Numeri complessi e operazioni

Coordinate Polari

Consideriamo gli angoli compresi tra 0 e 2π.

Distanza di P da O = ρ

Vediamo le relazioni fra coordinate cartesiane e quelle polari.

In generale, indichiamo con [ρ θ] le coordinate polari dove ρ è la distanza di P dall'origine e θ è l'angolo.

x² + y² = ρ²

x = ρcos θ → cosθ:   ⋮ x/ρ ⋮ y = ρ sin θ → sinθ:   ⋮ y/ρ ⋮

ρ =  ^¡√  x² + y²

Theta: cosθ: _x/√ x²+y² sinθ: _y/√ x²+y²

Esempio

p(x,y) =  _1,1

ρ = √ 1+1 = √ 2

cosθ: = ₁/√ 2 = _√/₂

sinθ: = ₁/ _√2 = _√/2

quindi θ l( √2”) default:π/4

Coordinate Polari

Consideriamo gli angoli compresi tra ₂π e ₁/2π.

Distanza di P da O: ρ

Vediamo le relazioni fra coordinate cartesiane e quelle polari.

In generale, indichiamo con [_ρ, _θ] le coordinate polari dove _ρ è la distanza di _P dall'origine e _θ è l'angolo.

x² + y² = ρ²

x = ρcos_θ

y = ρsen_θ

cos_θ = x/ρ

sen_θ = y/ρ

Esempio

P = (x, y) = (1, 1)

√(1 + 1) = √2

θ = (cos _θ = 1/√2 = √2/2)

sen _θ = 1/√2 = √2/2

→ θ = π/4 quindi θ ( √2, π/4 )

Per definizione:

• _ρ si chiama argomento modulo
• _θ si chiama argomento o ampiezza

Sistema dei Numeri Reali

xⁿ = a

Se n è pari, ed a è un numero negativo → A ¬ ∈ ℝ

Voglio determinare un campo dove è possibile risolvere quest'operazione = ℂ

Consideriamo delle coppie e definiamo somma e prodotto

(x, y)₁ + (x, y)₂ = (x₁ + x₂, y₁ + y₂)

(x, y)₁ · (x, y)₂ = (x₁x₂ - y₁y₂, x₁y₂ + y₁x₂)

(x, y) + (0, 0) = (x, y)

(0, 0) è elemento neutro rispetto alla somma

(x, y) · (1, 0) = (x, y)

(1, 0) è elemento neutro rispetto al prodotto

{x x^' - y y^' = 1x y^' + x^' y = 0 → x = - x^' y^' / y}

{x - (x^' y^' / y) - y² y^' = 1x^' = x y^' / y-x^' y^' / y + 1 → -x^' y^' - y² y^' = 1x^' = x y^' / y}

{yⁿ (- x^' y^') = yyⁿ = - x^' y^'}

1. I NUMERI REALI sono dei particolari numeri complessi in cui la seconda componente è uguale a 0.

(x,0) + (y,0) = (x+y,0)

(x,0)⨯(y,0) = (xy,0)

ℝ = { (x,0), x ∈ ℝ }

Si dice che la coppia (x,0) è STABILE (rispetto alla somma) al prodotto

(0,y) + (0,y) = (0,y+y) _{Rispetto alla somma}

(0,y)⨯(0,y) = (-y,y,0) _{Rispetto al prodotto no}

ℚ = { (0,y), y ∈ ℝ } _{l'immaginario puri}

(0,1)^2 = -1

ℚ^2 : ℚ⨯ℚ = (0,1)⨯(0,1) = (-1,0) = -1

ℚ^3 = ℚ⨯(0,1)⨯= ℚ

ℚ^4 = ℚ(-1,1) = -ℚ

ℚ^5 = ℚ

Diciamo 3 è il mio numero complesso rappresentato dalla coppia (x,y). Definiamo coniugato al 3-x+y il numero complesso 3 = (x,y).

zⁿ = [βⁿ ∠ nθ]

[β₁ ∠ θ₁]ⁿ = 1/3ⁿ [β₂ ∠ θ₂]

βⁿ[cos(nθ) + i sen(nθ)] = 1/βⁿ [cos(nθ) + i sen(nθ)]cosβⁿ - i senβⁿ)

(x - iy)(x + iy) = x² + y²

= 1/βⁿ [cos(nθ) - i sen(nθ)] ⇒ 1/βⁿ [cos(-nθ) + i sen(-nθ)]

Il quoziente di due numeri complessi z = [β₁ ∠ θ₁] z₂ = [β₂ ∠ θ₂]^-1

z/z₂ .[β₁ ∠ θ₁][β₂ θ₂]^-1

[β₁ ∠ θ₁] [β₂ ∠ θ₂^-1 ∠ -θ₂]

[β₁/β₂ ∠ θ₁ - θ₂]

Il quoziente di due numeri complessi z = [β₁ ∠ θ₁] e z₂ = [β₂ ∠ θ₂] è un numero complesso che ha per modulo il quoziente dei moduli, e per argomento la differenza degli argomenti.

Dato un numero z = x + iy il suo coniugato è il suo numero complesso z̅ dato da x - iy

z = z.z̅x + y²

z = β(cosθ + i senθ)

z̅ = β(cosθ - i senθ) = β(cos(θ) + i sen(θ))

[β ∠ -θ]

Come numero complesso possiamo considerare il modulo di z

|z| = √x²+y² ≥ 0 ⇒ |z| è un numero

reale positivo

Un numero reale negativo si trova sull'asse negativo delle x, e quindi θ=π

RADICI N-ESIME

DI UN NUMERO COMPLESSO

Un numero complesso z ha come radice un numero complesso:

wⁿ = z

Ricamo che z è forma trigonometrica [β; θ]

OSS. Due numeri complessi [β; θ] = [β; θ']

Indichiamo con [β; θ] le coordinate di w

z = [β; θ ] = [β; θ' ]ⁿ = ([β]ⁿ, nθ' )

|β|^1⁄n = β₀ nθ = θ+2kπ

g^-1⁄n β = β ^ρ1⁄n

θ = θ+2kπ

Le radici di z : [β ; θ ] sono date da [β^1⁄n, θ^π⁄n]

k ϵ Z