Notazione e Algebra vettoriale

Notazione vettoriale e algebra vettoriale

Notazione vettoriale

Per distinguere i vettori (grandezze dotate di intensità e direzione) dagli scalari (grandezze dotate di sola intensità) i primi vengono indicati con simboli in neretto. Il vettore unitario, quello cioè di valore assoluto (o intensità, o lunghezza) 1, sarà qui sempre indicato con una a minuscola in neretto.

Il vettore unitario, o versore, nella direzione di un vettore A, si ottiene dividendo A per il relativo valore assoluto:
a_A = A / |A| ovvero A / A
in cui |A| = A = √A · A

Se usiamo i vettori unitari a_x, a_y, a_z, presi sugli assi x, y, z di un arbitrario sistema cartesiano di riferimento, potremo scrivere un qualsiasi vettore tramite le sue componenti:
A = A_xa_x + A_ya_y + A_za_z

Algebra vettoriale

1. I vettori si possono sommare e sottrarre.
   A ± B = (A_xa_x + A_ya_y + A_za_z) ± (B_xa_x + B_ya_y + B_za_z) = (A_x ± B_x)a_x + (A_y ± B_y)a_y + (A_z ± B_z)a_z
2. Valgono le leggi: associativa, distributiva, commutativa.
   • A + (B + C) = (A + B) + C
   • k(A + B) = kA + kB
   • (k₁ + k₂)A = k₁A + k₂A
   • A + B = B + A
3. Il prodotto scalare, o prodotto punto, di due vettori è per definizione:
   A · B = AB cos θ (e si legge "A scalar B")
   essendo θ l'angolo più piccolo compreso tra A e B. Usando le componenti, vediamo che:
   A · B = A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z
   E in particolare:
   A · A = |A|² = A_x² + A_y² + A_z²