE

Sia f : domf ⊆ ℝ² → ℝ e per Δ è domf.Allora f ∈ C¹(A) ⇒ ƒ è differenziabile in ogni punto (x₀, y₀) ∈ A

f ∈ C¹(A) ⇔ :

• f continua per A
• f derivabile in ogni p.to di A
• ∂ƒ/∂x, ∂ƒ/∂y sono continue su A

PIANO TANGENTE

z = ƒ(x₀, y₀) + a(x-x₀)+b (y-y₀) si dice tangente al grafico di ƒ in P₀se ƒ(x, y) - (ƒ(x₀, y₀) + a(x-x₀) + b(y-y₀))= o(√((x-x₀)² + (y-y₀)²))Piano T_G è UNICO!

INTORNO CIRCOLARE

Detti (x₀, y₀) ∈ ℝ² e δ > 0 si dice Intorno Circolare di centro (x₀, y₀) e raggio δ l'insieme

B_δ(x₀, y₀) = (x₁, y₁) ∈ ℝ² : (x - x₀)² + (y - y₀)² < δ²

(cerchio ⊂ (x₀, y₀) e R = δ)

• p.to interno E
• p.to di bordo E
• p.to esterno E

INSIEMI

• Aperto se non contiene nessun p.to del suo bordo
• Chiuso se contiene tutti i p.ti del suo bordo
• Limitato E ⊂ ℝ² LIMITATO se ∃R > 0 : E ⊂ B_R(o,o)
• Non Limitato
• Compatto se CHIUSO e LIMITATO

Teorema di Weierstrass

Sia f : domf ⊆ ℝ² → ℝ, sia E ⊆ domf insieme compatto

Se f è continue su E allora f emmette

MAX / MIN ASSOLUTI su E

DERIVATE SUCCESSIVE

se \( \varphi : A \subset \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \, , \, \Delta \, \) esiste \( (x_0,y_0) \in A \)

\(\, \varphi \, \) è derivabile 2 volte in \( (x_0,y_0) \) se esistono tutte le derivate seconde

\(f_{xx} \, , f_{yy} \, , f_{xy} \, , f_{yx}\)

MATRICE HESSIANA

\(Hf(x_0,y_0) = \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \end{pmatrix}_{(x_0,y_0)}\)

derivate seconde MISTE

derivate seconde PURE

CLASSE C²

Se \( \varphi : A \subset \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \, , \, A\, \) aperto

\(\, \varphi \, \) si dice derivabile 2 volte su \( A \) se è derivabile entrambe le volte in ogni \( (x_0,y_0) \in A\)

\( \varphi \) si dice di classe \( C^2 \) su \( A \) \, \( (\varphi \in C^2(A))\)

Se :

• \( \varphi \in C^1(A) \)
• \( \varphi \) derivabile 2 volte in \( A \) e tutte le derivate seconde sono funzioni continue su \( A \)

Teorema di Shwartz

Se \( \varphi \in C^2(A) \) allora \( Hf(x,y) \) è matrice simmetrica

cioè \( \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} (x,y) = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} (x,y) \,\, \forall (x,y) \in A \)

\( \varphi \in C^\infty (\mathbb{R}^2) \) se le derivate di qualunque ordine sono polinomi.

MAX/MIN

f: domf ⊂ ℝ² → ℝ , (x₀,y₀) ∈ domf

• (x₀,y₀) p.to MAX LOC. se ∃ δ > 0: f(x₀,y₀) ≥ f(x,y)
• (x₀,y₀) p.to MIN LOC. se ∃ δ > 0: f(x₀,y₀) ≤ f(x,y)
• (x₀,y₀) p.to MAX ASS. se f(x₀,y₀) ≥ f(x,y) ∀ x,y
• (x₀,y₀) p.to MIN. ASS. se f(x₀,y₀) ≤ f(x,y) ∀ x,y

Teorema Fermat (MAX/MIN LOC. int.)

f: domf ⊂ ℝ² → ℝ , (x₀,y₀) max/min locale e domf

Se f è differenziabile in (x₀,y₀) ⇒ ∇f(x₀,y₀) = (0,0)

PUNTO STAZIONARIO

f: domf ⊂ ℝ² → ℝ² due fine

Un punto (x₀,y₀) è detto p.to STAZIONARIO di f se:

• (x₀,y₀) ∈ domf (interno)
• ∇f(x₀,y₀) = (0,0)

Teorema (Condizioni sufficienti max/min locali interni)

f ∈ C²(A)

f: △ ⊂ domfℝ² → ℝ² , (x₀,y₀) p.to STAZIONARIO , Hessiano

• det Hf(x₀,y₀) > 0 e ∂²f/∂x² (x₀,y₀) > 0 ⟶ (x₀,y₀) p.to MIN. LOC.
• det Hf(x₀,y₀) > 0 e ∂²f/∂x² (x₀,y₀) < 0 ⟶ (x₀,y₀) p.to MAX LOC.
• det Hf(x₀,y₀) < 0 ⟶ (x₀,y₀) p.to SELLA
• det Hf(x₀,y₀) = 0 ⟶ non dico nulla

MOLTIPLICATORI DI LAGRANGE

Metodo per determinare MAX/MIN ASSOLUTI di una funzione

su una curva o sul bordo di un insieme

γ : [a,b] → ℝ² , γ(t) = (x(t), y(t)) , γ ∈ C¹(Δ) , Δ aperto

Per leggere f su γ considero g(t) = f(x(t), y(t)) , t ∈ [a,b]

Δlore i p.ti di MAX/MIN ASSOLUTI di f su γ li

posso trovare :

• nel P_IN = γ(a)
• nel P_FI = γ(b)

oppure nei p.t. per cui g'(t) = 0

Costruisco g(x,y) che abbia il sostegno di γ come

insieme di livello k=0 : ( g(x,y) =0 )

e oltre ∇g (x(t),y(t)) , y'(t)> =0 , ∀ t ∈ ] a,b [

• sistema →
  1. ∂f_/x (x,y)|_l = λ ∂g_/x (x,y)
  2. ∂f_/y (x,y)|_l = λ ∂g_/y (x,y)
  3. g(x,y) = 0

∇f ∥∥ ∇g

(x,y) ∈ γ

FORMULE INTEGRALI DOPPI

• rispetto a x → E = { (x,y) ∈ ℝ² : a ≤ x ≤ b, α(x) ≤ y ≤ β(x) }∫_E∫ f(x,y) dx dy = ∫_a^b ( ∫_α(x)^β(x) f(x,y) dy ) dx

DOMINIO NORMALE (x)

• rispetto e y → E = { (x,y) ∈ ℝ² : c ≤ y ≤ d, β(y) ≤ x ≤ δ(y) }∫_E∫ f(x,y) dx dy = ∫_c^d ( ∫_β(y)^δ(y) f(x,y) dx ) dy

DOMINIO NORMALE (y)

Teorema (Riduzione ad un rettangolo)

Rettagolo E = { (x,y) ∈ ℝ² : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d }→ ∫_E f(x,y) dx dy = ( ∫_c^d ( ∫_a^b f(x,y) dx) dy = ( ∫_a^b ( ∫_c^d f(x,y) dy ) dx )

CAMBIAMENTO VARIABILE COORDIN. POLARI

x = ρ cos θ

y = ρ sen θ

Il fattore correttivo dell'area derivadelle matrice Jacobiana J(ρ,θ) = (_{cos θ -ρsen θ})(^{sen θ ρcos θ})|det J| = ... |ρ| = ρ _>0

Teorema

∫_Σ f(x,y) dxdy = ∫_Σ',ρ,θ f(ρ,θ) . ρ dρdθ

EQ. DIFFERENZIALI...

Equazione aventi per incognite una funzione y(x) edeve contenere almeno una derivata della funzione incognita

ordine dell'eq diff = grado delle più alte derivate di y(x)

Le soluzioni delle EQ. DIFF. di 1° ordine sono infinitee variare di una costante

• EQ. DIFF. LINEARE se y(x) e le sue derivate non sono MAImoltiplicati né per sé stesse, né fra di loro
• EQ. DIFF. COEFF. COST. se lineare e se y(x) sono moltiplicateal massimo per una costante
• EQ. DIFF. COEFF. VARIABILI se invece sono moltiplicate(anche 1 sola) per una funzione