Analisi Matematica 1 - Appunti

2° TEOREMA SULL’ESISTENZA DI UN LIMITE

̅

() = () = () =

Diciamo che −

+

♦ | ( )

1. IMPLICAZIONE : { ()

DIMOSTRAZIONE: Sia allora ( )

() 0 0 ()

0 [ )

= ; + = (− ; ]

Definisco e

1 0

( { ) ( { ) ()

Se , quindi

0 0 ()

() =

Per definizione, abbiamo che .

0+

() =

Analogamente, 0−

2. IMPLICAZIONE ⟸ : () = significa che:

+

0 | ( )

{ ()

() ( ) 0 0 ()

0 () =

Analogamente, vale per 0−

Allora, per definizione di intorno destro e sinistro:

| = [ ; + )

1. ( )

1 1 0

0

| = (− ; ]

2. ( )

2 1 0

0

=

Sia ; se prendo , distinguo due casi:

1 2

()

1. , quindi ()

0 1

()

2. , quindi ()

0 2

-33-

LA PERMANENZA DEL SEGNO

, () = .

Sia , è un punto di accumulazione per sia

( )

| { ⇒ () .

Allora ( )

♦ ( ) |() |

= /2 | { ⇒ − 2

DIMOSTRAZIONE: Sia ; allora ( ) 1 0

0

()

Allora, 2

UNICITÁ DEL LIMITE DI UNA FUNZIONE

Il limite di una funzione è unico.

♦ () = (′) = ′

DIMOSTRAZIONE: Supponiamo che e

′ ′ ′ ′ ′

| | | | | |

− = | − () + ( ) − ′| − ≤ − ()| + − ( )|

Allora, , che equivale a .

Definisco arbitrario. ( ) |() |

() ⇒ | { ⇒ − 2

Se ;

)

1( 1 0

0 ( ) |(′) |

(′) ′ ⇒ | { ⇒ − ′ 2

Se .

)

2( 2 0

0

=

Ora, definisco 1 2 ′ ′

( ) |() |( ) |

{ ⇒ − | ≤ 2 − 2

Se 0 ′

°1), − =

Dall’arbitrarietà di (lemma si ha che .

TEOREMA DEL CONFRONTO AL FINITO

.

Siano tre funzioni e un punto di accumulazione per

( )

| () ≤ () ≤ () {

Allora, ,

( )

() = () = () =

Siano: : allora, anche

♦ ( )

() ⇒ | { ⇒ − () +

DIMOSTRAZIONE: Se ;

)

1( 1 0

0 ( )

() ⇒ | { ⇒ − () +

Se .

)

2( 2 0

0

=

Ora, definisco 1 2

( )

{ ⇒ − () ≤ ℎ() ≤ () +

Se 0

°1), ℎ() =

Dall’arbitrarietà di (lemma si ha che .

TEOREMA DEL CONFRONTO ALL’INFINITO

.

Siano due funzioni e un punto di accumulazione per

( )

| { ⇒ () ≤ ()

Allora, ( )

() =

Inoltre,

() =

Allora,

-34-

TEOREMA DI LOCALE LIMITATEZZA

() = | ()

allora è limitata in quel punto

( )

♦ DIMOSTRAZIONE: Procedo come nel caso del teorema della permanenza del segno:

3 3

() |()|

1. allora 2 2 2

3 3||

|()|

()

2. allora 2 2 2

( ) |()|

= | { ⇒ 1

3. allora ( ) 0

0

TEOREMA SULLA COMPOSIZIONE DI FUNZIONI ̅

Consideriamo e ; sia un punto di accumulazione per e appartenente ad .

() = () = () = )

Supponiamo che esistano: , (inoltre, se

( ∘ )() = () =

Allora

( ∘ )() = ()

In particolare, se , l’uguaglianza diventa:

♦ () =

DIMOSTRAZIONE: Sia un intorno di ; allora, siccome

| { () .

() () 0

; () =

Supponiamo che allora, per l’ipotesi, ;

(

) () .

abbiamo quindi che se

( ) (

{ = ( ); ) ()

Se se

() = :

A questo punto, siccome : e è un intorno di

0

| ( ) (

{ () ) [()]

e, quindi,

( ) 0

0 -35-

6. Algebra dei limiti ( )= ( )=

Siano ; consideriamo i limiti di due funzioni: e .

0 0

Sono consentite le seguenti operazioni tra limiti:

SOMMA ALGEBRICA PRODOTTO PER UNA COSTANTE

( )]

( + )( ) = + [ =

0 0

PRODOTTO TRA LIMITI QUOZIENTE TRA LIMITI

( )

( )( ) = ( )=

( )

0 0

1

( ) = + + + +

Siano dati due polinomi: 1 1 0

1

( )= + + + +

1 1 0

+ −

( )={ ( )={

− + =

⁄

=

⁄

( ) ( )

= = (−1)

+ + )

[( ]

⁄ ⁄

( ) ( )

− ⁄ (−1)

− )

[( ]

⁄

{ {

 OSSERVAZIONE: Nei rapporti, raccolgo il termine di grado massimo se ;

raccolgo il termine di grado minimo se .

DIMOSTRAZIONE: SOMMA ALGEBRICA

|( + )()| = |() + () − ( + )| ≤ |() − | + |() − |

Sia . Per definizione:

( ) |()

| { ⇒ − | 2 ;

)

1( 1 0

0 ( ) |()

| { ⇒ − | 2 .

)

2( 2 0

0 =

Ora, definisco 1 2

( ) ( (

{ ⇒ + )() − + ) + = ∎

Se 0 2 2

-36-

DIMOSTRAZIONE: PRODOTTO PER UNA COSTANTE

Distinguiamo due casi:

 = ⇒ () =

Se

 ⇒ ia

Se . Per definizione:

|()

| ⇒ − | /||

1 1 | || |()

⇒ () − | = − | ∎

Allora, 1 DIMOSTRAZIONE: PRODOTTO TRA LIMITI

|()

() − | = |() () − () + () − |

Sia . Dimostro che ≤ |() () − () | + |() − | ≤

Applico la disgiunzione triangolare e ottengo:

≤ |()| |() − | + || |() − | ≤ |() − | + || |() − |.

Per il teorema di locale limitatezza, si ha: Inoltre, per definizione:

|()

| ( { ) ⇒ − |

1. 1( ) 1 0

0 ||

|()

| ( { ) ⇒ − |

2. 2( ) 2 0

0 ||

= U

Prendo 1 2

|( ||)]

( { ) ⇒ )() − | [ ( + = ∎

Se 0 ||

DIMOSTRAZIONE: QUOZIENTE TRA LIMITI

() () − ()

− =

() ()

| |()| ( { )

Osserviamo che ,

( ) 0

0

|()| ≥

Dalla dimostrazione del teorema della permanenza del segno, sappiamo che: .

( )

0 2

|| |()

() () () |() () | |() () | | || |() |

− = ≤ ≤

Premesso ciò, .

() () || || ||

Sia Per definizione: ||

|()

| ( { ) ⇒ − |

1. )

1( 1 0

0 || ||

||

|()

| ( { ) ⇒ − |

2. )

2( 2 0

0 || || ||

() () () || ||

= ( { ) ⇒ − = [ ( )] = ∎

Sia . Allora,

1 2 2 0 ||

() () || ||

-37-

LIMITE NOTEVOLE -1-

n =1

0

Studio la circonferenza goniometrica: n

= 2

= 2

= tan

tan

= 2

n ≤ tan

Dalle inclusioni dei triangoli, abbiamo: . sin

n co ≤ ≤1

Divido per e rovescio la doppia implicazione: .

1

Per il teorema del confronto, il limite in esame vale .

LIMITE NOTEVOLE -2-

1

(1 + ) =

Questo limite vale per i teoremi sui limiti

LIMITE NOTEVOLE -3-

1 1

(1 − ) =

Pongo: 1 1

1 −1 1 1 1 1

1− = = = = = =

−1+1 1 1

1+ 1+

−1 −1 −1 −1

1 1 1

1

1 1+

1+( ) −1

−1

= − 1