Grandezze, analisi dimensionale e algebra vettoriale prima parte

Lezione 20/03/2022 - La Grandezza

La grandezza è associata al processo di misurazione, con misurazione intendiamo che esiste uno strumento che riesce a misurare direttamente quella grandezza. Lo strumento dà la definizione operativa della grandezza, per esempio, la lunghezza viene misurata col metro, oppure la massa con la bilancia o il tempo con l'orologio.

Misurazione diretta e indiretta

Non è sempre possibile misurare direttamente una grandezza attraverso uno strumento infatti distinguiamo:

Misurazione diretta (massa, velocità, lunghezza)

Misurazione indiretta come la densità ovvero:

P.S. Se voglio misurare la distanza tra una torre di controllo e un aeroplano, oppure la distanza terra-luna, oppure la profondità di un fondale marino non posso effettuare una misurazione diretta, devo ricorrere a strumenti come il sonar o il radar che non fanno una misurazione diretta del dato che voglio ottenere.

Esempio Fisica1 Pagina 1

Il sonar emette ultrasuoni e li

Manda verso il fondale, queste onde vengono riflesse dal fondale verso il sonar e avviene un click. Il sonar al suo interno ha un orologio che permette di misurare il tempo che ha impiegato il segnale ad andare e tornare, ovvero in acqua il suono ha una velocità, da cui otteniamo che diviso 2 poiché è il tempo sia di andata che di ritorno insieme.

Grandezze Fondamentali: Lunghezza

Grandezze derivate: Velocità, accelerazione, Massa, densità, forza, pressione, Tempo, superficie, volume

Tutte le grandezze derivate avranno unità di misura che dipenderanno dalle grandezze fondamentali in base alla relazione matematica che le lega. Ad esempio, la velocità è data (rozzamente) dal rapporto di una lunghezza e un tempo, quindi la sua unità di misura è metro su secondo.

Conoscere le unità di misura delle grandezze permette di fare l'analisi dimensionale che aiuta a capire se la risposta ad un problema è corretta o meno.

Notazione

Mettiamo le grandezze sotto parentesi quadre [ ]

dentro le parentesi quadre si indicano la grandezza in questione con gli Fisica1 Pagina 2

e dentro le parentesi quadre si indicano la grandezza in questione con gli esponenti che dipendono dalla relazione matematica della grandezza aprimo membro

Analisi dimensionale

Superficie

Velocita

Accelerazione

Prendendo una grandezza angolare

Le grandezze angolari sono adimensionali

anche le funzioni trascendentali (cos, tan, log, e, sin, …) sono adimensionali

Esempio

Prendiamo il moto armonico semplice, la sua legge oraria, e supponiamo che dipenda dal coseno del tempo, cioè il variare al variare del tempo la funzione varia sinusoidalmente come un coseno e scriviamo la seguente relazione:

Però facendo l'analisi dimensionale ci accorgiamo subito che la relazione per come è scritta è sbagliata poiché non Fisica1 Pagina 3 Però facendo l'analisi dimensionale ci accorgiamo subito che la relazione

Per come è scritta è sbagliata poiché non funziona, infatti è una grandezza che ha dimensione (secondi) e l'argomento del coseno deve essere adimensionale, in più ha (metri) ma il coseno è adimensionale. Quindi possiamo correggere questo errore aggiungendo un coefficiente A, al coseno, che ha le dimensioni di una lunghezza (metri) e poi l'argomento del coseno deve diventare adimensionale, e risolviamo moltiplicando con una grandezza che ha dimensione che chiameremo (omega) e otteniamo:

Multipli e sottomultipli

Tempo

Il secondo si misura con gli orologi atomici

Il minimo di secondi misurati è di (luce che attraversa un elettrone)

Il massimo è (l'età dell'universo)

Lunghezza

Misurata, sapendo che la velocità della luce è ben nota, attraverso la seguente relazione:

Fisica1 Pagina 4