Nuovo Paniere Fondamenti di Automatica

Lezione 003

Definizione di un sistema

Un sistema è stato definito come:

• Un insieme di elementi interconnessi definito esclusivamente dalle interazioni interne tra gli elementi che lo costituiscono.
• Un insieme di elementi interconnessi che può interagire o meno con l'esterno.
• Un insieme di elementi la cui evoluzione dipende esclusivamente dalle interazioni con il mondo esterno.
• Nessuna delle altre risposte è corretta.

Descrizione nello spazio di stato

La presenza della matrice D indica:

• Un legame indiretto tra ingresso e uscita.
• Un legame indiretto tra ingresso ed evoluzione dello stato.
• Un legame diretto tra ingresso ed evoluzione dello stato.
• Un legame diretto tra ingresso e uscita.

Sistemi dinamici e istantanei

Nei sistemi dinamici, l'andamento delle variabili di interesse può esser derivato:

• Dall'andamento delle variabili di forzamento noto lo stato e le condizioni iniziali.
• Dall'andamento delle variabili di forzamento noto l'andamento dello stato.
• Direttamente dall'andamento delle variabili di stato.
• Direttamente dall'andamento delle variabili di forzamento.

Nei sistemi istantanei (non dinamici), l'andamento delle variabili di interesse può esser derivato:

• Direttamente dall'andamento delle variabili di forzamento.
• Direttamente dall'andamento delle variabili di stato.
• Dall'andamento delle variabili di forzamento noto lo stato e le condizioni iniziali.
• Dall'andamento delle variabili di forzamento noto l'andamento dello stato.

Sistemi puramente dinamici

Nei sistemi puramente dinamici:

• Le azioni di forzamento hanno un impatto indiretto sull'evoluzione delle variabili del sistema.
• Le azioni di forzamento possono avere un impatto diretto sull'evoluzione delle variabili del sistema, dipende dalle condizioni iniziali.
• Le azioni di forzamento hanno un impatto diretto sull'evoluzione delle variabili del sistema.
• Le azioni di forzamento possono avere un impatto indiretto sull'evoluzione delle variabili del sistema, dipende dalle condizioni iniziali.

Matrice di stato

Nella descrizione nello spazio di stato:

• Il numero di variabili di stato è strettamente legato al numero di componenti del sistema.
• È legato esclusivamente ad aspetti energetici.
• Dipende da scelte di modellazione.
• È pari al numero di fenomeni di accumulo di energia.

La presenza della matrice B indica:

• Un legame diretto tra le variabili di forzamento e le variabili di uscita.
• Un legame diretto tra le variabili di forzamento e le componenti dello stato.
• Un legame indiretto tra le variabili di forzamento e le componenti dello stato.
• Un legame indiretto tra le variabili di forzamento e le variabili di uscita.

Assenza della matrice A

L'assenza della matrice A indica:

• L'assenza di un'evoluzione delle variabili di stato.
• L'assenza di variabili di stato.
• La presenza di elementi con memoria come ad esempio condensatori e induttori.
• Un legame instantaneo tra le variabili di ingresso e uscita.

Equazioni di stato e funzione di trasformazione

L'equazione di stato descrive:

• Il legame causa-effetto sulle variabili di stato del sistema.
• L'andamento temporale dell'energia immessa nel sistema.
• L'andamento temporale delle variabili interne del sistema.
• Il legame causa-effetto sulle variabili del sistema.

La funzione di trasformazione dell'uscita descrive:

• L'andamento temporale delle variabili di stato.
• L'andamento temporale dell'energia interna del sistema.
• Il legame causa-effetto sulle variabili del sistema.
• Il legame causa-effetto sulle variabili di uscita del sistema.

Spazio di stato e legame funzionale

Nello spazio di stato, il legame funzionale causa-effetto è descritto:

• Dall'evoluzione dello stato e dalle condizioni iniziali.
• Dalla funzione di trasformazione di uscita.
• Dalle funzioni di trasformazione dello stato e dell'uscita.
• Dall'equazione di stato.

Definizione di stato e disturbi

Lo stato di un sistema è:

• Una variabile (o un vettore di variabili) usato per descrivere come l'energia possa essere sottratta o immessa nel sistema.
• L'insieme delle informazioni che, una volta specificato, rende univoco il legame ingresso-uscita del sistema.
• Nessuna delle altre risposte è corretta.
• Una variabile (o un vettore di variabili) usato per descrivere le condizioni iniziali del sistema.

I disturbi:

• Possono essere misurati e previsti.
• Non possono essere previsti né misurati.
• Possono essere previsti ma non misurati.
• Possono essere misurati ma non previsti.

Affermazioni sui disturbi e variabili non manipolabili

Indicare quale tra le seguenti affermazioni NON è corretta. I disturbi:

• Possono essere associati ad interazioni non previste nel modello del sistema.
• Possono essere associati a fenomeni aleatori.
• Sono sempre sconosciuti e non misurabili.
• Possono essere previsti e misurati.

Indicare quale tra le seguenti affermazioni NON è corretta. Le variabili non manipolabili di un sistema:

• Possono essere associate ad un'immissione o sottrazione di energia dal sistema.
• Possono essere associate a fenomeni casuali (non prevedibili).
• Possono essere definite come disturbi.
• Possono essere associate ad elementi il cui andamento temporale può essere modificato ad arbitro da un'entità esterna.

Lezione 004

Stati di equilibrio nei sistemi dinamici stazionari

Per un sistema dinamico stazionario, gli stati di equilibrio:

• Si possono calcolare in presenza di ingressi costanti.
• Si possono calcolare se la parte non raggiungibile del sistema è asintoticamente stabile.
• Si possono calcolare solo se l'evoluzione dell'uscita è costante (uscita di equilibrio).
• Si possono calcolare solo se il sistema è completamente raggiungibile.

Un sistema in uno stato di equilibrio:

• Permane in tale stato purché le sollecitazioni a cui è soggetto rimangano costanti.
• Permane in tale stato purché le perturbazioni siano di entità limitata.
• Permane in tale stato indefinitamente.
• Nessuna delle altre risposte è corretta.

Affermazioni sugli stati di equilibrio

Quale delle seguenti affermazioni NON è vera? Uno stato di equilibrio:

• Può esser caratterizzato da diverse tipologie di stabilità.
• Può esser calcolato se, a fronte di ingressi costanti, l'uscita del sistema è anch'essa costante.
• È caratterizzato da variazioni dello stato nullo in assenza di perturbazioni e/o variazioni dell'ingresso.
• È generalmente associato a condizioni operative desiderate.

Proprietà di stabilità asintotica

La proprietà di stabilità asintotica di uno stato di equilibrio è definita:

• In funzione della velocità di convergenza (il tempo necessario affinché in presenza di perturbazioni il sistema torni nello stato di equilibrio).
• Nessuna delle altre risposte è corretta.
• In funzione di movimenti dello stato arbitrari (altrimenti si parla di stabilità semplice).
• In funzione di movimenti dello stato che si originano in un intorno limitato dello stato di equilibrio.

Lezione 007

Oscillatore libero smorzato e risonanza

L'andamento temporale della soluzione associata all'equazione dinamica (differenziale) di un oscillatore libero smorzato:

• Può essere di tipo esponenziale o oscillatorio.
• È di tipo oscillatorio.
• È di tipo esponenziale.
• È di tipo oscillatorio in presenza di ingressi sinusoidali.

In riferimento ad un oscillatore forzato, il fenomeno della risonanza avviene quando:

• Il coefficiente di smorzamento del sistema è troppo basso.
• La frequenza del segnale di ingresso è pari a quella del sistema in condizioni libere.
• Nessuna delle altre risposte è corretta.
• La frequenza del sistema in condizioni libere è troppo elevata.

Lezione 009

Molteplicità e matrice di transizione dello stato

La molteplicità:

• Tutte le altre risposte sono corrette.
• Geometrica e algebrica caratterizzano la possibilità di diagonalizzare una generica matrice.
• Algebrica e geometrica caratterizzano la dimensione dei blocchi di Jordan.
• Algebrica è sempre minore o uguale alla molteplicità geometrica.

La matrice di transizione dello stato di un sistema lineare a tempo continuo:

• Ha una forma esponenziale se e solo se gli autovalori del sistema sono reali.
• È definita da potenze in cui la base sono gli autovalori del sistema.
• Ha una forma esponenziale.
• Nessuna delle altre risposte è corretta.

Autovalori del sistema e matrice di transizione dello stato

Gli autovalori di un sistema lineare a tempo continuo:

• Sono le radici del polinomio p(?)=(A-?I).
• Si possono calcolare solo se la matrice dinamica del sistema è diagonalizzabile.
• Tutte le altre risposte sono corrette.
• Caratterizzano il comportamento dinamico del sistema.

La matrice di transizione dello stato di un sistema lineare a tempo continuo è:

• Indipendente dallo stato iniziale.
• Indipendente dal segnale di uscita.
• Tutte le altre risposte sono corrette.
• Descrive come si evolve lo stato del sistema in funzione del tempo, delle condizioni iniziali e dell'ingresso.

Dimensione dei blocchi di Jordan e molteplicità geometrica

La dimensione dei blocchi di Jordan:

• Non dipende dalla natura dell'autovalore associato.
• Dipende dalla molteplicità geometrica e algebrica.
• Dipende dalla molteplicità geometrica.
• Dipende dalla molteplicità algebrica.

La molteplicità geometrica di un autovalore è definita come:

• Il numero di autovettori linearmente indipendenti associati a tale autovalore.
• Il valore della costante di tempo del modo naturale associato a tale autovalore.
• Nessuna delle altre risposte è corretta.
• Il numero di volte che tale autovalore compare come radice del polinomio caratteristico.

Diagonalizzabilità della matrice dinamica

Quale delle seguenti affermazioni NON è corretta? Nel caso di sistemi lineari a tempo continuo:

• La diagonalizzabilità della matrice dinamica del sistema consente di calcolare agevolmente l'evoluzione dell'uscita.
• La diagonalizzabilità della matrice dinamica del sistema consente di calcolare agevolmente la matrice di transizione dello stato.
• Nessuna delle altre risposte è corretta.
• La diagonalizzabilità della matrice dinamica del sistema consente di calcolare agevolmente l'evoluzione dello stato.

Una matrice è diagonalizzabile:

• Se e solo se, per tutti gli autovalori, la molteplicità algebrica è pari a quella geometrica.
• Nessuna delle altre risposte è corretta.
• Se e solo se, per tutti gli autovalori, la molteplicità geometrica è minore della molteplicità algebrica.
• Se e solo se, per tutti gli autovalori, la molteplicità geometrica è maggiore della molteplicità algebrica.

Autovalori e sistema lineare

Gli autovalori di un sistema lineare e causale:

• Possono essere numeri reali oppure coppie di numeri complessi coniugati.
• Nessuna delle altre risposte è corretta.
• Possono essere numeri reali oppure complessi.
• Sono gli elementi sulla diagonale principale della matrice dinamica del sistema.

Gli autovalori di un sistema lineare a tempo continuo sono:

• Sono le radici del polinomio p(?)=(A-?I).
• Sono le radici del polinomio p(?)=det[(A-?I)].
• Sono le radici del polinomio p(?)=1/(A-?I).
• Sono le radici del polinomio p(?)=C(A-?I)B + D.

La molteplicità algebrica di un autovalore è definita come:

• Il valore della costante di tempo del modo naturale associato a tale autovalore.
• Nessuna delle altre risposte è corretta.
• Il numero di volte che tale autovalore compare come radice del polinomio caratteristico.
• Il numero di autovettori linearmente indipendenti associati a tale autovalore.

Lezione 010

Sistemi LTI e stabilità

Se un sistema LTI ha più di un autovalore nell'origine e tutti gli altri con parte reale strettamente negativa:

• Il sistema può essere instabile a seconda della molteplicità degli autovalori nell'origine.
• Il sistema LTI è instabile.
• Il sistema LTI è stabile (semplicemente).
• Il sistema può essere stabile (semplicemente) a seconda della molteplicità di tutti gli autovalori del sistema.

Quando la matrice dinamica di un sistema lineare MIMO non è invertibile:

• L'equazione di stato ammette infinite soluzioni.
• Non è possibile determinare l'evoluzione dello stato del sistema.
• Nessuna delle altre risposte è corretta.
• L'equazione di stato non ammette soluzioni.

I movimenti liberi di un sistema lineare a tempo continuo:

• Sono una combinazione lineare degli autovalori del sistema.
• Sono indipendenti dalle condizioni iniziali.
• Nessuna delle altre risposte è corretta.
• Sono una combinazione lineare dei modi naturali del sistema.

Autovalori nell'origine e stabilità

Se un sistema LTI ha un solo autovalore nell'origine e tutti gli altri con parte reale strettamente negativa:

• Non è possibile decidere sulla stabilità del sistema.
• Il sistema LTI è instabile.
• Il sistema LTI è asintoticamente stabile.
• Il sistema LTI è stabile.

Un sistema LTI:

• È instabile se e solo se esiste un autovalore con parte reale positiva.
• È instabile se esiste un autovalore con parte reale positiva.
• È instabile se e solo se esiste un autovalore con parte reale strettamente positiva.
• È instabile se esiste un autovalore con parte reale strettamente positiva.

Un sistema LTI:

• Nessuna delle altre risposte è corretta.
• È asintoticamente stabile se tutti gli autovalori del sistema hanno parte reale strettamente negativa.
• È asintoticamente stabile se e solo se tutti gli autovalori del sistema hanno parte reale negativa.
• È asintoticamente stabile se e solo se tutti gli autovalori del sistema hanno parte reale strettamente negativa.

In presenza di un autovalore nell'origine:

• Il sistema LTI potrebbe essere asintoticamente stabile.
• Non è possibile decidere sulla stabilità del sistema.
• Il sistema LTI è sicuramente instabile.
• Il sistema LTI potrebbe essere stabile.

Un sistema LTI a tempo continuo con autovalori a parte reale minore o uguale a zero:

• È stabile se la matrice dinamica è diagonalizzabile.
• È instabile.
• Nessuna delle altre risposte è corretta.
• È stabile (semplicemente).

Se un sistema LTI ha più di un autovalore nell'origine e tutti gli altri con parte reale strettamente negativa:

• Il sistema può essere instabile a seconda della molteplicità di tutti gli autovalori del sistema.
• Il sistema LTI è instabile.
• Il sistema LTI è stabile (semplicemente).
• Il sistema può essere stabile a seconda della molteplicità degli autovalori nell'origine.

Lezione 011

Metodo di Lyapunov

Il secondo metodo di Lyapunov:

• Può consentire di decidere anche sulla instabilità di un sistema non lineare.
• Tutte le altre risposte sono corrette.
• Non consente di decidere sulla stabilità o instabilità di un sistema nel caso in cui non sia possibile trovare una funzione V(x) con opportune caratteristiche.
• Fornisce condizioni sufficienti per la stabilità asintotica di un sistema lineare.

Il secondo metodo di Lyapunov (metodo diretto):

• Fornisce delle condizioni necessarie e sufficienti di stabilità per sistemi non lineari.
• Fornisce delle condizioni sufficienti di stabilità per sistemi non lineari.
• Fornisce delle condizioni necessarie di stabilità per sistemi non lineari.
• Tutte le altre risposte sono corrette.

Il primo metodo di stabilità di Lyapunov (metodo indiretto):

• Fornisce delle condizioni necessarie e sufficienti di stabilità per sistemi non lineari.
• Tutte le altre risposte sono corrette.
• Fornisce delle condizioni necessarie di stabilità per sistemi non lineari.
• Fornisce delle condizioni sufficienti di stabilità per sistemi non lineari.

Sistemi non lineari

Un sistema non lineare:

• Può essere asintoticamente stabile anche in presenza di un autovalore nell'origine.
• Può essere stabile (semplicemente) anche in presenza di un autovalore nell'origine.
• Nessuna delle altre risposte è corretta.
• È sicuramente instabile il sistema linearizzato ha almeno un autovalore nell'origine.

Un sistema non lineare:

• È asintoticamente stabile se tutti gli autovalori del sistema linearizzato hanno parte reale strettamente negativa.
• È stabile (semplicemente) se e solo se tutti gli autovalori del sistema linearizzato hanno parte reale strettamente negativa.
• È asintoticamente stabile se e solo se tutti gli autovalori del sistema linearizzato hanno parte reale strettamente negativa.
• È stabile (semplicemente) se tutti gli autovalori del sistema linearizzato hanno parte reale strettamente negativa.

In riferimento al secondo metodo di Lyapunov (metodo diretto):

• Nessuna delle altre risposte è corretta.
• Una scelta opportuna della derivata della funzione V(x) può esser fatta sulla base di considerazioni energetiche.
• Una scelta opportuna della funzione V(x) può esser fatta sulla base di considerazioni energetiche.
• È necessario determinare un modello linearizzato del sistema non lineare.

Lezione 012

Sistemi LTI nello spazio di stato

Dato un generico sistema LTI descritto nello spazio di stato:

• Nessuna delle altre risposte è corretta.
• Se esiste, la trasformazione per mettere in evidenza le sue componenti raggiungibili/osservabili non è unica.
• Se esiste, la trasformazione per mettere in evidenza le sue componenti raggiungibili/osservabili è unica.
• È sempre possibile trovare una trasformazione per mettere in evidenza le sue componenti raggiungibili/osservabili.

Un sistema è completamente raggiungibile:

• Se la matrice [B AB AAB ...] ha rango pari al grado del sistema.
• Se e solo se la matrice [B AB AAB ...] ha rango pari al grado del sistema.
• Se e solo se la matrice [C A'C A'A'C ...] ha rango pari al grado del sistema.
• Se e solo se la matrice [C A'C A'A'C ...] ha rango pari al grado del sistema.

Definizione di stato raggiungibile e osservabile

In riferimento ad un sistema LTI, la definizione di stato raggiungibile:

• Dipende dal tempo e dal segnale di ingresso.
• È indipendente dal tempo.
• Dipende dal tempo e dal segnale di uscita.
• È indipendente dai movimenti liberi del sistema.

In riferimento ad un sistema LTI, la definizione di stato osservabile: