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NUMERI COMPLESSI
i1 = i i2 = -1 i3 = -i i4 = +1
Definizione di numero complesso e sue rappresentazioni
Forma cartesiana
z = (x,y) = x(1,0) + y(0,1) = x + iy
- i = unità reale
- i = unità immaginaria
x = coordinate reale di z y = parte immaginaria di z x = Re(z) y = Im(z)
Forma esponenziale
|z| = distanza Oz (modulo)
θ = angolo compreso (argomento) tra asse x e semiretta per z
(θ è espresso in radianti e non è definito per z = 0, z ≠ 0 determinato a meno di multipli di 2π)
z = |z|eiθ
eiθ = cosθ + i senθ
(1) Dalla forma cartesiana alla forma esponenziale
Se z = x + iy allora
|z| = √(x2+y2)
- θ = arcos(x/|x|) se y ≥ 0
- -arcos(x/|x|) se y < 0
Qui viene calcolato solo uno degli infiniti argomenti, associati a z, precisamente quello nell'intervallo [−π, π]. L’insieme degli argomenti è dato da
θ + 2kπ , k ∈ ℤ.
(2) Dalla forma esponenziale alla cartesiana
Se z = |z| eiθ allora
x = Re{z} = |z| cosθ , y = Im{z} = |z| sinθ
(3) Formula semplificata
z = x + iy = |z| (cosθ + isinθ)
x = |z| cosθ
y = |z| sinθ
θ = arctg y/x
Es.
z = √3 + i
- Metodo 1 |z| = √3+1 = r = 2 θ₁ = arcos(√3/2) = π/6
- Metodo 2 |z| = 2
cosθ = √3/2
sinθ = 1/2 θ = π/6
z = 2 eiπ/6 , z = 2 (cos π/6 + isin π/6)
Nel piano i punti corrispondenti a ogni wk sono disposti ai vertici di un poligono regolare di n lati inscritto nella circonferenza di raggio n√2 centrata in O con un vertice in eiθ.
Teorema di Abel:
Le equazioni di grado n in campo complesso hanno n soluzioni.
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