Numeri complessi

Definizione = dato diremo che x+iy=z con x,y R è la forma algebrica di z

Definizione = dato z=x+iy Chismiamo “coniugato” di z il numero complsso denotato z, così definito

In altre parole z è il numero complesso |

Proprietà del coniugato =

Dimostrazione = basta usare la definizione di coniugato e le formule di somma, prodotto e quoziente

TEOREMA FONDAMENTALE DELL’ALGEBRA

Teorema = sia data un’equazione polinomiale in C

Allora questa equazione ha almeno una soluzione in C

Esempio:

N.B. = il teorema assicura di una soluzione, NON fornisce alcun metodo per trovarla

Definizione = sia un polinomio di grado cioè

un suo zero (o soluzione), cioè |

Diremo che z è uno zero di con molteplicità k quando un polinomio

Corollario = un’equazione polinomiale

ha esattamente n zeri se ciascun zero viene contato con la propria molteplicità

Esempio =

Teorema = sia un polinomio a coeficienti reali:

Dimostrazione =

Corollario (dell’ultimo teorema) = sia P(z) un polinomio a coefficienti R come nell’enunciato del teorema. Allora:

1) le se soluzioni in C che hanno parte immaginaria = 0 sono a due a due una coniugata dell’altra

2) se P(z) ha grado dispari, allora deve esistere almeno una soluzione in R

Esempio =

Proposizioni = sia P(z) un polinomio di grado n a coefficienti R

Allora P(z) può essere decomposto nella seguene forma:

Dimostrazione = il teorema fondamentale dell’algebra ed il suo corollario assicurano che P(z) ha esattamente n zeri se ciascuno é

contato con la propria molteplicitá

Sia uno zero di P(z). Abbiamo 2 possibilitá:

PIANO DI GAUSS

Esprimendo z C nella sua foema algebrica ogni numero complesso z viene identificato come un punto

(x,y) R x R, cioé come un punto detto piano di gauss

Definizione = dato z C, z=x+iy, definiamo il modulo di z come il numero in R, dato da:

Osservazini = 1) (In particolare hanno senso disuguaglianze del tipo

2) graficamente: Quindi |z| = distanza di z da 0. Più in generale, se

Distanza di z da z nel piano di Gauss

3)

4) ATTENZIONE:

Esempi :

Proprietà del modulo =

Dimostrazioni : Graficamente:

Dobbiamo dimostrare che per

4) dobbiamo dimostrare che se z=x+iy con z=0 vale:

Teorema: Disuguglianza triangolare

Dimostrazione: FORMA TRIGONOMETRICA DEI NUMERI COMPLESSI

Un numero complesso z C, sul piano di Gauss può essere descritto anche usando le cosiddette “coordinate polari”:

dove: = distanza di z da O = |z| =

Il punto z viene descritto dalla coppia = angolo come in figura espresso in radianti

Notazioni: Individuato a meno di 2k

Chiamiamo “argomento principale” di z e lo denotiamo con “arg z” l’unico angolo in arg z t.c. sia in

Osservazioni: per z=0, arg z non è definito univocamente

Forma trigonometrica di z:

Esempio: trova il modulo e l’argomento principale di z ed esprimi z in forma trigonometrica

Relazioni tra coordinte polari e cartesiane:

Errore standard: individuare

Osservazioni: due numeri entrambi = 0 coincidono hanno: modulo = e argomento

Quindi qualsiasi punto = 0del piano di Gauss viene identificato univocamente con la coppia (modulo, argomento

principale):

Come interagisce l’argomento con la somma e il prodotto di 2 numeri:

Proposizione: siano

Dimostrazione:

Teorema formule di Moivre:

Esempio = FUNZIONE ESPONENZIALE

“Formula di Eulero”

Definizone = per , definiamo tramite la relazione

Osservazioni = Quindi è una funzione limitata

è un numero di C con modulo è una funzione periodica

Definizione = sia z=x+iy C, con x, y R. Allora definiamo

Proprietà di e =

Dimostrazione =

Forma esponenziale di un numero complesso =