Numeri complessi e operazioni

Coordinate Polari

Consideriamo gli angoli compresi tra ₀ e _2π.

Distanza di P da O = ρ

Vediamo le relazioni tra coordinate cartesiane e quelle polari.

In generale, indichiamo con [ ρ θ ] le coordinate polari, dove ρ è la distanza di P dall'origine e θ è l'angolo.

• x² + y² = ρ²
• x = ρcosθ y = ρsenθ

X, Y, ρ = ^√x2+y2

Θ: { cosΘ = ^x/_√x²+y² senΘ = ^y/_√x²+y² }

Esempio

ρ = (x, y) = (1, 1)

ρ = √_{1 + 1} = √₂

Θ: { cosΘ = ^√₂/₂ senΘ = ^√₂/₂ }

π/4 punti Θ (√₂, π/4)

Per definizione si chiama argomento modulo

Si chiama argomento o degenza

Sistema dei Numeri Reali

xⁿ = a

Se n è pari, ed a è un numero negativo → / x ∈ _R

Negli ^odefinito un campo dove è possibile risolvere quest’operazione → C (complessi)

Consideriamo delle coppie e definiamo somma e prodotto

• (x₁, y₁) + (x₂, y₂) = (x₁ + x₂, y₁ + y₂)
• (x, y) * (x^', y^') = (xx^' - yy^', xy^' + yx^')

• (x, y) + (0, 0) = (x, y)

(0, 0) è elemento neutro rispetto alla somma

• (x, y) * (1, 0) = (x, y)

(1, 0) è elemento neutro rispetto al prodotto

• { xx^' - yy^' = 1
• xy + x^'y = 0 → x = -x^'y^'/_y

• { x - (x^'y^'/_y) - yy^' = 1
• x^' = -x^'y^'/_y

• -x^'y^' - xy^' = 1 → -x^'y^', xy^' = 1
• x^' = -x^'y^'/_y

• { y^'(-x^'y^') = y
• y^' = -x^'y^'