INSIEMI NUMERICI
intuitivo
Naturali vita quindi
li pastore
concetto (
nella
sono un ama es
posso :
usare
;
• .
ha )
conta
che quante pecore .
operazioni
Derivano anche le :
mi diventano
mio 2
regala mie
amico le +2
pecore pecore
un un
• , .
avrò
regalo amico
5 mio -5
ne al n
ne .
• , naturali
rimangono
ho numeri
5 si
regalo ai
5 così aggiunge
0 lo
ne
ne ne 0
me → .
• ,
, .
fratelli
3 moltiplicazione
ha 2 3×2 6
pecore :
ognuno =
• ,
, .
"
' "
indicare naturali
dei
Per insieme numeri si IN
e usa .
{
{ }
}
IN 2,3 dal
dipende
1 3 incluso
lo
IN sia
= libro 0
0 1,2 se
:
oppure = .
.
, .
. . .
,
, ,
, naturali
{
Interi relativi
{
relativi negativi
}
IN } interi
+0 interi
U
U s -2
= o = + =
• - -
, .
.
,
indica Z
insieme si
Questo con .
intuitivo di
ho
Può dare debito
in
5 1
devo 6
essere sono
ne
pecore .
, , , relativi
trattano gli
di libri interi
alcuni
intuitivo anche
si
Il approccio
prof questo
accontenta se
,
più pignolo
modo
in .
ha tra figli
pastore lol
dividerle ?
2
che
Un deve :
i
un 2
e
pecore muore =
,
qui numeri nazionali
arrivano i
Da (
Razionali relativi ) indica ☒
si con
:
• " denominatore
equivalenti
identificando
frazioni
numeri
I nazionali tra
le quelle
loro con
sono , ,
"
nullo
non . §
f- equivalenti razionale
} lo
che stesso
devo sono
↳ sapere numero
e sono .
, , frazioni denominatore
nazionali
numeri di equivalenza
qui i
Da classi non
sono con
tra
nullo . di equivalenti
classi equivalenza semplicemente i numeri uguali
: s on o .
dell' ☒
Proprietà insieme )
☒ (
definite operazioni di indicata
In ) indicata
le ( prodotto con
con
somma con
sono + •
e ,
seguenti proprietà
le : commutativa
fa
b ☒
bta b
A1 E
a a + p
= →
, , .
( b) associativa
bt
a
2 c
+
A a
+ C
+
= p
→ .
] che $
fa
tale
"
"
3 neutro +0 E
indicato
alla a
rispetto
elemento a
a o
con
somma =
,
☒ di indicato tale che
razionale
ah c- ! opposto
a 3 detto a
a con
un _
, , ,
( a) 0
a + =
- c' è
↳ di
differenza
livello è
formale la ma numero
una un
somma
sempre
non
a , negativo
perché negativo
dell' di deriva
( opposto
opposto concettualmente
altro
e un un
,
positivo )
di
da opposto
un un .
commutativa
b.
b
Mi
M p
a. a
= .
G. associativa
b) b-
MZ a. p
c e
. = . unità
" "
al tac ☒
indicato 1
] tale
prodotto
3 che
neutro detto
M rispetto
elemento 1
con a
a. =
, ,
,
}
☒ !
{ ]
E ☒
fa rispetto
( " di
)
"
di
ma elemento detto opposto
reciproco al prodotto a
i O un o
^
tale che 1
a- =
a. b
b) ☒
b
Va
D ( E
c.
a C. a C
C +
+ = , ,
, ① ③ "
Qualsiasi "
operazioni
def proprietà
insieme è
2 detto campo
: con
con e
, .
☒ di
Quindi è esempio campo
un .
insiemi Z campi
Gli IN invece
sono
e non .
Il insiemi detti
altri campi "
che
è proprietà che
concetto algebra ci le "
in stesse sono
con
sono .
annullamento
di
Legge prodotto
del
☒ dei
fattori fattori
In è
b il allora
bio
0
) nullo
prodotto due
⇐ a tra
se
o V
a.
i uno
=
= → ,
nulli
entrambi sono
o
Dimostrazione "
" l' )
Dimostriamo sinistra
( implicazione
prima ⇐ a r
Supponiamo ci fornirà
D= elenco
O un
dimostrazioni
(1+0) delle
1
a.
a.
a a a
a
a.
1 0
-0 +
= =
+ = =
[ ]
[ ] [
[ ]
3
3 ] da
A M
M ☐ sapere .
Sommiamo probabilmente
membri
entrambi Questa
i
a :
a
_ dovremo
non saperla .
a)
( (
a)
a. 0 a
a + i
+ + = -
_ ]
[ Ah
0 a 0
+ O =
.
]
[ quindi
Per 3
A a. -0
o + a 0=0
o a-
= b
b
Dunque 0
a.
0 :
se =
=
analogamente b
a. 0
-0 segue
se a =
,
"
Dimostriamo " implicazione destra
)
(
ora verso
b
Supponiamo a. a
o -1-0
con
= ^ )
a- ( [ ]
moltiplicando esiste
Allora MA
per ,
,
^ ^
a- a-
b b
1
a. > o
⇐
O =
= .
. .
segnato ) "
"
di
dimostrazione
la ⇐
o per
=
b
analogamente se a-
-1-0 0
, .
?⃝ ☒
in
Ordinamento " "
È " "
definito ordinamento indicato E che
tale
con
un :
, ( )
" ordinamento totale totale
"
☒
0 fa b
b
b fa
01 E ai
vale v → =
. , , dell'
b che e-
io prenda E
vale
comunque a altro
uno
0 ,
) ad
( esempio
riflessività numeri complessi sarà
"
☒ " ci
fa
Ya a
e coi non
02 :
. l' i
ordinamento totale
b ☒
Va E
03 ,
. " )
"
( antisovietica
(
b
fb a)
E
^ b
a a-
☒
E
04 b C
oe ,
,
. ( b transitività
c) )
(
f
E
b
as a
n c
operazioni
compatibilità le
con b btc ☒
C1 a E
< c
a + te
c somma
e con
c.
. ( b b
) 30
70 a.
a
C2 70
^
. ⑥ ② " "
ordinato
Def anche le proprietà
Un campo
è detto
campo e
con .
. ☒ ordinato
è
Dunque campo
un .
di
Regole
S semplificazione proprietà di
delle altre campo
conseguenza
sono una
→ ordinato
btc fb
SI E a
>
⇐
atc bene
52 -1-0 b
a <
a.
: a. c
se =
E
oib b
53 E
a. >
a ⇐
0
> c C
se : b
E
< a.
ab
: < > c
0
se e
a
di numeri nazionali
Potenze noi ad
significa che imporre
siamo
: =
☒
Z E
sia '
sia
K E q uguaglianza uguaglianza
e per
,
, definizione
È
"
K
se si
1 9
> pone q
q q
: =
.
= . . .
. .
. U s
-
- modo scrivere
altro per q
volte
K moltiplicato volte
K
{ }
[
KE
se Z 0
E
q
^ mie
con -
- e = , f- K
K ^
^ >
→ -
K
( ) -
qk y
si pone corrisponde il reciproco
fare
: a
= l'
considerare esponente
e
9° positivo
E- 1
se 91=0 :
o e =
N B
. . 0°
definisce
si
Non . " '
(5)
(f) § §
es E-
=
=
. .
d'
Principio induzione (
l'
(
sia ) affermazione
un' intero
coinvolge intero )
che negativo
P no
le no non
n > .
cade
P La tessera
( )
sia vera no
=
no . Ogni
l' (
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tessera
PG
implicazione cade fa
vera
) la
cadere
valga nti
vera =
. ,
successiva
è
Allora PCU) the no
vera 7 .
↳ conclusione tessere domino
le
tutte del
cadono
: intuitivo Altri
consideriamo invece considerano
lo dimostriamo lo
risultato non
lo come un .
,
teorema dimostrano
lo
ovvero .
, domino
Penso successiva
della
al caduta
la
ognuna causa .
, ' è
cade
la affermazione
tessera e vera
=
DDR
i .
_
ti
\
. tessere
domino
del ☒
Proposizione siano E
qs 92 0
: Qn
con
q > >
, .
, "
"
Allora vale 92 91
tu 1 >
> .
induzione
Dimostrazione per "
" "
"
(
P è
) >
qa q
n , "
gi
( PG )
P ) è
1
considero no no q
>
= = ,
ai
QÌ
è
che perché =
vero e
qr 91
= Utri att
cioè
(
supponiamo (
che P ) P 91
sia 1)
cerchiamo dedurne 92
di >
vera n n+
e .
,
Utti ""
"
"
" q
qui q
92 91.92
92 > >
92 , ,
=
.
= . ]
[ 53 [ )
53
epcu)
un "" )
( estremi
dunque gli
> q
92 , Pluta
)
(
Abbiamo P )
dive n "
che da
induzione moltiplichiamo
Provata sappiamo q qz
per qui
> per
, ,
( PG entrambi membri
è
) ) i
71
tu
vero " " Pcu)
> q →
q .
, [
" ]
" 53 moltiplico
91 per q
91 =
92 >
q → ,
.
.
" ? {
che tu
Esercizio mostrare }
IN
2 E
n \ 3
>
'
2°
( )
P 170
70 vera
o
PG '
) ' 271
> vera
1
2 '
223
(2) 434
p vera
2
"
( ) {
' 'N'
P }
è 2 tu
u
> 3
E
n " ?
4 PG ) 2 16716 è
è che
34
no vera
ovvero
= , .
(
Supponiamo )
P (
di )
P
cerchiamo
sia dedurne
vera n Utri
e
" n'
(
P ) è
è 2 > vera
n '
^
"+
( )
(
)
P
Deduco nti
7
2
ovvero
uni ,
"
" 47
' n' ? n' '
"
a lui
2 tu 1
li
2 7
2 =
u
= +
. .
= '
( ] Zut 1
}
P li s
,
soluzioni
Due : ' '
' 2)
(
1) )
(
Q è
) anti
ne u >
7 n
Utri
' n' Tutti
3 +
zu 1639
? (4) è
Q è vera
zu 170
u -
-
è zu 1--0
-
- "
^ +
F- feti
dire Q è
± )
[
E
^ Devo vera
±
i
a = < ?
Fi )
2 (
( ^
3 lett
lett )
^ +
- Itf
Fa
concordanza E V ✗ 7
1-
✗ s ' n' 2
Tutt
( 1) tutt =
ut +
+
=
2,4 - -
uguali
uts " 2 è
è ( 1)
2
2 7
2 7 2
ut
2
= >
. è che
gli
vero u
per
quindi consideriamo
bene
ziltrz 4
< 4 le >
ovvero
le
per va
→ ,
Radici nazionali gli
di positivi irrazionali
derivano
cui
numeri da
→
④
}
{
Dato 1N
ke p p °
e
' >
^
o e ( qk
la radice tale
è che
☒
di
aritmetica
esima esiste
K E =p
9
quel
) se
p
- ,
, .
% FP
indica Se si
si a-
Tale scrive
valore sottintende K
si
2
con e
q . , .
FÈ
327T }
=3 =3
K
Ero è
27 27
quel
e
p numero q q
: =
=
. trova
Problema questo si
: numero sempre
non % { }
Mi
K
esiste
primo E
intero
p numero non o
,
Fs
FÀ E
$
Es ,
. , E entrambi
☒
se primi
f-
esistesse E fra essere
loro
q non
: possono
q
= →
= pari altrimenti sarebbero
non
,
¥
' '
' primi loro
tra deve
zu
2 >
⇐
q essere
= =
m uno
= _ il
dispari e
lui
zà di
può
è
è quadrato
pari pari esserlo
se allora ma un
u non
, , .
?
' 4 dispari
è multiplo
se multiplo è
tu
di di
è
ne ne
pari allora non numero
↳ ma
, ,
lui
' dispari è dispari
è
dispari
se ne pari
u ma
e ne sono ,
, $ 92=2
In ogni ☒
si E
trova quindi
assurdo 9
caso :
un , ☒ ☒
E in
Risvolto geometrico
Ad ogni razionale corrisponde retta
punto
numero un sulla |
| i
|
. 2 3
0 1
' :
l
Uso .
per
compasso
un n ; '
1^+1 '
E I
( e
esistente
trovare non =
, , E
^ '
1
a)
in sulla o e
retta 2 =
. Fa
e =
Ogni ad
nazionale corrisponde sulla retta
punto ma
numero un , B
tutti punti
i N
numeri
della nazionali
retta sono
non -
. . esiste ☒
E
non q
☒ E
Dobbiamo ampliare 9
periodo
dare solo con
non
a
senso
per e . . . .
intuitiva
Idea (
☒ )
può forma finiti
in
ogni periodici
decimali
si decimale
E rappresentare o
q ¥
% f- 0,5
31=0
% 3333
0,01 0,5
0,1 = =
=
= =
. _
_
,
"
Possiamo "
irrazionali
nuovi
i
allora che dati
numeri da infinite
decimali
siano numeri con
pensare
la periodici
dopo virgola
cifre non
, .
L' IR
detto
numeri
dei
unione è
irrazionali
nazionali numeri indica
insieme si
degli reali
dei con
e e .
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