Orale Completo teoria - Meccanica applicata alle macchine

19.1. Liberi

Si prenda in esame l'oscillatore equiparato costituito da una massa vincolata a muoversi lungo un'asse x verticale soggetta all'azione di richiamo di una molla k, ud di proprio peso.

La forza elastica dovuta all'azione della molla vale:

• Fe = -kX

Per poter applicare alla massa per ottenerne uno spostamento unitario.

Richiamo lo spostamento unitario dalla b. d'equilibrio statico:

• mg - kXs = 0 kXs = mg Xs = _mg/_K

Xs è occorrenza statica nulla molla per effetto del proprio peso della massa.

Quando un sistema si trova disinteressato nella configurazione di equilibrio statico è la sua velocità non è nulla ossia si non interruccione portatura al sistema.

Condizione di equilibrio dinamico:

• mg - kxs = mx
• x + ω²x = 0

ω = √_K/_m [T^-1]

Un oscillatore lineare del sistema. È un'accatura determinata dalle caratteristiche di una massa un c d’eurythm di del sistema

• X + ω²K = g

Equilibrio statico e indipendenza oscillazione associata.

Int. part: Xs = mg/K = g/ω2 (ω √K/m)

Se si sceglie come origine degli assi l'asse x coincidente con le posizioni possono di equilibrio statico (nulla deformazioni delle sole forma peso) allora le condizioni di equilibrio dinamico può esprimersi come:

• X + ω²X = 0

Omogenea associata.

Poso esprimere integrale particolare

Esprimere in 3 forme equivalenti l'integrale dell'omogenea associata, che risulta noto e misurato dalle costanti arbitravi:

• X = A cos(ωt) + B sin(ωt)
• X = C cos(ωt + φ)

Noto che il moto della massa di tipo sinusoidale, con ampiezze C e fase φ.

Le costanti A, B, C e φ, D e G si possono determinare imponendo le condizioni iniziali:

• x(0) = x₀ ≠ 0
• ẋ(0) = V₀ ≠ 0

A = x₀

B = V₀

L'eq. del moto delle vibrazioni libere oli: messe m in funzione delle posizioni e velocità iniziali:

x(t) = X₀ cos ωt + _V0/^ω sin ωt.

Supponiamo oli: spostare le masse delle pos. di equilibrio statico oli: una quantità finita x₀ e velocità iniziali nulle (ciò: imponiamo le condizioni iniziali):

• X(0) = X₀ ≠ 0
• ẋ(0) = 0

A = X₀

B = 0

=> x(t) = X₀ cos ωt

Supponiamo oli sottoporre le masse ad un impulso iniziale = 0 nelle posizioni di equilibrio statico, con spostamento iniziale nullo, cioè: imponiamo le condizioni iniziali:

• X(0) = 0
• ẋ(0) = V₀ ≠ 0

A = 0

B = _V0/^ω

=> x(t) = _V0/^ω sin ωt

SCORRAMENTO COULOMBIANO

Tutte le volte che un componente di un sistema vibrante striscia su di un altro accoppiato insorge una forza tangenziale di attrito che disturba, per esempio.

La forza viene considerata indipendente, dipendente solo dalla pressione delle superfici a contatto.

Il suo verso è tale da opporsi alla velocità relativa tra i due corpi e controllo il modello _mod è costante.

T = f_r⋅N

f_r = coefficiente di attrito radente, proporzionale alla componente normale

La forza che nasce si oppone all'uso delle velocità dei due corpi e controllo.

T = f_r⋅N

f_r = coefficiente di attrito radente

1. La vibrazione lineare non è soggetta alle successive vibrazioni e così
2. Lo scorrimento smorza la vibrazione.
3. La forzante forza un sistema vibrante.

ESEMPIO - VIBRODINA.

1^a sol. forzato.

-Considero lo schema riportato in figura

COSTRUZIONE:

Macchina non equilibrata, composta da una massa m, soggetta all'azione di una massa eccentrica m rotante, intorno allo stesso asse coincidente O, con un eccentrico pari a e, ad una medesima velocita angolare del rotore.

DATI:

Lo spostamento verticale della massa m vale:

X_m = X_r + e sin(t)

X_r moto delle masse supportate elasticamente

e : eccentricita

M : masse totali del sistema

- kx - rẋ = (H - m)ẋ + m (̈ - ²e sin t)

M̈ + rẋ + kx = (m²e) sin t

Amparo. (Fo)

M̈ + rẋ + kx = (m²e) sin t _{E.CQ. DEL MOTO ORDINARIO.}

Equazione del tutto analoga a quella dell'oscillatore smorzato.

Forzato da una forza armonica con amputare F_o = m²e.

Essendo uguale (a fatto dell'amputare) e quello scritto

le soluzioni del collo oscillante e quelle rotante.

= ^m2e/_{√(R - m²)² - (e)²}

in termini sol. misionali:

^m/_M ²

= ^2√(b)/_{1 - ²}

x(t) = X₂cos(Ωt + ψ) + X₂cos(Ωt - ψ_z) = Y₀/_{√(1 - σ²)² + (2δσh)²}cos(Ωt + ψ_z) +

2δh/_{√(1 - σ²)² + (2δh)²}sin(Ωt - ψ_z)

e cioè le somme di due moti armonici di due ampiezze uguali

me sfasati di 90°.

l'angolo di fase tra il moto assoluto x(t) e quello Y(t) del vincolo è ugale,

e vale tg ψ_z = 2δh / 1 - σ²

X(t) può essere risulti così (modo ampellio)

X = Y₀cos Ωt si comporta come un sistema forte

X(t) = X₂cos(Ωt - ψ_z), X = _{1 + 2δh² / (1 - σ²)² + 2δh²}

moto relativo z(t)

mz'' + rz'+ kz = mY₀σ²cos Ωt

Eq. del tutto analoga a quelle del sistema forzato.

si può affermare che un sistema vibrante forzato dello spost. armonico del vincolo

Y(t) = Y₀cos Ωt si comporta come un sistema forzato con l'ampiezza per il Fo = mY₀σ².

valgono le seguenti relazioni:

z(t) = Zcos (Ωt - ψ), z = mY₀σ² / _{√(k - mΩσ²)² + (rΩ)²} = Y₀σ² / _{√(1 - σ²)² + (2δh)²}

tg ψ = 2δh / 1 - σ²

Coefficiente di trasmissibilità

• Assoluta ta = |X| / Y₀ = rapporto tre il modulo dello spostamento assoluto e l'ampiezza dello spostamento del vincolo
• Relativa tr = |Z| / Y₀

ta tr

6 6

5 5

4 4

3 3

2 2

1 1

0 0

1 2 3 4 σ 1 2 3 4 σ

PASSSAGIO SOPRA LA PIIEUTTO

Primo modo di vibrare (ottenuto imponendo B = 0)

x₁(t) = μ A sin (ω₁t + φ₁)x₂(t) = A sin (ω₁t + φ₁)

Il sistema pulsa a ω₁ con un angolo φ₁ = φ₂, μ = rapporto costante tra le ampiezze.

Secondo modo di vibrare

Si ottiene imponendo che le condizioni iniziali soddisfino le seguenti relazioni:

V_x0/x₂₀ = V_z0/μ₂ ⇒ A_z ⇒

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Infatti, quindi, diviene:

x₁(t) = μ₂ B sin (ω₂t + φ₂)x₂(t) = B sin (ω₂t + φ₂)

Il sistema pulsa a ω₂ con μ₂ = rapp. costante tra le ampiezze.

Se le cond. iniziali sono giuste, il sistema vibra con una somma delle 2 sinusoidi.

• - - I modo
• ... II modo
• — moto effettivo

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FINE