Onde Elettromagnetiche: Appunti di Fisica II

Onde elettromagnetiche

Onde piane in un mezzo omogeneo e indefinito

Di costante dielettrica e permeabilità magnetica, abbiamo:

∇·E = 0 ⇒ ∂E_y/∂x = 0 (1)

∇·B = 0 ⇒ ∂B_x/∂x = 0 (2)

ε_x ε_y ε_z

(rot E)_z = ∂E_z/∂y - ∂E_y/∂z = 0 ⇒ ∂B_x/∂t = 0 (3)

(rot E)_y = ∂E_x/∂z - ∂E_z/∂x = -∂B_z/∂t ⇒ ∂B_y/∂t = ∂E_z/∂x - ∂E_x/∂z (4)

(rot E)_z = ∂E_y/∂x - ∂E_x/∂y ⇒ ∂B_z/∂y - ∂E_y/∂x = 0 (5)

(rot B)_y = -∂B_z/∂y = εμ ∂E_y/∂t ⇒ ∂E_x/∂t = -1/εμ  ∂B_z/∂z (6)

(rot B)_x = -∂B_z/∂z

Onde elettromagnetiche in uno spazio omogeneo e indefinito

Di costante dielettrica ε e permeabilità magnetica μ:

∇·E = 0

∇·B = 0

∇∧E = -∂B/∂t

∇∧B = εμ ∂E/∂t

Cerchiamo una soluzione che dipenda solo dalle coordinate x:

∇·E = 0 ⇒ ∂E_y/∂x = 0 (1)

∇·B = 0 ⇒ ∂B_x/∂x = 0 (2)

| ∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z || || E_x E_y E_z |

(rot E)_x = ∂E_z/∂y - ∂E_y/∂z = 0

(rot E)_y = ∂E_x/∂z - ∂E_z/∂x = -∂B_y/∂t (3)

(rot E)_z = ∂E_y/∂x - ∂E_x/∂y = ∂B_y/∂t (4)

(rot B)_x = ∂B_z/∂y - ∂B_y/∂z = 0 (5)

(rot B)_y = -∂B_z/∂x = εμ ∂E_x/∂t (6)

(rot B)_x = ∂B_y/∂z - ∂B_z/∂y = εμ ∂E_y/∂t (7)

(rot B)_y = -∂B_x/∂t = εμ ∂E_y/∂x (7)

(rot B)_z = ∂B_x/∂y = εμ ∂E_z/∂t (7) = ∂E_z/∂t = 1/εμ ∂B_z/∂x (8)

De (1)+(6), E_x = ct ⇒ F_x(x,t) = 0 (non interessano le onde trasversali; esimine da note sopra)

ε e B?^ perpendicolari al dim x de (2) (3) B_x = ct ⇒ B_x(x,t) = 0

Restano le equazioni de (1) ∂E_z/∂x = ∂B_y/∂t (a)

De (5) ∂E_y/∂x = -∂B_z/∂t (c)

(De (8)) ∂E_z/∂t = 1/εμ ∂B_y/∂x (b)

De (7) ∂E_y/∂t = -1/εμ ∂B_z/∂x (d)

∂²E_y/∂x² + ∂B_y/∂x/∂t - ∂B_y/∂x ⇒ ∂²E_z/∂x² = εμ ∂²E_z/∂t²

∂²E_y/∂x² = εμ ∂²E_y/∂t²

Accoppiamenti de (c) e (d)

∂²B_y/∂x² = εμ ∂²B_y/∂t²

Dalla coppia di ep. (c) e (d) si torna invece

∂²E_y/∂x² = εμ ∂²E_y/∂t²

∂²B_y/∂x² = εμ ∂²B_y/∂t²

pnto v = ¹⁄_ϵμ = ¹⁄_ϵrμr = ¹⁄_ϵ0μ0 = ^c2⁄_ϵrμr

Nel campo delle eq. delle onde

• E_y = E_y(x - vt)
• B_z = B_z(x - vt)

E_z = E_z(x - vt)

B_y = B_y(x - vt)

[porto u = x - vt]

[porto u = x - vt]

dou = 1 &dou;⁄&dou;x= 1 &dou;⁄&dou;t= -v (de (a) nel)

dΙΞ⁄&dou;t= (dou⁄&dou;x) dΞ⁄&dou;x + (dou⁄&dou;u) dΞ⁄&dou;u

(integrando •Ξ=) B_y=∫(dB_y⁄&dou;t) dt) dt = ∫_x^⊥(dE_x⁄&dou;x) dt=-∫(&dou;E_x⁄&dou;x) 1du= -E_x⁄v⁰ + costante

Analogamente s_ottiene B_y(x-vt)=-¹⁄⊂v_Ez(x-vt)

B_z(x-vt)=-¹⁄⊂v_Ey(x-vt)

B_z² x + B_y² =¹⁄⊂v_{(Ey² + Ez²)} = E_z²⁄n²

invito&xt;_E·B = ₀

B = ^E⁄_v

B_z⁄xy₀u₁ u_y u₂

E_x - E_y E_x E_y E_xE₂x

Direte verso d propaga l'area dell'onde

La presenza di E incipice E &c cevere : ne ne un'onde elettromagnetiche

In generale v μ_r=1 E^=c/nH^{= E⁄_H} B⁄μe&928; la llare n⁄v=^ϵ B⁄ρ

Nel emotto _z none ·_ho dependent contextat del meso

Nel mono transparenti, elle nak come _Τ=⊃not at eΑ

Polarizzazione delle onde elettromagnetiche piane

E_y (x,t) = E_0y sen (kx - ωt)

E_z (x,t) = E_0z sen (kx - ωt + δ)

Ove ω = _2π⁄^T   T = _2π⁄^ω   Γ = ₁⁄^v' k = _2π⁄^Γ   λ = _Γ⁄^λ

Di cui ω = _2π⁄^T _2πv'⁄^{λ Λ}; = k = kνλv = _λ⁄^T = v'

Se hanno diverse case:

• a) δ = 0 β = π polarizzazione rettilinea

E_y (x,t) = E_0y sen (kx-ωt)

E_z (x,t) = ±E_0z sen (kx-ωt)

E_z hanno rapporto costante: ±_E0z⁄^E_0y ± tgγ è giro nel piano di polarizzazione formate per l'asse x formante l'angolo γ con il piano xy l'ampiezza è E_0y⁄^{√(E_0y2 + E_0z2)}

• b) δ = ±_π⁄² ±_3π⁄² polarizzazione ellittica

E_y = E_0y sen (kx-ωt)

E_z = ±E_0z cn (kx-ωt)

(_Ey⁄^E_0y)² + (_Ez⁄^E_0z)² = 1

• c) Polarizzazione circolare: come b) ma con E_0y = E_0z = E₀
• d) Onda non polarizzata: S move in maniera casuale

Energia di un'onda elettromagnetica piana

Ε_e = ₁⁄²εE²

Ε_m = ₁⁄²μB²

È un'onda piana B = E⁄ν

Ε = ^εE_ν

Ε = ₁⁄² εE²μ = = εE²

Sul vettore S = εE²⁄_μ ha la proprietà che il suo flusso attraversa dE è la potenza istantanea che attraversa dE

S = ₁⁄^μE×B è la notura più generale del  vettore di Poynting

Per un'onda elettromagnetica armonica piana:

f = ₁⁄^μ(_E²⁄²)_m = εv (E₀²⁄4)

Presce il: εV = _n⁄^μ = m×ε₀×E²⁄4 = 1⁄2ε₀⁄²E_0² = E₀²⁄2 = E^{0×B⁄_2–0}

Intensità di un'onda sferica

I = ₁/² ε₀ c₀ ^m/_r² B₀^{2 m}/_r²

Intensità di un'onda elevata a

E = _E0/^√2 sin(kr - ωt)

Radiazione solare

I = 1,4 10³ W/m² alla superficie terrestre (R = 1,5 10¹¹ m)

ε₀ = √2 ⟨I⟩ = 1,013 10³ V/m

B₀ = _E0/^c = 3,43 10^-6 T

Riflessione e rifrazione delle onde

L'incidenza di un'onda sulla superficie di separazione tra due mezzi da origine a un'onda riflessa (che torna indietro) ed una rifratta trasmessa. Nel passaggio in genere cambia la direzione e la velocità di propagazione dell'onda.

Teorema di Kirchhoff: la perturbazione ψ(t) prodotta da un insieme di sorgenti in un punto: si può considerare ogni elemento d∑ di una superficie d'onda si può considerare come una sorgente di onde elementari sferiche che emettono, proporzionali all'ampiezza dell'onda primaria L dell'area d∑ sono con l'angolo incidente una funzione di ∑: f(∑) la perturbazione prodotta in P si può ottenere come sovrapposizione di tutte le onde sferiche elementari che raggruppano P (principio di Huygens-Fresnel)

Le leggi della riflessione e della rifrazione

All'onda si propagano v=lambda1ν=1/T em/lambda ^2π ω = ν1 K₁ = ω/v₁ = 2π/λ₁ K₂ = ω₂/ν → λ₁/λ₂ = N₁/v₂ N₁

Per un'onda armonica che passa dal vuoto a un mezzo trasparente v₁ = cλ₁ = λ₂ = λ vν₂ = c/mλ₁ = λ₂ = λK = ω/2π, K₂ = ω₂/v₂ K = 2π/λ = K