Insiemi, numeri complessi, matrici

Algebra Lineare - Settimana 1 (28 e 29 settembre 2020)

Insiemi - collezione di oggetti.

Un insieme è una collezione di oggetti. Gli insiemi sono indicati con lettere latine maiuscole in stampatello (A, B, C...). Gli oggetti sono chiamati elementi dell'insieme, indicati con lettere minuscole (a, b, c...).

∈ indica che un elemento appartiene a un insieme, mentre ∉ indica che un elemento non appartiene a un insieme.

Esempio: {1,2,3,4,5,6} è l'insieme composto da tutti gli elementi da 1 a 6.

Notazione: ∈ (appartenenza), ∉ (non appartenenza).

Un sottoinsieme è un insieme contenuto in un altro insieme.

Intersezione e unione di insiemi:

L'intersezione di due insiemi, X e Y, è l'insieme composto dagli elementi comuni a entrambi gli insiemi.

L'unione di due insiemi, X e Y, è l'insieme composto da tutti gli elementi di X e Y.

Esempio: X = {1,2,3,4} e Y = {3,4,5}. L'intersezione tra X e Y è {3,4}.

NB: ∩ indica l'intersezione.

Y∩X è l'insieme composto dagli elementi presenti in X e Y. X Y{ }|∪Y ∈ ∈ ∨ ∈Y=X z Z z X zEsempio{ } { } { }∪Y= = =X 1,2,3,4 Y 3,4,5 X 1,2,3,4,5NB: ∪Y ∪=¿X Y X∅ vuoto.indica l'insieme privo di elementi, ovvero l'insieme Quando due∅ disgiunti.insiemi si intersecano in si diconoEsempio{ } { } =∅= = X ∩YX 1,2,3 Y 5,7Insiemi numerici ¿ {1,2,3,4 }…naturali⟶ insieme dei numeriN ⊆N N N= {0} = {0,1,2,3,4…} ⟶ amplio ⟶∪N N0 0{ } N¿interi⟶ insieme dei numeri ⟶ amplio ⟶Z …−2,−1,0,1,2 … 0⊆ ⊆N N Z0 { }|m¿ m n∈ Z , n ≠0razionali⟶ insieme dei numeri ⟶ amplio ⟶Q Z1n⊆ ⊆ ⊆N N Z Q0 reali,⟶ insieme dei numeri ovvero tutti i numeri che corrispondono aiRpunti di una retta su cui sia fissato un sistema di coordinate ascisse ⟶ amplio⊆ ⊆ ⊆_eR^N N Z ⟶ Q 0 Problema della soluzione di equazioni ⇒ x² + bx + c = 0. In generale, ha sempre un'unica soluzione, x₁ = (-b + √(b² - 4ac))/(2a). In generale, x² + ax + b = 0, con a ≠ 0, può avere due soluzioni distinte, due soluzioni coincidenti o nessuna soluzione. Se l'equazione non ha soluzione in R, amplio e introduco i numeri complessi. Numeri complessi Ⅰ unità Introduco un numero, che indico con il simbolo Ⅰ, denominato unità immaginaria, tale che Ⅰ² = -1. L'unità immaginaria Ⅰ=−1 Ⅰ² = -1. Quest'equazione ha dunque due soluzioni: Ⅰ e -Ⅰ. Un numero complesso Ⅰ=−1 ∈ R Un numero complesso Ⅰ=−1 ∈ R Un numero complesso z=a+ bⅠ con a,b R Esempi √2Ⅰ - 2 - 3Ⅰ = √2 - 2√3Ⅰ π/6 ∈ RÈ un numero complesso con è parte reale e è parte immaginaria. { }|⟶ ⅈ ∈insieme dei numeri complessi =C a+ b a , b R⊆ ⊆ ⊆ ⊆R ⊆N N Z Q CAmplio ⟶R 0Somma e prodotto di numeri complessiⅈz=2+3 ⅈw=4− w=( ) ( )= ( )+ ( )ⅈ ⅈ ⅈ=6+2 ⅈ+Somma: z+ 2+ 3 4− 2+ 4 3−1 2w=( ) ( )Prodotto: ⋅ ⅈ ⋅ ⅈ−2 ⅈ−3 ⅈ ⅈ−2=8+12 =8+12z 2+3 4−ⅈ i+3=11+10 i{a=cNB: ,ⅈ ∈+id con . Allora ⇔z=a+ b w=c a , b , c ,d R z=w b=dNB: ,ⅈz=a+ b z ź=a− bProprietà dei coniugati´ ∀ ∈C+ = +z z ź ź z , z1. 1 2 1 2 1 2⋅ ⋅ ∀ ∈C´ =z z ź ź z , z2. 1 2 1 2 1 2 ∀ ∈C3. =ź z z∈4. ⇔ź=z z R