Algebra - Numeri reali e numeri complessi

Alcuni insiemi di numeri

Gli insiemi numerici sopra enunciati sono dotati di strutture chiamate operazioni. Dati due numeri, possiamo definire le seguenti operazioni:

Somma

Possiamo definire somma la seguente operazione: ( ) che associa ad ogni coppia ordinata di elementi un terzo elemento detto risultato.

Prodotto

Possiamo definire prodotto la seguente operazione: ( ) che associa ad ogni coppia ordinata di elementi un terzo elemento detto risultato.

Elemento neutro

Sia la somma che il prodotto ammettono un elemento neutro, ovvero un numero che sommato o moltiplicato restituisce il valore iniziale dell’operazione:

• ( ) per la somma
• ( ) per il prodotto

L'opposto

Ora ci si pone il problema di trovare un numero che sommato o moltiplicato per un altro numero restituisca l'elemento neutro per quella operazione. Dato : ? Si esiste, ma solo negli insiemi e questo elemento è definito l'opposto di.

L'inverso

Dato : ? Si esiste ma solo nell’insieme e questo elemento è definito l’inverso di.

Altre proprietà

Questi insiemi numerici godono di ulteriori proprietà:

• Commutativa (o abeliana)
• Associativa
• Distributiva

Definizione di campo

Un campo è un insieme che gode di tutte le proprietà indicate finora: somma, prodotto, elemento neutro, opposto, inverso e le varie proprietà. Gli insiemi non sono dei campi! Gli insiemi sono invece dei campi in quanto posseggono tutte le proprietà necessarie!

I numeri reali

Fin dai tempi di Pitagora ci si era posti il problema di trovare un numero per poter esprimere la misura dell’ipotenusa di un triangolo avente i cateti pari ad unità. Il problema è stato risolto introducendo un nuovo insieme di numeri: √, nel quale valgono tutte le considerazioni fatte per i numeri razionali.

I numeri complessi

Per risolvere il problema relativo alla risoluzione dell’equazione si è creato un ulteriore insieme di numeri: {( ) }( ), dove è una coppia ordinata di numeri appartenenti all’insieme dei reali.

Somma nei numeri complessi

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

Prodotto nei numeri complessi

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

Elemento neutro nei numeri complessi

Nei numeri complessi anche l’elemento neutro è formato da una coppia di numeri e si ha rispettivamente:

• ( ) per la somma
• ( ) per il prodotto

Possiamo così ricavare che per scrivere i numeri reali in forma di composti basta che la seconda entrata sia pari a 0. ( )

L'opposto nei numeri complessi

( ) ( ): ( ) ( ) ( )

Dato ? In questo caso si può facilmente verificare che l’elemento...