Numeri complessi

Abbiamo definito in ℝ² un'operazione di somma

e un'operazione di prodotto:

per ogni (a, b), (c, d) ∈ ℝ²

(a, b) + (c, d) _def= (a + c, b + d)

(a, b) • (c, d) _def= (ac - bd, ad + bc)

che godono delle proprietà R₁ e R₂

In particolare

• l'elemento neutro per + è (0, 0)
• l'opposto di (a, b) è (-a, -b)
• l'elemento neutro per • è (1, 0)
• il reciproco di (a, b) ≠ (0, 0) è (^a/_{a² + b²}, -^b/_{a² + b²})

infatti (a, b) • (^a/_{a² + b²}, -^b/_{a² + b²}) = (1, 0)

N.B. Sicuramente a² + b² ≠ 0 dato che (a, b) ≠ (0, 0)

e quindi a e b non si annullano contemporan.

Quindi abbiamo costruito un campo, che si indica con C e si chiama campo dei numeri complessi.

Definiamo

C₀ = {(a,0) | a ∈ ℝ}

C₀ è chiuso rispetto a + e ⋅: sommando e moltiplicando due elementi di C₀ i risultanti sono ancora elementi di C₀.

Inoltre questo insieme C₀ può essere messo in corrispondenza biunivoca con ℝ:

• ℝ ⟷ C₀
• a ⟷ (a,0)

Tale corrispondenza è compatibile con le operazioni di + e ⋅ definite in ℝ e in C₀.

Per esempio per quanto riguarda la somma

a + a' ⟷ (a,0) + (a',0)

        ↑

        in ℝ

        ↑

        in C₀ (in ℂ)

Proprietà:

• i) z + z̅ = 2a = 2 Re (z)     ∀z∈ℂ
• ii) z − z̅ = 2ib = 2i Im (z)     ∀z∈ℂ
• iii) (z₁ + z₂) ‾ = z̅₁ + z̅₂     ∀z₁,z₂∈ℂ
• iv) (z₁ ⋅ z₂) ‾ = z̅₁ ⋅ z̅₂     ∀z₁,z₂∈ℂ
• v) (1/z) ‾ = 1/z̅     ∀ z ≠ 0
• vi) z̅ = z

Esercizio:

Calcolare (3 + 2i)² in forma algebrica.

(3 + 2i)² = 9 + 4i² + 12i = 5 + 12i

= 5 + i 12

DEF:

Sia z = a + ib un numero complesso in forma algebrica. Definiamo modulo di z il seguente numero reale non negativo