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Richiami ed equazioni basilari:
Date un volume di controllo contornato da una superficie di controllo e un sistema di riferimento, vale la seguente equazione:
-
ZE = generica proprietà estensiva del flusso (estensiva = proporzionale a M)
-
z = corrispondente proprietà per unità di massa (specifica)
-
u = velocità locale
Equazioni fondamentali della meccanica e della termodinamica:
-
dm/dt = 0 → Conservazione della massa
-
∑i Fi = dQ/dt → Io cardinale della dinamica
-
∑i Mo = dL/dt → IIo cardinale della dinamica
-
(Ptem - Pmec) = dEtot/dt → Io principio della termodinamica
-
→ IIo principio della termodinamica
Grazie all'equazione (E) possiamo modificare le equazioni scritte sopra:
Continuità della massa:
N.B. Potremmo anche svolgere: d(musc - mentr)/dt = - ∫ρmdA + d/dt∫ρdv
Io principio della dinamica:
Le forze che insistono sul nostro V.C. sono di due tipi:
- Forze di volume (o di massa) ad esempio la forza di gravità.
- Forze di superficie (f). Esse si scompongono in direzione normale e tangenziale cioè in forze di pressione e in forze viscose o di taglio.
Zc = qc
Zx = dm/dt · u = ρxu
∑cFi = d/dt V.
∮s.c. ρ(u·m) dA + d/dt ∫v.c. ρu dV
IIa Equazione cardinale:
∫v.c. (r ∧ b) dV + ∫s.c. (r ∧ f) dA = ∫s.c. (r ∧ m)(ρu·m) dA + d/dt ∫v.c. (r ∧ u) ρdV
Io principio della termodinamica:
Zt = Etot
z = e
Pterm - Pmecc = dET/dt
Pterm = ∫s.c. qg dA
Pmec = - ∫v.c. b·u dV - ∮s.c. ρρ(u·m) dA - Ps + Ptan
⇒ ∫s.c. qg dA - ∫v.c. (b·u) dV - ∮s.c. ρρ(u·m) dA - Ps = dEr/dt
dET/dt = ∮s.c. ρrumdA + d/dt ∫v.c. ρr dV
⇒ ∫s.c. qg dA - ∫v.c. (b·u) dV - Ps = ∫s.c. hr (u·m) dA + d/dt ∫v.c. ρr dV
IIo princ. termodinamica:
∫s.c. qgi dA + (dS/dt)ir = ∫s.c. s(ρu·m) dA + d/dt ∫v.c. ρs dV
dq = d(ρuA (h + u2/2))
dq - pdv = de + dpv
dq = d
+ (de + dpv)
dq = Tds e de + dpv = dh
Tds = dh - dp / ρ
E' piu conveniente far rientrare gli effetti legati alla viscosità; per cui possiamo subito individuare quali sono i termini di irreversibilità:
- d(ρuA) = 0 (I)
- d(ρu2A) = -Adp - τcdst (II)
- d(ρuA (h + u2/2)) = dq (III)
- Tds = dh - dp / ρ (IV)
Divido per A la (II) ⟹ -dp - τcdst/A = d(ρu2A)/A
dividendo per ρ ⟹ udu = -dp/ρ - τcdst/ρA
⟹ dp/ρ = vdu + τcdst/ρA
dh + udu = dq/ρuA
quindi la (IV) si riscrive:
Tds = dq/ρuA - udu + vdu + τcdst/ρA
Tds = dq/ρuA + τcdst/ρA
Modello unidimensionale stazionario (gas caloricamente perfetto):
∘ ρ = pRT ⇒ dp = RTdρ + ρRdT = ϕ d
ρ
+ ρ dT⇒ d p
∘ M= u√RT ⇒ dM = du√RT + ( - 12 ) Rtu(√RT)^3 · dT
⇒ dMM = duu - 12 dTT (Mach)
∘ d(
ρuA
) = 0 ⇒ 1√uA [ ρudA + ρAdu + Aduρ ] = 0ρuA⇒ d ρ
∘ d(
ρu^2A
) = -Adp - τds₂ ⇒ ρu²dA + ρA(2udu) + u²Adρ = d(ρu^2A
)ρu² [ dAA + 2Au duu + A d ρ
ρ
= - τds₂ρu² [ dAA + duu + d ρ
ρ
= - dAA )⇒ XM²RT
ρ
( duu ) + dp = - τ ds₂A⇒ M² duu + dpρ = - τ ds₂Ap (Quantità di moto)
∘ dq = dhₜ ⇒ dhₜ = CpdT + 12 udu = CpdT + XM²RT duu
⇒ d T
∘ Tds = dqpA + τds₂ρ A
Dalle equazioni precedenti:
T/Tcr = P/RP = ρ/ρcr = Pr/Pcr = M2 (1+γ)(1+γM2)
⟹ ρ/ρcr = (1/γ) ( (1+γM2) / (1+γ) )
T/Tcr = γRT/γRTcr = u2/M2ucr2 ⟹ (u2/ucr2) = M4 (1+γ)(1+γM2)2
⟹ (u/ucr) = M2 (1+γ)(1+γM2)
Mettiamo ora in relazione le proprie tà totali con quelle entaliche secondo che il fluido che stiamo considerando si x assolutamente perfetto:
TT/T = (1 + γ-1 / 2 M2) = TTcr/T ⟹ T/Tcr = (1 + γ / 2) M2 /(1+γM2)2
⟹ TT/TTcr = T/Tcr
⟹ (T/Tcr) = (1 + γ / 2) / (γ/(γ-1))
⟹ TT/TTcr = (2 + (γ-1) M2) M2(γ+1) / (1 + γM2)2
PT/PTcr = Pc/P · Pr/Pcr = (1 + γ/2 M2) γ/γ-1 × (1+γ / 1+γM2)(γ/γ+1)
⟹ PT/PTcr = (4+γ)/(1+γ)(2/(γ+1))(γ-1)/γ ⟹ [ 2 + (γ-1) M2 / (γ+1) ]
Ugelli di scarico: (Ideali)
- Flusso stazionario in condotto ad area variabile
- Ugello di scarico ideale (flusso isentropico)
Adiabatico -> hT = cost -> cpT = cpT + 1/2 u2 =D u = √(2γ/γ-1 RTTT (1 - (p/pT)γ-1/γ))
Isentropico (quando Poisson) -> (isotropico)
N.B. Velocità limite (p=0) -> ulim = √(2γ/γ-1 RTTT) (> u)
Queste relazioni descrivono la velocità in dipendenza delle proprietà totali, che però si conservano per la isentropia del flusso, e della pressione, oltre al tipo di gas.
Adesso cerchiamo di esprimere come varia ṁ in e A:
Conservazione della massa -> ṁ = ρuA -> ṁ/A = ρu dove ρ = ρT (p/pT)1/γ
-> ṁ/A = (2γ/γ-1) 1/(RTTT) √(ρ/pT) √(1 - (p/pT)γ-1/γ)
=> ṁ/A = ρT √(2γ/γ-1 1/(RTTT) (ρ/pT)1/γ (1 - (p/pT)γ-1/γ))
Condizioni critiche -> pcr/ptot = (2/γ+1)γ/γ-1 -> ṁ/Acr = pT/√(RTTT) √(γ2γ/(γ+1) (2/γ-1) (γ-1) (g/γ+1))
ṁ/Acr = pT/√(RTTT) √(γ2/γ+1 γ/γ-1)
γ = 1,33 -> Γ*=0,67 γ = 1,4 -> Γ*=0,68
ṁmax = Γ* pT Acr/√(RT TT)
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