Nozioni, Fisica II

3. LA LEGGE DI GAUSS

Il campo generato da una carica puntiforme, come è noto, è un campo centrale e dunque conservativo;

seppur non radiale, il campo generato da una distribuzione di carica è sempre conservativo.

Inoltre, è di fondamentale importanza una legge detta di Gauss che può essere applicata solo ai capi in cui

la loro definizione è inversamente proporzionale al quadrato della distanza.

3.1 Flusso del campo elettrico. Legge di Gauss

flusso del campo elettrico

Si definisce la quantità scalare: Σ

Φ = ∙

Dove è il versore normale alla superficie

Σ.

Il flusso è una quantità additiva, ovvero, per conoscere il flusso lungo una qualsiasi superficie bisogna

costituire l’integrale esteso alla superficie: Φ = � ∙ Σ

Proviamo ora a calcolare il flusso del campo elettrico generato da una carica q attraverso una superficie:

Σ

= Ω

Φ = 2 4

4

0 0

In tale espressione si definisce angolo solido sotto cui è visto dalla carica q il contorno di

Ω Σ.

Si vuole ora calcolare il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa generato da una carica

posta all’interno di tale superficie:

Φ = � Ω = � Ω = 4 =

4 4 4

0 0 0 0

In quanto attraverso l’angolo solido la superficie di è sempre pari a

Σ 4.

Diversamente se la carica si trova all’esterno della superficie chiusa che si vuole calcolare il flusso si ha:

Φ = ∙ Σ = − Σ

1 1 1

Φ = Σ

2 2

Φ = Φ + Φ = 0

1 2

Dunque, il flusso del campo elettrico è pari a: )

(

Φ = �

0

Se le cariche che generano il campo elettrico si trovano all’interno della superficie, diversamente se sono

all’esterno il flusso è nullo.

Se la carica è posta uniformemente su un volume di densità all’interno di una superficie:

1

Φ() = � (, , )

0

3.2 Alcune applicazioni e conseguenze della legge di Gauss

La legge di Gauss presenta un notevole grado di semplicità nei casi in cui la distribuzione di carica avviene

su superfici o volumi perfettamente uniformi come sfere, cilindri ecc…

In questi casi la legge di Gauss può essere approssimata come:

Φ() = Σ

Esempio 3.1

Esempio 3.2

3.3 Campo elettrostatico nell’intorno di uno strato superficiale di carica

Gli integrali caratteristici del campo elettrico sono:

Σ =

� ∙ = 0 � ∙

0

Considerando dunque una superficie carica uniformemente la quale interseca un rettangolo di lati AB e CD

paralleli alla superficie e BC e AD ortogonali ad essa. La circuitazione del campo elettrico è data da:

( )

∙ + ∙ = − = 0

1 1 2 2 1 2

Da cui segue che: =

1 2

Ora consideriamo il campo generato da una distribuzione di carica uniforme su una superficie nella quale è

intersecato un cilindro di area superiore ed inferiore pari a parallele alla superficie.

Σ,

Si ha quindi: Σ

∙ Σ + ∙ Σ = − Σ + Σ =

1 1 2 2 1 2

0

Dalla quale segue che:

− =

2 1

0

In forma vettoriale:

− =

2 1

0

Teorema della divergenza

Il flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie chiusa è uguale all’integrale della divergenza del

campo racchiuso sul volume: � ∙ Σ = �

Ricordando che il flusso è uguale alla carica fratto la costante dielettrica del vuoto, si ha:

� = �

0 0

L’integrale di volume dunque della densità sulla carica sottratto all’integrale di volume della divergenza del

campo elettrico deve dare zero:

�� − � = 0

0

Da cui si trova che: (, , )

(, , ) =

0

legge di Gauss in forma differenziale.

L’ultima è anche detta

3.5 Equazioni di Maxwell per l’elettrostatica. Equazioni di Poisson e di Laplace

Le operazioni di rotore del campo elettrico e di divergenza del campo elettrostatico hanno come soluzione:

∇ × = 0

∇ ∙ =

0

Sono anche dette equazioni di Maxwell per il campo elettrostatico.

Si è visto come il campo elettrostatico è uguale al gradiente del potenziale elettrostatico cambiato di segno,

per cui si ha: 2

−∇ ∙ ∇ = −∇

2 2 2

2 = + + = −

∇ 2 2 2

0

equazione di Poisson

Chiamata anche la quale mette in relazione il potenziale con la densità di carica.

Precisamente nel vuoto si ha: 2

∇ = 0

equazione di Laplace.

Detta 2

L’operatore è detto operatore laplaciano.

∇ ∙ ∇= ∇

4. CONDUTTORI. ENERGIA ELETTROSTATICA

4.1 Conduttori in equilibrio

I conduttori sono corpi in cui le cariche elettriche hanno la possibilità di muoversi al loro interno. Però

essendo in ambito elettrostatico non possiamo supporre un movimento di carica, il che originerebbe

corrente elettrica, ma consideriamo le cariche in quiete.

Inoltre in un conduttore si ha per definizione che il campo elettrostatico è nullo:

= 0 ′

Ciò comporta che:

1) Non ci sia prevalenza di carica su un’altra all’interno

2) La differenza potenziale elettrostatico tra due punti sulla superficie è nulla. Quindi la superficie di

un conduttore è una superficie equipotenziale

3) Essendo una superficie equipotenziale avvicinando un corpo in prossimità della superficie, esso

risente di una linea di forza perpendicolare alla superficie stessa

4) Il campo elettrostatico generato da un conduttore è dato dunque da: .

=

0

La densità superficiale di carica è più intensa nelle zone in cui il corpo mostra una struttura più appuntita. In

una sfera, dunque, la carica si stabilisce in modo uniforme sulla superficie.

Se ad un conduttore neutro viene posto un conduttore carico in prossimità, nel conduttore neutro si assiste

ad un posizionamento delle cariche negative in prossimità della superficie vicina al conduttore carico;

mente, nel lato opposto si ha una distribuzione di cariche positive. Tale distribuzione genera un nuovo

campo elettrostatico indotto,

campo detto il quale neutralizza il campo elettrico generato dal conduttore

carico.

Se due conduttori neutri vengono avvicinati, essi diventano un unico conduttore.

4.2 Capacità di un conduttore isolato

La carica distribuita su un conduttore isolato è data da:

= � (, , ) Σ

Quindi il potenziale in un punto interno al corpo lontano r’ dalla superficie è uguale a:

1 (, , )Σ

() = �

4 ′

0

Aumentando la carica di un valore m, anche la densità superficiale viene moltiplicata per m e di

conseguenza anche il potenziale.

capacità del conduttore

Si definisce il rapporto:

=

Il quale non cambia al variare della carica né dal potenziale, ma dipende dalle dimensioni, dalla forma e dal

materiale del conduttore.

4.3 Conduttore cavo. Schermo elettrostatico

Consideriamo un conduttore carico che abbia al suo interno una cavità. Per il teorema di Gauss tracciando

una superficie interna al conduttore il campo è nullo, quindi sulla cavità non sono presenti cariche.

Non si può nemmeno pensare ad un posizionamento di cariche positive da un lato e cariche negative

dall’altro, in quanto creando un percorso dove un lato passi per il centro della cavità e l’altro sulla parte

esterna, ovvero nella parte interna del conduttore, si ha:

� ∙ = � ∙ + � ∙ = � ∙ ≠ 0

1 1 2 2 1 1

In contrasto con la circuitazione del campo elettrico, che è un campo conservativo ed ha quindi

circuitazione nulla.

La differenza di potenziale anche su un conduttore cavo è, dunque, nulla, in quanto il potenziale è costante.

Inserendo in un conduttore isolato C1, non carico, un conduttore carico positivamente C2, per il teorema di

Gauss dunque sulla superficie interna di C1 si crea una carica negativa tale da bilanciare la carica negativa

del conduttore C2. Il campo dunque sarà nullo.

Quindi, si crea un campo elettrostatico indotto dove le cariche positive vanno a posizionarsi sulla facciata

esterna di C1.

Si è di fronte, dunque, ad uno strano effetto, tutte le linee di campo uscenti nel corpo C2 sono entranti in

induzione elettrostatica completa.

quello C1, tale fenomeno è chiamato

Se colleghiamo infine i due conduttori, C1 e C2, le cariche presenti sul conduttore C2 interno, migrano sulla

superficie esterna di C1. schermo elettrostatico perfetto

Il conduttore elettrostatico costituisce uno tra spazio interno ed esterno.

4.4 Sistemi di conduttori

Se ad un conduttore carico avviciniamo un conduttore neutro, nel secondo conduttore si forma un campo

elettrostatico indotto non completo, nel senso che non tutte le linee di forza uscenti dal secondo terminano

sul primo.