Analisi Matematica 1 - Appunti

APPUNTI DI

ANALISI

MATEMATICA 1

ܣǤ ܣǤ ʹͲͳ͵ȀʹͲͳͶ

ʹͲͳ͵ȀʹͲͳͶ

Elementi

Elem

El emen

ementi

em

enti

en ti di

d i L

Logica

ogic

og ica

ic a Pag. 1

La Te

Teor

Teoria

oria

or ia d

deg

degli

egli

eg li I

Insiemi Pag. 4

Gli

Gl In

Insi

Insiemi

siem

si emi

em Numerici Pag. 5

Le

L e Funzioni Pag. 7

Le Funzioni Elementari Pag. 9

Nozioni Fo

F

Fondamentali

ndamentali Pag. 11

Il Punto di Accumulazione Pag. 15

Il Teorema di Bolzano-Weierstrass Pag. 16

Il Teorema Binomiale Pag. 18

Le Successioni Reali Pag. 20

Il Teorema Binomiale Pag. 18

Limiti di Successioni Reali Pag. 23

Limiti di Funzioni Reali Pag. 31

Confronto tra Infiniti Pag. 43

La Discontinuità Pag. 46

La Continuità Pag. 49

I Simboli di Landau Pag. 55

ELEMENTI DI LOGICA ANALISI I

Una proposizione logica è un enunciato del quale si può inequivocabilmente dire,

in un certo contesto, se è vero o falso.

Roma è capitale dell’Italia I coccodrilli non dormono mai

P: (V) Q: (F)

Ad ogni p.e. può essere assegnato un valore di verità rigorosamente oggettivo.

Usiamo i connettivi logici per instaurare una relazione tra due p.e. , in modo da generare una terza

p.e. , a cui è associato un nuovo v.d.v.

1. Congiunzione logica “e” A B,

È un connettivo attraverso cui a partire da due proposizioni e se ne forma una nuova chiamata

A B A B

congiunzione di e ( ), vera soltanto nel caso in cui e siano entrambe vere.

V V V

V F F

F V F

F F F

2. Disgiunzione inclusiva “o” A B,

È un connettivo attraverso cui a partire da due proposizioni e si forma una nuova proposizione , la

A B

quale è vera solo nel caso in cui almeno una delle due proposizioni da cui è formata e è vera.

V V V

V F V

F V V

F F F

3. Negazione “¬”

Esso intende un'operazione logica unitaria, che restituisce il valore di verità inverso di una proposizione.

A ¬A

V F

F V

-1-

4. Causalità o implicazione logica semplice “ ”

È un connettivo logico attraverso cui, a partire da due proposizioni e , si forma una nuova proposizione

chiamata implica ( ), vera in tutti i casi in cui non si ha vera e falsa.

A B A B

V V V

V F F

F V V

F F V

Può essere vista anche come una relazione: due coppie di proposizioni sono in relazione se il risultato

dell'operatore logico implicazione è vero. Questo aspetto è evidente nel linguaggio comune dove

l'implicazione è espressa nella forma “se allora ”, così ci risulta naturale la comprensione di:

“se piove allora ci sono nuvole in cielo“

L'unica possibilità che tale affermazione sia falsa è quella di verificare che in un dato momento piova ma

non ci siano nuvole in cielo. Supponendo che sia vera questa può essere espressa nei seguenti modi:

è condizione sufficiente per

è condizione necessaria per

Per dimostrare la veridicità di quanto detto, si consideri:

L’implicazione logica esclude che da una premessa vera si possa dedurre una conclusione falsa.

5. Causalità o implicazione logica doppia “ ”

Se accade che valgano contemporaneamente e introduciamo un nuovo connettivo detto

;

co-implicazione potremo anche esprimerla dicendo che:

A B

è condizione necessaria e sufficiente per

A B

e sono logicamente equivalenti

A B A B B A A B

V V V V V

V F F V F

F V V F F

F F V V V

6. Le variabili e i predicati

A volte, le espressioni logiche possono contenere delle variabili. In questo caso le preposizioni prendono il

nome di predicato, che diviene una tutte le volte che fissiamo il suo argomento.

A questa preposizione non posso assegnare un valore di verità poiché esso dipende dalla variabile .

-2-

7. I quantificatori “∃” e “∀”

Dato un predicato (con la sua variabile in un certo insieme) è naturale chiedersi si l’enunciato sia vero per

tutti gli elementi di o se esista almeno un elemento per cui il predicato sia vero.

Introduciamo due simboli la cui funzione è eliminare l’indeterminazione della variabile. Il loro nome è

legato al fatto che danno una informazione su quanto è grande l'estensione in cui è valido un predicato:

∃ quantificatore esistenziale (si legge “esiste almeno un ”)

∀ quantificatore universale (si legge “esiste per ogni ”)

L’applicazione di un quantificatore a un predicato lo trasforma in una

Negare un quantificatore ne produce un altro diverso.

Negando un quantificatore in una coppia di preposizioni e cambia il senso (quindi il valore di verità)

dell’affermazione; sarà pertanto necessario scambiare quantificatore.

8. Proprietà di proposizioni e connettori

IDEMPOTENZA TEOREMA DEI COMPLEMENTI

PROPRIETÀ COMMUTATIVA PROPRIETÀ ASSOCIATIVA

TEOREMA DI DEMORGAN PROPRIETÀ DISTRIBUTIVA

TEOREMA DELL’ASSORBIMENTO TEOREMA DELL’ASSORBIMENTO - 2

-3-

LA TEORIA DEGLI INSIEMI ANALISI I

Gli insiemi sono “collezioni” dalla quale prendo le variabili delle preposizioni logiche.

Per definire un insieme particolare occorre dichiararne gli elementi. Questo è possibile in due modi:

{ }

Elencare gli elementi contenuti { }

Identificarne la caratterizzazione

1. Operazioni tra insiemi INTERSEZIONE

UNIONE {

( ) ⋀ ( )}

{ ( ) ⋁ ( )} X

X

∧

⋁ Il simbolo di unione è descritto dalla congiunzione logica

Il simbolo di unione è descritto dalla congiunzione logica

COMPLEMENTARE DIFFERENZA

{

∁ ( ∉ )}

definita come l’insieme degli elementi

{

( ) ⋀ ( ∉ )}

X ∁ PRODOTTO CARTESIANO ×

{ (

× ) ( )}

Il prodotto cartesiano è commutativo solo nel caso

¬

Il simbolo di unione è descritto dalla congiunzione logica

in cui gli insiemi e siano uguali.

2. Proprietà delle operazioni tra insiemi

PROPRIETÀ COMMUTATIVA PROPRIETÀ ASSOCIATIVA

( ) ( )

( ) ( )

TEOREMA DELL’ASSORBIMENTO TEOREMA DELL’ASSORBIMENTO - 2

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

3. L’insieme delle parti

Si definisce come la collezione che contiene tutti i sottoinsiemi di .

Generalmente, l’insieme delle parti contiene elementi, con .

Quando si tratta con l’insieme delle parti, si ricordi che il vuoto è considerato un elemento.

-4-

GLI INSIEMI NUMERICI ANALISI I

ℕ

1. Insieme dei numeri naturali

Questo insieme ha strutture che associano un terzo elemento al prodotto cartesiano di due elementi:

SOMMA ℕ ℕ ℕ PRODOTTO ℕ ℕ ℕ

ℕ ℕ ℕ ℕ

FUNZIONE INVERSA

ELEMENTO NEUTRO (esistenza dello zero) | (esistenza dell’unità) |

PROPRIETÀ Associativa, commutativa, distributiva

ℤ

2. Insieme dei numeri interi

ℤ ℕ

Anche in esistono la somma e il prodotto con le relative proprietà; la differenza con l’insieme risiede

nell’esistenza di un elemento neutro per cui:

ℤ

ℚ

3. Insieme dei numeri razionali

È definito tale l’insieme i cui elementi hanno la seguente proprietà:

{

ℚ ℤ ℚ

È possibile elencare tutti i numeri razionali contenuti in poiché quando arrivo alla riga , il

ℚ:

numero è sicuramente già comparso. Ricordiamo inoltre che in

IL NUMERO

È definito come quel numero per cui è vera la preposizione:

♠ ∉ℚ

PROPOSIZIONE :

♦ ℚ.

DIMOSTRAZIONE : Suppongo che

Esistono allora due numeri (primi tra loro) tali che .

2 2 2 2

⇒

Elevo al quadrato entrambi i membri: .

Allora, sicuramente p è pari.

2

ℕ

Se è pari, allora lo scrivo anche come .

2 2 2 2

4 ⇒

. Allora anche è pari.

Tuttavia, essendo entrambi pari, non sono primi tra loro.

-5-

ℝ

3. Insieme dei numeri reali

L’insieme dei numeri reali contiene tutti gli insiemi precedentemente elencati; anche al suo interno

esistono le strutture di somma e prodotto, applicabili con le seguenti proprietà:

ASSOCIATIVA

COMMUTATIVA

DISTRIBUTIVA

ℝ ℝ

L’insieme è totalmente ordinato, infatti: si ha .

Rispetto all’ordinamento, le operazioni interne si comportano così:

ℝ ⇒

 ⇒

 ⇒



A differenza dei numeri razionali, i reali non formano un insieme numerabile, cioè l'insieme dei numeri

reali è strettamente più grande di quello dei numeri naturali (pur considerando che entrambi sono infiniti).

IL VALORE ASSOLUTO

< .

Dal punto di vista geometrico, rappresenta la distanza dall’origine del punto sulla retta di ascissa

Sono valide le seguenti relazioni:

 ℝ

 ℝ

Nella risoluzione degli esercizi, sono valide le seguenti affermazioni (siano ):

⟺ ±

 ⟺

 ⟺ ∨

 -6-

LE FUNZIONI ANALISI I

Una funzione tra due insiemi non vuoti e è una relazione che associa ad ogni elemento di uno ed

un solo elemento di . Indichiamo questa corrispondenza tra insiemi scrivendo .

ESEMPIO

DATA DI

PERSONE NASCITA

A 10

B 15

C ℎ

ℕ

A”

“10 è l’immagine di

B C”

“15 è l’immagine di e ( )

Questa corrispondenza tra elementi si indica con l’espressione analitica della funzione

matematica, e sono dette variabile indipendente e variabile dipendente.

DOMINIO: (di una funzione) è il più ampio sottoinsieme di costituito da tutti e soli i valori della per cui

( ).

esistono finiti i corrispondenti valori di

CODOMINIO: (di una funzione) è il sottoinsieme di costituito da tutti gli elementi corrispondenti dei

punti appartenenti al dominio della funzione.

IMMAGINE: (di un sottoinsieme del dominio di una funzione) è l'insieme degli elementi ottenuti

applicando la funzione al dominio.

Si tratta quindi di un sottoinsieme del codominio della funzione. L'immagine degli elementi

dell'intero dominio è anche detta immagine della funzione. Più propriamente, scriviamo:

| | ( )

1. Funzioni iniettive e suriettive

FUNZIONI INIETTIVE FUNZIONI SURIETTIVE

Una funzione è definita suriettiva

Una funzione è iniettiva se () ℂ .

se , ossia

) ).

∀ ≠ ( ≠ (

si ha

1 2 1 2

Tutti i numeri sono immagine

Ogni elemento ha un’immagine .

di una

distinta. -7-

2. Composizione di funzioni

La composizione di funzioni consiste nell'applicazione di una funzione al risultato di un'altra funzione.

Una funzione tra due insiemi e trasforma ogni elemento di in uno di : in presenza di un'altra

funzione che trasforma ogni elemento di in un elemento di un altro insieme , si definisce

.

composizione di e la funzione che trasforma ogni elemento di in uno di applicando prima e poi

() 2 2

( 5)

2

5 (())

( )

Occupiamoci ora di dimostrare che le funzioni composte godono della proprietà associativa.

( ) ( ) (ℎ )

ℎ ℎ ℎ[ (ℎ )

[ ]]

( ) ( ) ( )

( ) ( )

3. Funzioni biiettive e invertibili

Una funzione è definita biiettiva se è sia iniettiva che suriettiva. ()

( )

Dati due insiemi e , una funzione che viaggia in senso

( ) ( ) 2

opposto a si dice inversa di se:



 ()

Una funzione, per essere invertibile, deve necessariamente essere biiettiva.

1

( ) ( ).

La funzione inversa ha la seguente proprietà: ( )

ℂ

Con essa intendiamo quella funzione che associa ad ogni l’unico punto tale che .

4. Definizioni e osservazioni finali

Scrivendo , indichiamo che si applica prima , poi .

( ) ( ( ) )

Si definisce grafico di una funzione, l’insieme

( ) ( ) ∀

Una funzione è crescente se , . Il grafico della funzione “tende a salire”.

1 2 1 2

( ) ( ) ∀

Una funzione è decrescente se , . Il grafico della funzione “tende a scendere”.

1 2 1 2

Una funzione è monotòna se essa è solo crescente o solo decrescente (strettamente o debolmente).

( ) ( )

( )) ∀ ( ).

Una funzione è periodica (di periodo se si ha:

( ) ( ).

Una funzione si dice pari quando: Il suo grafico è simmetrico rispetto all’asse .

( ) ( ).

Una funzione si dice dispari quando: Il suo grafico è simmetrico rispetto all’origine.

-8-

FUNZIONI ELEMENTARI ANALISI I

1. La funzione esponenziale Sia .

( ) ( )

DOMINIO:

IMMAGINE: ( ) ( )

2. La funzione logaritmica

Sia .

( ) ( )

DOMINIO: ( )

IMMAGINE: ( )

 OSSERVAZIONE: Il logaritmo è la funzione inversa dell’esponenziale.

3. Le funzioni seno e coseno SENO COSENO

( ) ( )

DOMINIO ( ) ( )

IMMAGINE ( ) ( )

 OSSERVAZIONE: la funzione è dispari; la funzione è pari.

( ) ( )

 OSSERVAZIONE: le funzioni e sono periodiche ( ).

-9-

4. La funzione tangente ( )

( ) ( )

( ) |

DOMINIO: { }

( )

 OSSERVAZIONE: la funzione è periodica ( ) e dispari.

5. Funzioni trigonometriche inverse

ARCOSENO ARCOCOSENO ARCOTANGENTE

Affinchè le funzioni trigonometriche siano invertibili, bisogna effettuare opportune

CONSIDERAZIONI “variazioni” al dominio / codominio delle stesse, poiché sono periodiche.

[-1; 1] [-1; 1]

DOMINIO ( )

[ ]

IMMAGINE

GRAFICO -10-

NOZIONI FONDAMENTALI ANALISI I

1. Gli intervalli

È un sottoinsieme formato da tutti i punti della retta reale compresi tra due estremi e . Sia .

[ ] { | INTERVALLO CHIUSO

{

( ) | INTERVALLO APERTO

[ {

) | INTERVALLO LIMITATO INFERIORMENTE

{ |

( ] INTERVALLO LIMITATO SUPERIORMENTE

{ |

[ ) INTERVALLO ILLIMITATO LIMITATO INFERIORMENTE

{ |

( ) INTERVALLO LIMITATO APERTO

{ |

( ] INTERVALLO ILLIMITATO LIMITATO SUPERIORMENTE

{ |

( ) INTERVALLO ILLIMITATO APERTO

( ) INTERVALLO ILLIMITATO

2. Gli intorni Sia ; è definito tale, l’intorno di centro e raggio , l’insieme:

INTORNO SFERICO {

( ) | ( ) ( )

Sia ; definiamo intorno l’insieme:

INTORNO | ( )

( ) ( ) [ )

INTORNO SINISTRO Sia ; definiamo di se contiene l’intervallo ( ]

INTORNO DESTRO Sia ; definiamo di se contiene l’intervallo

3. Il massimo di un insieme

{ };

√

Consideriamo un insieme il suo massimo è poiché è quello col valore maggiore.

♠ ̅

DEFINIZIONE: Sia ; diciamo che un numero è il massimo dell’insieme se:

 OSSERVAZIONE: Il massimo di un insieme è unico.

♦ DIMOSTRAZIONE: Suppongo , massimi di . Allora abbiamo (perché è un massimo) e

(perché è un massimo anch’esso). Per l’assioma di ordinamento di se due numeri sono

, allora essi sono uguali.

-11-

[ )

Nel caso di intervalli aperti come vediamo come non esiste un estremo superiore relativo a questo

insieme poiché non è compreso nell’insieme (e, per definizione, il massimo deve appartenere all’insieme).

♦ [ )

DIMOSTRAZIONE: Sia allora . Quindi, se un massimo esiste, esso sarà .

( )

Tuttavia, considerando sicuramente esso sarà maggiore di .

( ) ( )

Inoltre, che è a sua volta minore di .

In conclusione, se allora non può essere un massimo.

4. Il minimo di un insieme

{ };

√

Consideriamo un insieme il suo minimo è poiché è quello col valore minore.

♠ ̃

DEFINIZIONE: Sia ; diciamo che un numero è il minimo dell’insieme se:

̃

 OSSERVAZIONE: Il minimo di un insieme è unico.

♦ DIMOSTRAZIONE: Suppongo , minimi di . Allora abbiamo (perché è un minimo) e

(perché è un minimo anch’esso). Per l’assioma di ordinamento di se due numeri

sono , allora essi sono uguali.

( ]

Nel caso di intervalli aperti come vediamo come non esiste un estremo inferiore relativo a questo

insieme poiché non è compreso nell’insieme (e, per definizione, il minimo deve appartenere all’insieme).

♦ ( ]

DIMOSTRAZIONE: Sia allora . Quindi, se un massimo esiste, esso sarà .

( )

Tuttavia, considerando sicuramente esso sarà minore di .

( )

Inoltre, che è a sua volta minore di .

In conclusione, se allora non può essere un minimo.

5. Il maggiorante

♠ |

DEFINIZIONE: Sia si dice maggiorante per l’insieme

( ) {

[ ] ( ) ( )

[ ) [ ) [ )

 ESEMPI:

 OSSERVAZI