Numeri, insiemi numerici, sommatoria, produttoria

Somma e sue Proprietà

Siano a₁, a₂, a₃, ..., a_n n numeri reali. La loro somma si può indicare come: _k=1∑^m a_k

• C ∙ _k=1∑^m a_k = C ∙ _k=1∑^m
• _k=1∑^m (a_k + b_k) = _k=1∑^m a_k + _k=1∑^m b_k
• _k=1∑^m a_k = _k=1∑^s a_k + _s+1∑^m a_k
• _k=1∑^m a_k = _k=0∑^m a_m-k

Somma di una Progressione Geometrica

La progressione geometrica è famiglia di elementi dove il rapporto tra ogni termine e il precedente è costante.

quindi: a_n+1/a_n = q, costante chiamata ragione della prog.

a_n = a₀qⁿ

_m=0∑^k q^m = (1-q^k+1) / (1-q) se q ≠ 1

Se q = 1: _m=0∑^k q^m = k + 1

Produttoria e sue Proprietà

q₁, q₂, ..., q_n ∈ ℝ. Il loro prodotto si può indicare come: _i=0∏^m q_i

• _i=0∏^m a_i ∙ _i=0∏^m b_i = _i=0∏^m (a_i ∙ b_i)
• α ∙ _i=0∏^m a_i = _i=0∏^m α ∙ a_i
• _i=0∏^n+m a_i = _i=0∏ⁿ a_i ∙ _i=n+1∏^n+m a_i
• _i=0∏^m (a_i + b_i) = _i=0∏^m a_i + _i=0∏^m b_i

Principio di Induzione

Per ogni m ∈ ℕ _{≥ m0}, sia p(m) un predicato

Si suppone che valgono le seguenti proprietà:

1. il predicato è vero quando m = m₀
2. se p(m) è vero, anche p(m+1) è vero per un m qualsiasi ≥ m₀

Concludiamo che p(n) è vero, si dimostra che è vero p(n+1)

Principio del Minimo Intero

Ogni sottoinsieme non vuoto di ℕ ha minimo, dove per minimo si intende un elemento minore di tutti gli altri. Detta anche proprietà del buon ordinamento di ℕ, non vale per tutti gli altri insiemi...

Fattoriale

m! = m(m-1)! = m(m-1)(m-2)(m-3) ...

0! = 1

Coefficienti Binomiali

Con m, k ∈ ℕ e k ≤ m

(m _k) = m! / k!(m-k)!

• se k > m: (m _k) = 0
• (m _m) = 1 = (m ₀)
• (m ₁) = m
• (m+1 _k) = (m _k) + (m _k-1)

Formula del Binomio di Newton

Con a, b ∈ ℝ e n ∈ ℕ

(a+b)ⁿ = ∑_k=0^m (m _k) a^k b^n-k

TH. ESISTENZA ESTREMO INFERIORE

Ogni insieme non è ∅ ⊆ ℜ limitato inferiormente ammette un estremo inferiore.

DIM.

E limitato inferiormente ⇒ ∀e∈E ∃m∈ℜ t.c. m≤e

ammette minorenti

m insieme dei minorenti ⇒ m ≠ ∅ e lim. sup.

Definisco N=ℕ-m ⇒ N ≠ ∅ limitato inferiormente

∈ℕ=∪m, N∩m=∅

∃y∈N NO MINDANTE ⇒ ∃e∈E t.c. e≤y ∀y∈N

∀y∈N ∃e∈E t.c. e≤y

∀x∈m ∃e∈E t.c. e≤x)

∃⊃∈ℜ t.c. x≤⊃≤y ∀y∈N, ∀x∈m

DIM che s∈m

s∈N ⇒ ∃e∈e t.c. s≤e

s·l₂ Lø

s·l₂ ∈N t.c. x≤s·l₂ ≤y

⇑ ASSURDO