Onde elettromagnetiche

Proprietà delle onde

T2 = T1 + ΔT⁸

f = Tf(x ± vT1) così abbiamo un'onda che si propaga nello spazio sull'asse x con velocità v1. Questa si dirà onda progressiva (perché va nel verso positivo). Se avessimo preso il x1, sarebbe prima di x1 e si chiamerebbe onda regressiva f(x + vT1) e si propaga nel verso negativo.

Categorie di onde

• Longitudinali → la perturbazione è nello stesso verso di propagazione dell'onda (es. la pressione).
• Trasversali → la perturbazione sarà perpendicolare alla propagazione (es. la corda di una chitarra).

Prendendo in considerazione f(x ± vT), il luogo dei punti in cui la perturbazione assume lo stesso valore in un certo tempo si chiama fronte d'onda piano, essendo β = f(x±vT) detta onda piana.

Onde piane sinusoidali

Data una funzione f(x ± vT'), la possiamo scrivere con una funzione sinusoidale. Considerando un'onda progressiva:

f(x, T) = A sen [k(x - vT) + φ] dove k è una costante, φ è la fase.

L'onda si propaga su x: λ = lunghezza d'onda, distanza di due punti dell'onda che assumono lo stesso valore.

k(x - x0) - kvT + φ = kx - kt + φ = 2π argomento del sen in x0 + tkλ = 2π => k = 2π / λ [k = m^-1]

La lunghezza d'onda in questo caso è in funzione del Tempo, dove T è detto periodo.

kvT = 2π => v = 2π kT => T = 1/f

Frequenza => v = λ f dove v è la velocità di fase.

W = 2πf = πv pulsazione => kv = πv = w

Possiamo riscrivere la funzione sen(kx - wt + φ) = 8 f(x ± vT) dell'onda sinusoidale più piana come:

Onda piana in altre direzioni

Se l'onda piana non si propaga lungo l'asse x, ma lungo un'altra direzione, ruotiamo il sistema di riferimento in modo tale da avere l'asse x come asse di propagazione.

Ruoto il sistema ottenendo un nuovo sistema (x', y', z') e l'onda sarà g(x' + vT)

r̂ = x'î + y'ȷ + z'k̂ => x' = r̂ ⋅ n̂

r' = x'î + y'ȷ + z'k̂ => g(r̂ ⋅ n̂ + vT) => espressione di un'onda piana che si propaga lungo una qualsiasi direzione n̂

Se vogliamo scrivere un'onda sinusoidale:

g(r̂, t) = A sen(k̂ ⋅ r̂ - ωT + φ) = A sen(krx - ωT + φ) dove k̂n̂ = k̂

Onda elettromagnetica piana

Bisogna partire dalle eq. di Maxwell:

• ∇ ⋅ Ê = 0
• ∇ × B = μE + μσE∂B̂ / ∂t + ∇ × E = 0
• ∂Ê / ∂t = - 1/ε ∇ × B - σ/ε E

Ciò vuol dire che le componenti magnetica ed elettrica saranno perpendicolari lungo la direzione di propagazione, ma su quest'ultima non possono esserci componenti perché nulli.

Le altre 2 equazioni restanti:

• ∇ ⋅ B = 0 => ∂By / ∂x = 0 => ∂By = 0
• ∇ = - ∂Bz / ∂x => Bz = 0 => ∇ = By·Bz = 0
• ∂Ex / ∂x = 0
• ∂Ez / ∂x = 0
• μσ ∂By / ∂t = - ∂Bx / ∂x
• ∂By / ∂x = 0 Se Ez = 0 => Bz = 0

Nel caso generale se E è diretto verso una direzione, allora B avrà una direzione perpendicolare a E.

Quando supponiamo che Ê e B̂ abbiano una certa direzione caratteristica, si dice che il campo è polarizzato linearmente, cioè significa che uno dei due campi, anche col passare del Tempo, è sempre diretto lungo la stessa direzione.

Prendiamo ora in considerazione che:

• Ê(y,z,T) o Ê(z ± vT) => E_y (z ± vT)
• B̂(z,t) o B̂(z ± vT) => B_x (z ± vT)

Queste due componenti sono legate tra loro:

∂B̂Xʲ + B̂² => E_y + B_z = 0

v = velocità di propagazione

U_E = 1/2 ε E² 1/2 μ B² = U_m in un'onda elettromagnetica piana Ê ⊥ B̂ hanno la stessa densità di energia.

Z₀ = √(μ₀ / ε₀) = 377Ω

Onde sferiche

I fronti d'onda saranno dati da sfere concentriche invece che da piani. La soluzione generale ne è data da:

{α(x,T)} = A/Z sen ((K ⋅ R̂) - ωT + φ)

Onde elettromagnetiche nei dielettrici

Dato un sistema di volume τ con materia e un campo elettromagnetico, voglio calcolare l'energia del sistema:

U_E = 1/2 ε E²   U_H = 1/2 μ B² → onda piana   U = U_E + U_H = 2U_E = 2u

u_E = 1/2 ε (E²)   u_H = 1/2 B² ∫ E ⋅ Dτ + 1/2 B² ∫ B ⋅ Dτ → la diminuzione di energia è data da due termini:

d⟨ ⟩ = -∫ (E × H) ⋅ ds   → energia che nel tempo dT trasportata dall'onda EM piana, ha attraversato la superficie

Nel caso di un'onda piana:

du = U_E + U_H = uE² + B²

du = B E ⋅ ds   = I dT ds   → intensità dell'onda EM