Numeri complessi

Numeri complessi

i¹ = i
i² = -1
i³ = -i
i⁴ = 1

Definizione di numero complesso e sue rappresentazioni

Forma cartesiana

z = (x, y) = x (1,0) + y (0,1) = x + iy
i = unità reale
i = unità immaginaria
x: coordinate reali di z
y: parte immaginaria di z
x = Re(z)
y = Im(z)

Forma esponenziale

|z| = distanza O_z (modulo)
θ = angolo compreso (argomento)
z = |z|e^iθ
e^iθ = cosθ + i sinθ

i¹ = i
i² = -1
i³ = -i
i⁴ = 1

Definizione di numero complesso e sue rappresentazioni

Forma cartesiana

z = (x, y) = x (1, 0) + y (0, 1) = x + iy
i = unità reale
i = unità immaginaria
x: coordinate reale di z
y: parte immaginaria di z
x = Re(z)
y = Im(z)

Forma esponenziale

|z| = distanza O_z (modulo)
θ = angolo compreso (argomento) tra asse x e semiretta per z (θ è espresso in radianti e non è definito per z = 0, z ≠ 0 determinato a meno di multipli di 2π)
z = |z| e^iθ
e^iθ = cosθ + i sinθ

Dalla forma cartesiana alla forma esponenziale

Se z̅ = x + iy allora
|z| = √(x² + y²)
θ = {arcos(^x/_|x|) y ≥ 0     -arcos(^x/_|x|) y
Qui viene calcolato solo uno degli infiniti argomenti associati a z̅, precisamente quello nell'intervallo [-π, π]. L'insieme degli argomenti è dato da θ + 2kπ, k ∈ ℤ.

Dalla forma esponenziale alla cartesiana

Se z̅ = |z|e^iθ allora
x = Re(z̅) = |z|cosθ,
y = Im(z̅) = |z|sinθ

Formula semplificata (Dalla forma cartesiana alla forma esponenziale)

z̅ = x + iy = |z| (cosθ + i sinθ)
|z| = √(x² + y²)
cosθ = ^x/_{√(x² + y²)}
sinθ = ^y/_{√(x² + y²)}
θ = arctg ^y/_x

Es.
z̅ = √3 + i → Metodo 1 |z| = √3 + 1 = √2 = 2
θ₁ = arcos(^√3/₂) = π/6 → Metodo 2 |z| = 2
cosθ = ^√3/₂
sinθ = ¹/₂ → θ = π/6
z̅ = 2e^{i π/6}, z = 2 (cos_π/6 + i sin_π/6)

Somma, prodotto, coniugato, quoziente

Somma in forma cartesiana

z₁ = x₁ + i y₁
z₂ = x₂ + i y₂
z₁ + z₂ = (x₁ + x₂) + i (y₁ + y₂)
La somma nel piano cartesiano è individuata costruendo un parallelogramma di lati z₁ e z₂.

Prodotto in forma cartesiana

z₁ = x₁ + i y₁
z₂ = x₂ + i y₂
z₁ ⋅ z₂ = (x₁ x₂ - y₁ y₂) + i (x₁ y₂ + x₂ y₁)

Prodotto in forma esponenziale

z₁ = |z₁| e^{i θ₁}
z₂ = |z₂| e^{i θ₂}
z₁ ⋅ z₂ = |z₁| |z₂| e^{i (θ₁ + θ₂)}

Coniugato di un numero complesso

z̅ = x + iy → CONIUGATO z̅ = x - iy (forma cartesiana)
(Corrisponde al punto simmetrico di z rispetto all'asse delle x).
z = |z| e^{i θ} → CONIUGATO z̅ = |z̅| e^{-i θ}
Proprietà: z ⋅ z̅ = |z|²

Quoziente in forma cartesiana

\(\bar{z}_1 = x_1 + iy_1\)
\(\bar{z}_2 = x_2 + iy_2\)
Sia \(\bar{z}_2 \neq 0\)
\[\frac{\bar{z}_1}{\bar{z}_2} = \frac{\bar{z}_1 \cdot \bar{z}_2}{\bar{z}_2 \cdot \bar{z}_2} = \frac{\bar{z}_1 \cdot \bar{z}_2}{|\bar{z}_2|^2}\]

Quoziente in forma esponenziale

\(\bar{z}_1 = |\bar{z}_1|e^{i\theta_1}\)
\(\bar{z}_2 = |\bar{z}_2|e^{i\theta_2}\)
\[\frac{\bar{z}_1}{\bar{z}_2} = \frac{|\bar{z}_1|}{|\bar{z}_2|} e^{i(\theta_1 - \theta_2)}\]

Potenza di un numero complesso

Es. Sia \(\bar{z} = |\bar{z}| e^{i\theta}\) calcolare \(\bar{z}^2\)
\[\bar{z}^2 = \bar{z} \cdot \bar{z} = (|\bar{z}| e^{i\theta} \cdot |\bar{z}| e^{i\theta}) = |\bar{z}|^2 e^{i2\theta}\]
Proprietà: se \(\bar{z} = 0\) ⇒ \(\bar{z}^n = 0\)

Potenza n-esima di un numero complesso

\[\bar{z}^n = |\bar{z}|^n e^{in\theta}, \quad \bar{z}^n = |\bar{z}|^n (\cos n\theta + i \sin n\theta)\]

Teorema di De Moivre

\((\cos \theta + i \sin \theta)^n = \cos n\theta + i \sin n\theta\)

Radici di un numero complesso

Problema

Se si conosce la potenza n-esima di un numero complesso come si fa a calcolare il numero originale?

Generalizzazione

Dato un numero complesso z quante e quali sono le soluzioni dell’equazione zⁿ = z?
Se z = 0 ⇒ unica soluzione z = 0

Soluzioni dell'equazione zⁿ = 1

Quando n è un intero positivo le soluzioni dell’equazione zⁿ = 1 sono n e precisamente
z = e^iθ/n, θ = 0, 1, …, n-1.
Nel piano cartesiano questi numeri detti radici-n-esime dell'unità sono disposti ai vertici di un poligono regolare di n lati inscritto nella circonferenza unitaria con vertice in 1.

Caso Generale (z ∈ {0})

Se z = || eⁱ ≠ 0 allora l’insieme delle soluzioni dell’equazione zⁿ = z è costituito da n numeri distinti detti radici n-esime di z:
z = √_|z| e^{i(θ/n + 2kπ/n)}; k = 0, …, n-1.