Analisi Matematica 1 - Appunti

Appunti di analisi matematica 1

Indice

• Elementi di logica, Pag. 1
• La teoria degli insiemi, Pag. 4
• Gli insiemi numerici, Pag. 5
• Le funzioni, Pag. 7
• Le funzioni elementari, Pag. 9
• Nozioni fondamentali, Pag. 11
• Il punto di accumulazione, Pag. 15
• Il teorema di Bolzano-Weierstrass, Pag. 16
• Il teorema binomiale, Pag. 18
• Le successioni reali, Pag. 20
• Il teorema binomiale, Pag. 18
• Limiti di successioni reali, Pag. 23
• Limiti di funzioni reali, Pag. 31
• Confronto tra infiniti, Pag. 43
• La discontinuità, Pag. 46
• La continuità, Pag. 49
• I simboli di Landau, Pag. 55

Elementi di logica analisi I

Una proposizione logica è un enunciato del quale si può inequivocabilmente dire, in un certo contesto, se è vero o falso.

Roma è capitale dell’Italia. I coccodrilli non dormono mai.

P: (V) Q: (F)

Ad ogni p.e. può essere assegnato un valore di verità rigorosamente oggettivo.

Usiamo i connettivi logici per instaurare una relazione tra due p.e., in modo da generare una terza p.e., a cui è associato un nuovo v.d.v.

1. Congiunzione logica “e”

A B,

È un connettivo attraverso cui a partire da due proposizioni e se ne forma una nuova chiamata A B A B congiunzione di e ( ), vera soltanto nel caso in cui e siano entrambe vere.

V V V
V F F
F V F
F F F

2. Disgiunzione inclusiva “o”

A B,

È un connettivo attraverso cui a partire da due proposizioni e si forma una nuova proposizione, la A B quale è vera solo nel caso in cui almeno una delle due proposizioni da cui è formata e è vera.

V V V
V F V
F V V
F F F

3. Negazione “¬”

Esso intende un'operazione logica unitaria, che restituisce il valore di verità inverso di una proposizione.

A ¬A
V F
F V

-1-

4. Causalità o implicazione logica semplice “ ”

È un connettivo logico attraverso cui, a partire da due proposizioni e, si forma una nuova proposizione chiamata implica ( ), vera in tutti i casi in cui non si ha vera e falsa.

A B A B
V V V
V F F
F V V
F F V

Può essere vista anche come una relazione: due coppie di proposizioni sono in relazione se il risultato dell'operatore logico implicazione è vero. Questo aspetto è evidente nel linguaggio comune dove l'implicazione è espressa nella forma “se allora ”, così ci risulta naturale la comprensione di:

“Se piove allora ci sono nuvole in cielo“

L'unica possibilità che tale affermazione sia falsa è quella di verificare che in un dato momento piova ma non ci siano nuvole in cielo. Supponendo che sia vera questa può essere espressa nei seguenti modi:

• È condizione sufficiente per
• È condizione necessaria per

Per dimostrare la veridicità di quanto detto, si consideri:

L’implicazione logica esclude che da una premessa vera si possa dedurre una conclusione falsa.

5. Causalità o implicazione logica doppia “ ”

Se accade che valgano contemporaneamente e introduciamo un nuovo connettivo detto; co-implicazione potremo anche esprimerla dicendo che:

A B

• È condizione necessaria e sufficiente per
• A B e sono logicamente equivalenti

A B A B B A A B
V V V V V
V F F V F
F V V F F
F F V V V

6. Le variabili e i predicati

A volte, le espressioni logiche possono contenere delle variabili. In questo caso le preposizioni prendono il nome di predicato, che diviene una tutte le volte che fissiamo il suo argomento.

A questa preposizione non posso assegnare un valore di verità poiché esso dipende dalla variabile.

-2-

7. I quantificatori “∃” e “∀”

Dato un predicato (con la sua variabile in un certo insieme) è naturale chiedersi se l’enunciato sia vero per tutti gli elementi di o se esista almeno un elemento per cui il predicato sia vero.

Introduciamo due simboli la cui funzione è eliminare l’indeterminazione della variabile. Il loro nome è legato al fatto che danno una informazione su quanto è grande l'estensione in cui è valido un predicato:

• ∃ Quantificatore esistenziale (si legge “esiste almeno un ”)
• ∀ Quantificatore universale (si legge “esiste per ogni ”)

L’applicazione di un quantificatore a un predicato lo trasforma in una.

Negare un quantificatore ne produce un altro diverso.

Negando un quantificatore in una coppia di preposizioni e cambia il senso (quindi il valore di verità) dell’affermazione; sarà pertanto necessario scambiare quantificatore.

8. Proprietà di proposizioni e connettori

Idempotenza. Teorema dei complementi.

Proprietà commutativa. Proprietà associativa.

Teorema di DeMorgan. Proprietà distributiva.

Teorema dell’assorbimento. Teorema dell’assorbimento.

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La teoria degli insiemi analisi I

Gli insiemi sono “collezioni” dalla quale prendo le variabili delle preposizioni logiche.

Per definire un insieme particolare occorre dichiararne gli elementi. Questo è possibile in due modi:

• { } Elencare gli elementi contenuti
• { } Identificarne la caratterizzazione

1. Operazioni tra insiemi

Intersezione. Unione. { ( ) ⋀ ( )} { ( ) ⋁ ( )} XX ∧⋁

Il simbolo di unione è descritto dalla congiunzione logica.

Il simbolo di unione è descritto dalla congiunzione logica.

Complementare. Differenza. {∁ ( ∉ )} definita come l’insieme degli elementi { ( ) ⋀ ( ∉ )} X ∁

Prodotto cartesiano × { ( × ) ( )}

Il prodotto cartesiano è commutativo solo nel caso ¬ il simbolo di unione è descritto dalla congiunzione logica in cui gli insiemi e siano uguali.

2. Proprietà delle operazioni tra insiemi

Proprietà commutativa. Proprietà associativa.

( ) ( )
( ) ( )

Teorema dell’assorbimento. Teorema dell’assorbimento - 2.

( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )

3. L’insieme delle parti

Si definisce come la collezione che contiene tutti i sottoinsiemi di.

Generalmente, l’insieme delle parti contiene elementi, con.

Quando si tratta con l’insieme delle parti, si ricordi che il vuoto è considerato un elemento.

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Gli insiemi numerici analisi I

1. Insieme dei numeri naturali

ℕ

Questo insieme ha strutture che associano un terzo elemento al prodotto cartesiano di due elementi:

Somma ℕ ℕ ℕ. Prodotto ℕ ℕ ℕ. ℕ ℕ ℕ ℕ

Funzione inversa.

Elemento neutro (esistenza dello zero) | (esistenza dell’unità) |

Proprietà associativa, commutativa, distributiva.

2. Insieme dei numeri interi

ℤ ℕ

Anche in esistono la somma e il prodotto con le relative proprietà; la differenza con l’insieme risiede nell’esistenza di un elemento neutro per cui:

ℤ

3. Insieme dei numeri razionali

ℚ

È definito tale l’insieme i cui elementi hanno la seguente proprietà:

{ℚ ℤ ℚ

È possibile elencare tutti i numeri razionali contenuti in poiché quando arrivo alla riga, il ℚ: numero è sicuramente già comparso. Ricordiamo inoltre che in

Il numero

È definito come quel numero per cui è vera la preposizione:

♠ ∉ ℚ

Proposizione: ♦ ℚ.

Dimostrazione: suppongo che. Esistono allora due numeri (primi tra loro) tali che.

2 2 2 2 ⇒ Elevo al quadrato entrambi i membri:.

Allora, sicuramente p è pari.

2 ℕ

Se è pari, allora lo scrivo anche come.

2 2 2 2 4 ⇒ . Allora anche è pari.

Tuttavia, essendo entrambi pari, non sono primi tra loro.

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3. Insieme dei numeri reali

ℝ

L’insieme dei numeri reali contiene tutti gli insiemi precedentemente elencati; anche al suo interno esistono le strutture di somma e prodotto, applicabili con le seguenti proprietà:

• Associativa
• Commutativa
• Distributiva

ℝ ℝ

L’insieme è totalmente ordinato, infatti: si ha.

Rispetto all’ordinamento, le operazioni interne si comportano così:

ℝ ⇒  ⇒  ⇒ 

A differenza dei numeri razionali, i reali non formano un insieme numerabile, cioè l'insieme dei numeri reali è strettamente più grande di quello dei numeri naturali (pur considerando che entrambi sono infiniti).

Il valore assoluto

< .

Dal punto di vista geometrico, rappresenta la distanza dall’origine del punto sulla retta di ascissa.

Sono valide le seguenti relazioni:

 ℝ
 ℝ

Nella risoluzione degli esercizi, sono valide le seguenti affermazioni (siano): ⟺ ± ⟺  ⟺ ∨ 

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Le funzioni analisi I

Una funzione matematica tra due insiemi non vuoti e è una relazione che associa ad ogni elemento di uno ed un solo elemento di. Indichiamo questa corrispondenza tra insiemi scrivendo.

Esempio: data di persone nascita.

A 10   B 15
C ℎ ℕ

A “10 è l’immagine di B C” “15 è l’immagine di e ( )

Questa corrispondenza tra elementi si indica con l’espressione analitica della funzione matematica, e sono dette variabile indipendente e variabile dipendente.

Dominio: (di una funzione) è il più ampio sottoinsieme di costituito da tutti e soli i valori della per cui ( ). esistono finiti i corrispondenti valori di.

Codominio: (di una funzione) è il sottoinsieme di costituito da tutti gli elementi corrispondenti dei punti appartenenti al dominio della funzione.

Immagine: (di un sottoinsieme del dominio di una funzione) è l'insieme degli elementi ottenuti applicando la funzione al dominio.

Si tratta quindi di un sottoinsieme del codominio della funzione. L'immagine degli elementi dell'intero dominio è anche detta immagine della funzione. Più propriamente, scriviamo:

| | ( )

1. Funzioni iniettive e suriettive

Funzioni iniettive. Funzioni suriettive.

Una funzione è definita suriettiva. Una funzione è iniettiva se () ℂ . se, ossia) ).

∀ ≠ ( ≠ (si ha 1 2 1 2

Tutti i numeri sono immagine. Ogni elemento ha un’immagine di una distinta.

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2. Composizione di funzioni

La composizione di funzioni consiste nell'applicazione di una funzione al risultato di un'altra funzione.

Una funzione tra due insiemi e trasforma ogni elemento di in uno di: in presenza di un'altra funzione che trasforma ogni elemento di in un elemento di un altro insieme, si definisce composizione di e la funzione che trasforma ogni elemento di in uno di applicando prima e poi.

() 2 2
( 5) 2 5
(())( )

Occupiamoci ora di dimostrare che le funzioni composte godono della proprietà associativa.

( ) ( ) (ℎ ) ℎ ℎ ℎ
[ (ℎ )[ ]]( ) ( ) ( )( ) ( )

3. Funzioni biiettive e invertibili

Una funzione è definita biiettiva se è sia iniettiva che suriettiva.

()( )

Dati due insiemi e, una funzione che viaggia in senso ( ) ( ) 2 opposto a si dice inversa di se:

  ()

Una funzione, per essere invertibile, deve necessariamente essere biiettiva.

1( ) ( ). La funzione inversa ha la seguente proprietà: ( ) ℂ

Con essa intendiamo quella funzione che associa ad ogni l’unico punto tale che.

4. Definizioni e osservazioni finali

Scrivendo, indichiamo che si applica prima, poi.

( ) ( ( ) )

Si definisce grafico di una funzione, l’insieme.

( ) ( ) ∀

Una funzione è crescente se,. Il grafico della funzione “tende a salire”.

1 2 1 2
( ) ( ) ∀

Una funzione è decrescente se,. Il grafico della funzione “tende a scendere”.

1 2 1 2

Una funzione è monotòna se essa è solo crescente o solo decrescente (strettamente o debolmente).

( ) ( )( )) ∀ ( ).

Una funzione è periodica (di periodo se si ha:

( ) ( ).

Una funzione si dice pari quando: il suo grafico è simmetrico rispetto all’asse.

( ) ( ).

Una funzione si dice dispari quando: il suo grafico è simmetrico rispetto all’origine.

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Funzioni elementari analisi I

1. La funzione esponenziale

Sia.

( ) ( )

Dominio:

Immagine: ( ) ( )

2. La funzione logaritmica

Sia.

( ) ( )

Dominio: ( )

Immagine: ( )

 Osservazione: il logaritmo è la funzione inversa dell’esponenziale.

3. Le funzioni seno e coseno

Seno. Coseno.

( ) ( )

Dominio ( ) ( )

Immagine ( ) ( )

 Osservazione: la funzione è dispari; la funzione è pari.

( ) ( )

 Osservazione: le funzioni e sono periodiche ( ).

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4. La funzione tangente

( )( ) ( )( ) |

Dominio: { }

( )

 Osservazione: la funzione è periodica ( ) e dispari.

5. Funzioni trigonometriche inverse

Arcoseno. Arcocoseno. Arcotangente.

Affinchè le funzioni trigonometriche siano invertibili, bisogna effettuare opportune considerazioni “variazioni” al dominio / codominio delle stesse, poiché sono periodiche.

[-1; 1] [-1; 1]

Dominio ( )[ ]

Immagine.

Grafico.

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Nozioni fondamentali analisi I

1. Gli intervalli

È un sottoinsieme formato da tutti i punti della retta reale compresi tra due estremi e. Sia.

• [ ] { | Intervallo chiuso
• {( ) | Intervallo aperto
• [ {) | Intervallo limitato inferiormente
• { |( ] Intervallo limitato superiormente
• { |[ ) Intervallo illimitato limitato inferiormente
• { |( ) Intervallo limitato aperto
• { |( ] Intervallo illimitato limitato superiormente
• { |( ) Intervallo illimitato aperto
• ( ) Intervallo illimitato

2. Gli intorni

Sia; è definito tale, l’intorno di centro e raggio, l’insieme:

Intorno sferico {( ) | ( ) ( )

Sia; definiamo intorno l’insieme:

Intorno | ( )( ) ( ) [ )

Intorno sinistro. Sia; definiamo di se contiene l’intervallo ( ]

Intorno destro. Sia; definiamo di se contiene l’intervallo.

3. Il massimo di un insieme

{ };√ Consideriamo un insieme il suo massimo è poiché è quello col valore maggiore.

♠ ̅ Definizione: sia; diciamo che un numero è il massimo dell’insieme se:

 Osservazione: il massimo di un insieme è unico.

♦ Dimostrazione: suppongo, massimi di. Allora abbiamo (perché è un massimo) e (perché è un massimo anch’esso). Per l’assioma di ordinamento di se due numeri sono, allora essi sono uguali.

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[ ) Nel caso di intervalli aperti come vediamo come non esiste un estremo superiore relativo a questo insieme poiché non è compreso nell’insieme (e, per definizione, il massimo deve appartenere all’insieme).

♦ [ ) Dimostrazione: sia allora. Quindi, se un massimo esiste, esso sarà.

( ) Tuttavia, considerando sicuramente esso sarà maggiore di.

( ) Inoltre, che è a sua volta minore di.

In conclusione, se allora non può essere un massimo.

4. Il minimo di un insieme

{ };√ Consideriamo un insieme il suo minimo è poiché è quello col valore minore.

♠ ̃ Definizione: sia; diciamo che un numero è il minimo dell’insieme se:

̃  Osservazione: il minimo di un insieme è unico.

♦ Dimostrazione: suppongo, minimi di. Allora abbiamo (perché è un minimo) e (perché è un minimo anch’esso). Per l’assioma di ordinamento di se due numeri sono, allora essi sono uguali.

( ] Nel caso di intervalli aperti come vediamo come non esiste un estremo inferiore relativo a questo insieme poiché non è compreso nell’insieme (e, per definizione, il minimo deve appartenere all’insieme).

♦ ( ] Dimostrazione: sia allora. Quindi, se un massimo esiste, esso sarà.

( ) Tuttavia, considerando sicuramente esso sarà minore di.

( ) Inoltre, che è a sua volta minore di.

In conclusione, se allora non può essere un minimo.

5. Il maggiorante

♠ | Definizione: sia si dice maggiorante per l’insieme.

( ) {[ ] ( ) ( )[ ) [ ) [ )

 Esempi:

 Osservazione