Numeri, insiemi numerici, sommatoria, produttoria

Somma e sue proprietà

Siano a₁, a₂, a₃, ..., a_n n numeri reali.

c ⋅ ∑_k=1^m a_k = ∑_k=1^m c ⋅ a_k = c ⋅ ∑_k=1^m a_k

∑_k=1^m (a_k + b_k) = ∑_k=1^m a_k + ∑_k=1^m b_k

∑_k=1^m a_k = ∑_k=1^m+n a_k - ∑_k=m+1^m+n a_k

∑_k=1^m a_k = ∑_k=1^m a_m-k+1 = ∑_k=0^m-1 a_m-k

Somma di una progressione geometrica

Quindi: se q ≠ 1

∑_k=0^m qⁿ = 1-q^m+1 / 1-q

Se q = 1: ∑_k=0^m qⁿ = k+1

Produttoria e sue proprietà

q₁, q₂, ..., a_n ∈ ℜ

∏_i=0^m a_i = ∏_i=0^m (a_i ⋅ b_i)

∏_i=0^m α_i ⋅ ∏_i=0^m β_i = ∏_i=0^m (α_i ⋅ β_i)

∏_i=0^m a_i = ∏_i=0^m+n a_i ⋅ ∏_i=m+1^m+n a_i

Somatoria e sue proprietà

Siano q₁, q₂, q₃, ..., q₄ n numeri reali. La loro somma si può indicare come:

∑_k=1^m q₂

Proprietà:

• ∑_k=1^m (c·q₂) = c·∑_k=1^m q₂ = c·m
• ∑_k=1^m (q₂ + r₂) = ∑_k=1^m q₂ + ∑_k=1^m r₂ = ∑_k=1^m (q₂ + r₂)
• ∑_k=1^M+m q₂ = ∑_k=1^m q₂ + ∑_k=m+1^M+m q₂
• ∑_k=1^M a₂ = ∑_K=1^am-K+1 a₄-K+1 + ∑_k=0^M-1 a₄-K

Somma di una progressione geometrica

Le progressioni geometriche sono famiglie di elementi dove il rapporto tra ogni termine e il precedente è costante.

Quindi: ∑_k=0^M q^m = (1 - q^m+1) / (1 - q) per q ≠ 1

Se q = 1: ∑_M=0^K q^M = K · 1

Produttoria e sue proprietà

q₁, q₂, ..., q₄ ∈ ℝ. Il loro prodotto si può indicare come:

∏_i=0^m q₂

Proprietà:

• ∏_i=0^m a₂ · ∏_i=0^m b₂ = ∏_i=0^m (a₂ · b₂)
• ∏_m+nm a₂ = ∏_i=0^m a₂ · ∏_i=n+1^M+M a₂
• ∏_i=0^M (a₂ + b₂) = ∏_i=0^M a₂ + ∏_i=0^M b₂

Principio di induzione

Per ogni M ∈ N, M≥n₀, sia p(M) un predicato

1. Il predicato è vero quando n=n₀
2. Se p(M) è vera, anche p(M+1) è vera per un generico M ≥n₀

Concludiamo che p(n) è vera si dimostra che è vero p(n+1)

Principio del minimo intero

Ogni sottoinsieme non vuoto di N ha minimo, dove per minimo si intende un elemento minore di tutti gli altri

Detta anche proprietà del buon ordinamento di N, non vale per tutti gli insiemi

Fattoriale

M! = M(M-1)! = M(M-1)(M-2)(M-3)...0! = 1

Coefficienti binomiali

Con M, K ∈ N e K ≤ M

(M sopra K) = M! / K!(M-K)!, se K > M: (M sopra K) = 0

(M sopra M) = 1 = (M sopra 0)

(M sopra 1) = M

(M+1 sopra K) = (M sopra K) + (M sopra K-1)

Formula del binomio di Newton

Con a, b ∈ ℝ e n ∈ N

(a+b)ⁿ = ⁿ∑_k=0 (n sopra k) a^k b^n-k

Dimostrazione dell'irrazionalità di √2

Teorema: Se x soddisfa x²=2 ⇒ x non è razionale

Dimostrazione: (per omissis)

Supponiamo x∈ℚ (razionale) x∈ℚ={m/n; m, n ∈ ℤ, n≠0} ⇔ x = m/n

Suppongo che m e n non abbiano fattori comuni

x² = (m/n)² = m²/n² = 2 ⇒ m² = 2n², in quanto multiplo di 2, m² è pari

Quindi posso affermare che: ∃k∈ℕ t.c. m = 2k

x = (2k/n) ⇒ x² = (2k/n)² = (4k²/n²) = 2 ⇒ 4k² = 2n² ⇒ n² = 2k² ⇒ n² è pari

m pari ed n pari vanno in contraddizione, perché così avrebbero dei fattori comuni.

m pari ∧ n pari ASSURDO : x∉ℚ

Intervalli

(a, b) intervallo aperto, la parentesi tonda non include

(a, b] [a, b) [a, b] intervallo chiuso, la quadra include

(a,+∞) (-∞,a] (-∞,+∞) intervalli illimitati

Intorno di un punto

x₀ ∈ ℝ

Definisco intorno di x₀ di RAGGIO δ>0 l'insieme dei valori x∈ℝ che distano da x₀ per meno di δ. Si indica con: U_δ(x₀) oppure I_δ(x₀) = {x∈ℝ / |x-x₀| {x ∈ℝ / x₀-δ

Insiemi numerici limitati

Sia E insieme numerico. Esso si dice limitato se esistono due numeri M ed m t.c. m ≤ e ≤ M ∀ e ∈ E

Esso è superiormente limitato se ∃ M t.c. e ≤ M ∀ e ∈ E

Inferiormente x∃ m t.c. m ≤ e ∀ e ∈ E.

Massimo e minimo di un insieme

X è chiamato massimo per un insieme E se gode di due proprietà:

• x ≥ e ∀ e ∈ E
• x ∈ E

X è un minimo se:

• x ≤ e ∀ e ∈ E
• x ∈ E

Maggiorante e minorante di un insieme

Sia E ⊆ ℝ

Un numero a ∈ ℝ è maggiorante per E se ∀ e ∈ E, e ≤ a

b ∈ ℝ è minorante per E se ∀ e ∈ E, e ≥ b

Estremo superiore ed estremo inferiore

Definiamo x = sup(E) estremo superiore di E se:

• x è maggiorante per E
• Preso l'insieme M dei maggioranti di E, x = min(M)

x = inf(E) estremo inferiore di E se:

• x è minorante per E
• Preso l'insieme m dei minoranti di E, x = max(m)

Assioma di completezza

Siano A, B ⊆ ℝ t.c. A, B ≠ ⌀ e A ∩ B = ⌀ e A ∪ B = ℝ

Con ∀ a ∈ A ∀ b ∈ B a ≤ b

Allora ∃ s ∈ ℝ t.c. a ≤ s ≤ b ∀ a ∈ A ∀ b ∈ B

Teorema di esistenza dell'estremo superiore

Ogni insieme non ∅ e limitato superiormente ammette un estremo superiore.

Dim. È limitato superiormente → ∀ε∈E ∃M∈ℝ t.c. ε≤M. Chiamo M l'insieme dei maggioranti. M ≠ ∅ e limitato inferiormente. Chiamo N = ℝ−M → N ≠ ∅ e limitato superiormente. ℝ = ℕ ∪ M, MnN = ∅.

Sia y ∈ N. x definizione; y non è un maggiorante ⇒ ∃ ε ∈ E t.c. ε › y ∀y∈N. ∀y∈N ∃ε∈E t.c. ε › y ∀x∈M ∃ε∈E t.c. ε ‹ x M e N soddisfano l' assioma di completezza ⇒ ∃!s∈ℝ t.c. y ≤ s ≤ x ∀y ∈ N, ∀x ∈ M ↑ Unico. Dimostro che s ∈ M. Dimostrazione per assurdo: s∈N ⇒ ∃ ε ∈ E t.c. ε › s. Posso costruire un elemento del tipo: s ≤ \(\frac{ε+s}{2} \lt ε\) \(\frac{ε+s}{2} ∈ N\) t.c. ^y≤\(\frac{ε+s}{2}\)≤x Questo va contro l'unicità di s.

Teorema di esistenza dell'estremo inferiore

Ogni insieme non ∅ ⊆ E ⊂ R limitato inferiormente ammette un estremo inferiore.

Dim. E limitato inferiormente → ∀ e ∈ E ∃ m ∈ R t.c. m ≤ e ammette minoranti m insieme dei minoranti → m ≠ ∅ e lim. sup. Definisco N = ℝ - m → N ≠ ∅ limitato inferiormente ℝ = N ∪ m , N ∩ m = ∅ y ∈ N no minorante → ∃ e ∈ E t.c. e < y ∀ y ∈ N ∀ y ∈ N ∃ e ∈ E t.c. e < y &rbrace; y > x ∀ x ∈ m ∃ e ∈ E t.c. e ≤ x × a ssimo di completezza; ⇒ ∃ s ∈ E t.c. x ≤ s ≤ y ∀ y ∈ N, ∀ x ∈ m Dim che s ∈ m se N ⇒ ∃ e ∈ E t.c. s ≤ e e &element; L s + e/₂ &element; &angle;₈ s + e/₂ ∈ N t.c. x ≤ s + e/₂ ≤ y ↑ ASSURDO

Numeri complessi

Su ℝ² (abbreviazione di ℝ x ℝ) l'insieme delle coppie ordinate di numeri reali (a, b) ∈ ℝ²

Definiamo le operazioni

Somma: (a, b) + (c, d) = (a+c, b+d)

Prodotto: (a, b) · (c, d) = (ac−bd, ad+bc)

Dove valgono le proprietà: associativa, commutativa, distributiva.

Con: (0, 0) elemento neutro per la somma t.c. (a, b) + (0, 0) = (0, 0) + (a, b) = (a, b)

e (1, 0) elem. neutro per il prodotto t.c. (a, b) · (1, 0) = (1, 0) · (a, b) = (a, b)

(−a, −b) opposto di (a, b) t.c. (a, b) + (−a, −b) = (0, 0) per la somma e (a, b) ≠ (0, 0) inverso per il prodotto: a/(a²+b²) −b/(a²+b²) (a, b) = (1, 0)

(ℝ², +, ·) = ℂ è un campo definito campo complesso o dei numeri complessi. ℂ è un ampliamento di ℝ (ℝ ⊆ ℂ, ℂ estende ℝ). Possiamo identificare a ∈ ℝ con (a, 0) ∈ ℂ

Unità immaginaria

(0, 1) ∈ ℂ è quel numero tale che: (0, 1)² = (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0) = −1 ∈ ℝ

(0, 1) è chiamato unità immaginaria ed è indicato con “i” t.c. i²=−1

Forma algebrica di un numero complesso

Ogni numero z ∈ ℂ è una coppia (a, b) = (a, 0) + (0, b) (a, b) = (a, 1) (b, 0)

Chiamiamo z = (a, 0) + (0, 1) (b, 0) = a + ib, forma algebrica dei numeri complessi dove a si chiama parte reale di z e si indica con a=Re(z) b=Im(z), parte immaginaria di z

z=a+ib, w=c+id z+w = (a+ib) + (c+id) = a+ib+c+id = (a+c) + (b+d)

z⋅w = (a+ib) ⋅ (c+id) = (ac−bd) + i (ad+bc)

Modulo di un numero complesso e coniugato

Si chiama modulo di z=a+ib il numero reale non negativo √(a²+b²) e si indica con |z|. Geometricamente, |z| rappresenta la distanza del punto (o numero complesso) z dall’origine. –z–W rappresenta la distanza tra i due punti. z=a-ib si dice il complesso coniugato di z=a+ib.

Rappresentazione nel piano di Gauss

|m(z)| z=(a,b)

Rappresentazione trigonometriche del modulo e argomento

Forma trigonometrica: |z|= ρ modulo di z θ=Arg(z) argomento di z z=ρ(cosθ+isenθ)

Notazioni importanti

• Re(z)=Re(z)
• Im(z)=-Im(z)

In forma trigonometrica: ρ=|z|=|z| perché: √a²+b²=√a²+(-b)²

Se arg₀(z)=θ, Arg₀(z)=2π-θ

Proprietà

z+z=a+ib+a-ib=2a ⇒ Re(z)=a=&frac{z+z}{2}

z-z=a+ib-a+ib=2ib ⇒ Im(z)=b=-&frac{z-z}{2i}

z⋅z=(a+ib)(a-ib)=a²+a-ib²-i²b²=a²+b²=(-n)(-b)=z⋅z ⇒ |z|²&frac{z}{z}=&frac{a+ib}{a-ib}⋅&frac{a+ib}{a+ib}=&frac{a²+b²}{a²+b²}⇒-&frac{z}{z}=-&frac{z}{2i}

Disuguaglianza triangolare

Dati z,w ∈ ℂ vale la seguente disuguaglianza: |z+w| ≤ |z| + |w|

Dimostrazione: |z+w|² = (z+w)(z+w) = z⋅z̅ + w⋅z̅ + z⋅w̅ + w⋅w̅ =|z|² + |w|² + z⋅w̅ + w⋅z̅ ≤ |z|² + |w|² + 2|w⋅z̅| =|z|² + |w|² + 2|w||z| = (|z|+|w|)²⇔ |z+w| ≤ |z| + |w|

oss. wz̅ + z̅w = 2Re(wz̅)|w-z̅| = |w||z|

Formule di De Moivre

Dati z = a + ib = ρ (cos Θ + i senΘ) w = c + id = r (cos ϕ + i senϕ)

z⋅w = ρ⋅r[(cosΘ cosϕ + i senΘ cosϕ + i senϕ cosΘ - senΘ senϕ) =ρ⋅r (cosΘ cosϕ - senΘ senϕ) + i (senϕ cosΘ + senΘ cosϕ)

= ρ⋅r[cos(Θ+ϕ) + i sen(Θ+ϕ)] ⇒ z² = z⋅z = ρ²[cos(2Θ) + i sen(2Θ)]

z³ = z⋅z⋅z = ρ³ [cos(3Θ) + i sen(3Θ)]

z^m = ρ^m [cos(mΘ) + i sen(mΘ)]