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4. Causalità o implicazione logica semplice “ ”
È un connettivo logico attraverso cui, a partire da due proposizioni e , si forma una nuova proposizione
chiamata implica ( ), vera in tutti i casi in cui non si ha vera e falsa.
A B A B
V V V
V F F
F V V
F F V
Può essere vista anche come una relazione: due coppie di proposizioni sono in relazione se il risultato
dell'operatore logico implicazione è vero. Questo aspetto è evidente nel linguaggio comune dove
l'implicazione è espressa nella forma “se allora ”, così ci risulta naturale la comprensione di:
“se piove allora ci sono nuvole in cielo“
L'unica possibilità che tale affermazione sia falsa è quella di verificare che in un dato momento piova ma
non ci siano nuvole in cielo. Supponendo che sia vera questa può essere espressa nei seguenti modi:
è condizione sufficiente per
è condizione necessaria per
Per dimostrare la veridicità di quanto detto, si consideri:
L’implicazione logica esclude che da una premessa vera si possa dedurre una conclusione falsa.
5. Causalità o implicazione logica doppia “ ”
Se accade che valgano contemporaneamente e introduciamo un nuovo connettivo detto
;
co-implicazione potremo anche esprimerla dicendo che:
A B
è condizione necessaria e sufficiente per
A B
e sono logicamente equivalenti
A B A B B A A B
V V V V V
V F F V F
F V V F F
F F V V V
6. Le variabili e i predicati
A volte, le espressioni logiche possono contenere delle variabili. In questo caso le preposizioni prendono il
nome di predicato, che diviene una tutte le volte che fissiamo il suo argomento.
A questa preposizione non posso assegnare un valore di verità poiché esso dipende dalla variabile .
-2-
7. I quantificatori “∃” e “∀”
Dato un predicato (con la sua variabile in un certo insieme) è naturale chiedersi si l’enunciato sia vero per
tutti gli elementi di o se esista almeno un elemento per cui il predicato sia vero.
Introduciamo due simboli la cui funzione è eliminare l’indeterminazione della variabile. Il loro nome è
legato al fatto che danno una informazione su quanto è grande l'estensione in cui è valido un predicato:
∃ quantificatore esistenziale (si legge “esiste almeno un ”)
∀ quantificatore universale (si legge “esiste per ogni ”)
L’applicazione di un quantificatore a un predicato lo trasforma in una
Negare un quantificatore ne produce un altro diverso.
Negando un quantificatore in una coppia di preposizioni e cambia il senso (quindi il valore di verità)
dell’affermazione; sarà pertanto necessario scambiare quantificatore.
8. Proprietà di proposizioni e connettori
IDEMPOTENZA TEOREMA DEI COMPLEMENTI
PROPRIETÀ COMMUTATIVA PROPRIETÀ ASSOCIATIVA
TEOREMA DI DEMORGAN PROPRIETÀ DISTRIBUTIVA
TEOREMA DELL’ASSORBIMENTO TEOREMA DELL’ASSORBIMENTO - 2
-3-
LA TEORIA DEGLI INSIEMI ANALISI I
Gli insiemi sono “collezioni” dalla quale prendo le variabili delle preposizioni logiche.
Per definire un insieme particolare occorre dichiararne gli elementi. Questo è possibile in due modi:
{ }
Elencare gli elementi contenuti { }
Identificarne la caratterizzazione
1. Operazioni tra insiemi INTERSEZIONE
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