Nozioni, Analisi dei segnali

Segnali

• deterministici: segnali il cui andamento è predicibile su base deterministica
• aleatori: segnali il cui andamento è predicibile su base probabilistica

IN UN

ESISTE UN'ESPRESSIONE MATEMATICA CHE NE DEFINISCE ESATTAMENTE L'ANDAMENTO

Esempio di segnale determinato:

s(t) = A · cos(ω t + φ) = A · cos(2π f_o t + φ)

_{segnale armonico reale}

^ampiezze ε ℝ

^{ω ε ℝ φ ε [0°, 2π]}

Esempio di segnale aleatorio

UN SEGNAL DATA: produrrà delle ampiezze in modo probabilistico.

T = tempo di simbolo, cioè il tempo di spedizione su un seriale.

È UN ANDAMENTO UGUALE A QUELLO DI UN OTTIMAZIONE CON REINSERIMENTO DEI 2 VALORI.

NOTE

Estarpolazione: cerca di prevedere l'andamento del segnale al di fuori dell'intervallo.

Interpolazione: ricostruisce il segnale ricollengando i punti del segnale discretizzato.

Freq. di campionamento: 8 kHz la voce - 44,1 kHz l'audio.

Segnali Deterministici

ε = R

ε = Λ

• Segnale a tempo continuo e ampiezza continua (tipo di segnale analogico)
• Segnale a tempo continuo e ampiezza discreta (caso di segnale campionato)
• Segnale a tempo e ampiezza discreta (tipo di segnale numerico)

ε ∈ ℤ(T) = { . . . , -2T, -T, 0, T, 2T, . . . }

Per passare da un segnale analogico a uno digitale si usano un convertitore analogico/digitale usando i seguenti blocchi:

1. Campionamento
2. Quantizzatore
3. Codifica numerica

Nota:

• Il campionamento in teoria è un'operazione reversibile
• La quantizzazione non è un'operazione reversibile (qualcosa perdo)

Intervalli di quantizzazione: 2ⁿN_{tagliabilisottoadattivi}

Esempio: Codifica con 4 bit → L = {a_α, a_β, ... , a_ι}^{24 elementi}

Definizione di segnale periodico

s(t) si dice periodico se esiste un intervallo finito T₀ tale che: s(t) = s(t + T₀) ∀ t T₀ definisce il periodo di s(t).

• s(t) = s(t + T₀); s(t + 2T₀) = s(t + nT₀) n ∈ ℤ
• Il segnale è periodico di nT₀.
• T₀ definisce il più piccolo intervallo che soddisfa la condizione di periodicità.

s(t) = A · cos(2πf_ct) → fase = 0

s(t) = s(t + T₀) = A · cos[2πf_c(t + T₀)] = A · cos(2πf_ct + 2πf_c · T₀) = A · cos(2πf_ct) = s(t).

Dinamica di un segnale

è l’insieme di tutti i valori di ampiezza che il segnale assume in questo caso è [-A, A]

Nota:

• Un segnale impulsivo è di classe L¹, un segnale di energia è di classe L², un segnale di potenza converge dividendo per T.

Rappresentazione dei segnali (Domin. della frequenza)

Abbiamo bisogno di una base, Base dei Segnali: {Φ_n(t)}_n∈I ⊂ Z

E ogni segnale sarà espresso dalla combinazione lineare degli elementi appartenenti alla base:

Σ_n∈I S_n Φ_n(t) ⟶ (dove {S_n}_n∈I sono dei coefficienti che dipendono da un dato segnale s(t) e dalla base)

Vorremmo Ŝ(t) = Σ_n∈I S_n Φ_n(t) = s(t)

Se Ŝ(t) ≃ s(t), ovvero Ŝ(t) è una approssimazione di s(t), la sequenza S_n per n ∈ I costituisce la rappresentazione di s(t) rispetto agli elementi della Base {Φ_n}_n∈I

- Problemi di Rappresentazione:

• Definire una Base
• Determinare i coefficienti una volta trovata la base

Note:

Proprietà della base di Fourier

&Fn(1) e periodica di periodo ^To⁄_n

&phin(t)=1/&sqrt; Toe2^{j2π ⁄ T_o}t = (e^{j2π n ⁄ To}t) = e^{j2π v_nt} = e^{j2π nTo}

se v=0 =>e1 = 1

&phin(1) ha valor medio nullo (per v≠0)

1⁄To∫To&phin(1) dt = 1⁄To∫To e^{j2π v_nt} dt = 1⁄ { Tosec ∫To e^{j2πv_nt 0} =0 se n≠0

se n>o

&Del 1⁄To∫To&phin(1) dt = 1⁄To∫Tout (1)

• Ortogonalità della base • Dato &phin(t)=e^j2πv_nt

(&phim,&phin) = 1⁄To∫To&phin(1)⁄&tidle;dt = 1/

Tosec∫To e^j2π(m-n)t&tidle; dt = 1 &if m ≠ n 0 &if m=n

base ortogonale e anche normale perché restiuisce 1

quindi dato s(1), → Sn+(&Fwn,1to∫To[st&Fwn≠0]) ≠0 si e chiameremo serie di Fourier:

S(h)=∑Sn&phin(t) ∑Sn e^j2πv_nt

TROVARE LO SPETTRO DI S(t) = A · COS(2πf₀t + ψ)

• Al posto di fare l'integrale si analizzano le armoniche di ^∞ ∑ S_ne^j2πf₀t _n=-∞ e si usano soltanto S_n se sono diversi da zero.

S(t) = Acos(2πf₀t + ψ) = ^A₂ e^{j2πf₀t + ψ} + ^A₂e^{j2πf₀t + ψ}

|S_n| = { ^A₂ per n = ±1 = 0 per n ≠ ±1

∠ = {^{ψ con n=1} -ψ con n=-1 0 per n ≠ ±1

Segnali Impulsivi

Dato s(t) costruisco un segnale periodico così posso osservare in frequenza? S_p(t) = x_rep (s(t)) = ∑ S (t-kT₀) = ^∞ ∑ S_n = _k=-∞ ^T₀ ∫ s(t)e^{-j2πnft ∞} ∑ S_n, e^x = _-T0²

Sin = ¹ ∑ ^{T₀ S(t-kT₀) e-j2πnftdt}

→ ∫ ^∞ S_t=k, e^-j2πnft S(t)

= ∫ e^x2πn·k dT = 1 ^∞ _-∞ sinusoide ∞

= ¹ ∫ s(t)e^-j2πnftdt

Posso scrivere:

S_p(t) = ∑ S_n · e^j2πn₀t