Algebra - Numeri reali e numeri complessi

ALCUNI INSIEMI DI NUMERI

}

{ } CAMPI

Gli insiemi numerici sopra enunciati sono dotati di strutture chiamate OPERAZIONI

Dati due numeri

SOMMA

Possiamo definire somma la seguente operazione:

( )

che associa ad ogni copia ordinata di elementi un terzo elemento detto risultato.

PRODOTTO

Possiamo definire prodotto la seguente operazione:

( )

che associa ad ogni copia ordinata di elementi un terzo elemento detto risultato.

ELEMENTO NEUTRO

Sia la somma che il prodotto ammettono un elemento neutro, ovvero un numero che sommato

o moltiplicato restituisce il valore iniziale dell’operazione:

( ) ( )

per la SOMMA per il PRODOTTO

Ora ci si pone il problema di trovare un numero che sommato o moltiplicato per un altro

numero restituisca l’elemento neutro per quella operazione

L’OPPOSTO

Dato : ?

Si esiste, ma solo negli insiemi e questo elemento è

Questo elemento viene definito l’opposto di

L’INVERSO

Dato : ?

Si esiste ma solo nell’insieme e questo elemento è

Questo elemento viene definito l’inverso di

ALTRE PROPRIETA’

Questi insiemi numerici godono di ulteriori proprietà:

- COMMUTATIVA ( o ABELIANA )

- ASSOCIATIVA

- DISTRIBUTIVA DEFINIZIONE DI CAMPO

Un campo è un insieme che gode di tutte le proprietà indicate finora: somma, prodotto,

elemento neutro, opposto, inverso e le varie proprietà.

Gli insiemi NON SONO dei campi!

Gli insiemi SONO invece dei campi in quanto posseggono tutte le proprietà necessarie!

I NUMERI REALI

Fin dai tempi di Pitagora ci si era posti il problema di trovare un numero per poter esprimere

la misura dell’ipotenusa di un triangolo avente i cateti pari ad unità.

Il problema è stato risolto introducendo un nuovo insieme di numeri:

√

nel quale valgono tutte le considerazioni fatte per i numeri razionali.

I NUMERI COMPLESSI

Per risolvere il problema relativo alla risoluzione dell’equazione si è creato un

ulteriore insieme di numeri: {( ) }

( )

dove è una coppia ordinata di numeri appartenenti all’insieme dei reali.

SOMMA

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

PRODOTTO

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

ELEMENTO NEUTRO

Nei numeri complessi anche l’elemento neutro è formato da una coppia di numeri e si ha

rispettivamente:

( ) ( )

per la SOMMA per il PRODOTTO

Possiamo così ricavare che per scrivere i numeri reali in forma di composti basta che la

seconda entrata sia pari a 0. ( )

L’OPPOSTO

( ) ( ): ( ) ( ) ( )

Dato ?

In questo caso si può facilmente verificare che l’elemento opposto ricercato è del tipo:

( ) ( )

L’INVERSO

( ) ( ): ( ) ( ) ( )

Dato ?

In questo caso si può facilmente verificare che l’elemento inverso ricercato è del tipo:

( ) ( )

√ √

Oss. ( ) ( )

Dati e non è possibile fare il prodotto , ma bisogna prima

trasformare entrambi i numeri in numeri complessi e si ha quindi:

( ) ( ) ( )

Oss.

Un numero complesso è sempre formato da una parte reale e una immaginaria:

( ) ( ) ( )

PARTE REALE PARTE IMMAGINARIA

SCRITTURA IN FORMA ALGEBRICA

( ) ( ) ( ) ( )

( )

Definiamo ora questo numero e potremmo scrivere il numero sopra come:

( )

( ) ( )

notiamo poi che quindi che è un numero reale.

(√ ) (√ )

eseguire operazioni secondo la scrittura a coppie o secondo la scrittura algebrica non ne

altera il risultato finale. IL CONIUGATO

D’ora in avanti indicheremo con l’incognita relativa ai numeri complessi.

Sia definiamo ora il suo coniugato indicato dal simbolo ̅

( )

̅

L’operazione di coniugio trasforma un numero complesso nel suo coniugato.

Oss. ̅

IL MODULO | |

Sia definiamo ora il suo modulo indicato dal simbolo

√

| | ̅

√

Oss. | |

̅