Insiemi, numeri complessi, matrici

Algebra lineare – Settimana 1 (28 e 29 settembre 2020)

Insiemi

Collezione di oggetti: Un insieme è una collezione di oggetti. Gli insiemi sono indicati con lettere latine maiuscole in stampatello (A, B, C…). Gli oggetti sono chiamati elementi dell’insieme e si indicano con lettere latine minuscole in corsivo (a, b, c…).

Appartenenza: x ∈ X indica che x appartiene a X. x ∉ X indica che x non appartiene a X.

Esempio: X = {1, 2, 3, 4, 5, 6} è un esempio di notazione elencativa per gli insiemi. Se 4 ∈ X, allora 7 ∉ X.

Definizione di insieme: L’insieme può essere composto da tutti gli elementi di X che soddisfano determinate condizioni. Ad esempio, Y = {x ∈ X | x < 3} indica che Y è composto dagli elementi di X minori di 3. Quindi, Y = {1, 2}.

Sottoinsieme: Y è un sottoinsieme di X, indicato come Y ⊆ X, se tutti gli elementi di Y appartengono a X. X ⊇ Y indica che X contiene Y.

Intersezione e unione di insiemi

Intersezione: L’intersezione di due insiemi X e Y, indicata con X ∩ Y, è l’insieme composto dagli elementi comuni a X e Y.

Esempio: Se X = {1, 2, 3, 4} e Y = {3, 4, 5}, allora X ∩ Y = {3, 4}. Nota bene: X ∩ Y = Y ∩ X.

Unione: L’unione di due insiemi X e Y, indicata con X ∪ Y, è l’insieme composto da tutti gli elementi presenti in X o in Y.

Esempio: Se X = {1, 2, 3, 4} e Y = {3, 4, 5}, allora X ∪ Y = {1, 2, 3, 4, 5}. Nota bene: X ∪ Y = Y ∪ X.

Insieme vuoto: L'insieme vuoto, denotato con ∅, è l'insieme privo di elementi. Quando due insiemi si intersecano in ∅, si dicono disgiunti.

Esempio: Se X = {1, 2, 3} e Y = {5, 7}, allora X ∩ Y = ∅.

Insiemi numerici

Insieme dei numeri naturali: N = {0, 1, 2, 3, 4…}. L'insieme dei numeri naturali può essere ampliato per includere lo zero: N₀ = {0, 1, 2, 3, 4…}.

Insieme dei numeri interi: Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}. Include tutti i numeri naturali e i loro opposti.

Insieme dei numeri razionali: Q = {m/n | m ∈ Z, n ≠ 0}. Include tutti i numeri che possono essere espressi come rapporto di due interi, con denominatore non nullo.

Insieme dei numeri reali: R include tutti i numeri che corrispondono ai punti di una retta numerica con un sistema di coordinate ascisse.

Problema della soluzione di equazioni

La soluzione di equazioni come x - 1 = 0 ha sempre un’unica soluzione: x = 1 + b. In generale, l’equazione x - 1 = 0 ha una soluzione specifica per un dato b.