Moto Dei Fluidi e Termocinetica - Teoria

CAP.1

Elemento di fluido

Fluido: unione di sistemi infinitesimi chiusi, ogni infinitesimo detto elemento di fluido.

Moto del fluido: moto degli elementi di fluido.

Traiettoria: insieme delle posizioni assunte da un elemento di fluido nel tempo.

Linee di corrente: è la linea tangente al vettore velocità in ogni punto.

(differenze: linee di corrente è la velocità di tutte le particelle del fluido in un istante, traiettoria sono i punti nello spazio occupati dallo stesso elemento.)

Moto stazionario: quando la velocità è indipendente dal tempo, quindi velocità rappresentata da un vettore u=u(x,y,z). Nel moto, le linee di corrente, non variano nel tempo e coincidono con le traiettorie.

Tubo di flusso (del vettore u): insieme delle linee di flusso che passano per una linea piana chiusa, compresi i punti interni.

Moto laminare e turbolento

Abbiamo tubo di vetro percorso da liquido, con velocità media W regolata da una valvola. Fino ad un certo W, le linee di corrente sono visualizzabili (Laminare). Quando W supera valore limite il colorante si disperde in tutto il tubo (Turbolento). La velocità critica si ha in corrispondenza di un valore critico del numero di Raynolds.

Re = _pWD/^μ con p = densità; W = velocità media; D = diametro tubo; μ = viscosità dinamica fluido

Per i tubi circolari, Re(critico) = 2300.

Sia Δtao l’intervallo più lungo nel quale W varia in modo trascurabile, se anche la velocità locale in ogni punto varia in modo trascurabile, allora moto laminare. Altrimenti turbolento. Solitamente il vettore velocità si esprime con una parte fissa + una variabile: u = u_m+u' con u_m costante e u' vettore fluttuante con valore medio nullo in Δtao.

Tensore delle tensioni in un fluido

Si prenda una porzione di fluido chiusa, S. Un fluido esterno esercita su questo in ogni posizione P, una forza q (sforzo). In ogni punto q dipende SOLO dalla direzione della normale n, le componenti di q sono funzioni lineari omogenee delle componenti di n. Allora è possibile creare la matrice simmetrica σ (TENSORE DELLE TENSIONI) tale che q=σ⋅n (vettori) dove σ^t trasposta. σ=σ^t

δ = [_{δxx δyx δzx δxy δyy δzy δxz δyz δzz}]

TENSIONI DEGLI SFORZI VISCO.

TRACCIA = 1/3 somma delle diagonalizzate principali.

T₂₂(s) = t_ij - t_kk/3 d + p_ij

dove p è una matrice di pressione.

Tr(delta) = 3p

delta=s (/ )

Per semplicità p dato che T se _P0 = P l’azione precisa.

P1 - P2 - P3(dz) deg=0, poiché Fluido fermo.

pqdz = 0 poiché Fluido fermo.

=> (P1 - 9) -(P2 - 9)(z2-x) si differenza per due punti (in H2O liquida).

q > >/u; P = 20/3 K₀/m³.

= P1 - P2 - pdg(z2-z)

z2 = 2.0 m, con differenza di 10 m.

NB Divergenza di un vettore.

= dy; div = ((dPg/dx)(dPg/dy)(dPG/dz)

div(P_x)=div(u₁u_yv_yz)

(ux=div)=0, (uy/vy=0), Wz=Px/q ^l’h(m)

—=> VV(D;P0/dU0v;dVg)

Flusso di un vettore ins.

flusso di v uscente da volume di immersio of dinfinitie

se V dP= _{(F X u)m} dS=dxd2d2

=> ∫⇔(v; j)

EQUAZIONE DI BILANCIO LOCALE DELLA MASSA

dV = evoluzione volume C che occupa regione V delimitata da S + applichiamo primo costruttorio della massa

Dominio integr., non dipende dal tempo

d(ρ dV)/dt = ∫(ρu̅·n̅) ds

d(ρ/∂t + ∇·(ρu̅) = 0

Equazione di continuità

vale per qualsiasi V sottolineando un fluidino in moto

Se ρ = cost allora u̅·n̅ = 0

EQUAZIONE DI BILANCIO LOCALE DELLA QUANTITÀ DI MOTO (EQ DI COSO)

La variazione della quantità di moto (equazione del moto) e che ci è divenuta sostenibile

ρ ΔV D(u̅)/Dt = ΔF

Esistente la definizione di superficie

Sicomre unica p̅ia divisiva e σ̅g̅ => Δβ̅ = -ρ ∇(g̅z) - ∇p̅ + ∇·σ̅

Equazioni vettoriali di bilancio locale della quantità di moto

FLUIDO CARBISCO LAMINA PIANA

lemma sottile

\( y=0 \) dico lungo \( u_0=(u_0,0) \) \( v_0=0 \)

e al contorno \( v=0 \) per \( y=0 \)

Continuazione dei limiti... \( \bar{u}=\bar{u_0} \)

\( \nabla q=u_{%1-1} \) \( \rho=u_{x}=\dfrac{p_1^2}{2} \)

S. ricava \( p_s \), costante

FLUIDO INTORNO A UN CILINDRO \[ 10,3 \% \]

• R - un assiome a piano xy immerso in un fluido
• \( u_0 \) - coordinata \( (\nu_0,0) \)
• Z (se desimilia) PRESSIONE ADDENSIONALE
• \( \rho^*=p_s-p_0 \)

con \( \rho_k \dfrac{y_2}{2} \) Distribuzione di \( p^*\) a contatto rinforzata (0)

simmetria nei piani A,C,B,B’ punto A distinguo - fluido fermo \( p^*=+\) punto C come

• arco AB - U a contatto con la parate corrente \( p^* \) diminuisce
• arco BC \( U \) diminuisce e \( p^* \) corrente

(dizensa dalla REALTA ESPERIMENTALE) Reynolds \( Re_{4,0} = \Gamma \) con il diametro

• Re \(\ll 1 \) - linee comode simil in fluido perfetto \( p^*\) in zona cilindro moti diversi
• Re \(\approx 10 \) - dietro al cilindro due piccoli vortici
• Re \(\appro 40 \) - vortici estesi
• \(60 \le Re \le 5000\) - sia regole di detto cilindro - noto stazionario (non laminale)
• Re \(\gg 5000 \) impossibile visualizzazione detto cilindro per fluido

PERDITE DI CARICO CONCENTRATO O ACCIDENTALI

espressa tramite R = β (Re) ^w2/₂ (in accidentali)

coeff. di minoranza

momento solo β = β ^w2/₂

w velocità media fluido

• imborso da se: infinita: β = 0.5 ↔ kw di valle
• se raccordato β = 0.5
• isexos in se: infinita: β = 1 ↔ kw di monte
• brusco allargamento di sezione: β = (1 - S₁)/(S₂)² ↔ kw di monte
• S₁ area sec.1
• S₂ area sec.2
• curva 90° non raccordata β = 1
• curva 90° raccordata βtabulati
• R/D 4 3 2 1.5
• β 0.3 0.4 0.15 0.47

CALCOLO DELLA PERDITA DI CARICO COMPLESSIVA

perdita carico in circuito = somma delle perdite distribuite ↔ distribuite R = λ L/D ^w2/₂

concentrata β = β ^w2/₂

se circuito senza derivazioni si calcolerà ₪ come unico tratto

R = (λ l/D + Σ_i β_j) ^w2/₂

se va suddiviso R = Σ (λi li/Di + Σ_j β_j) ^w2/₂

con i-esimo tratto e j-esima accidentali di:

Equazioni di Fourier

Q̇ = ∫_S q̇_s ṁ dS = ∫_S k ∇T · ṁ dS = ∫_S k ∂T/∂n dS

Se consideriamo solido a ρ = cost dove vale Fourier con k = cost con T = T(x,y,z,t) e consideriamo A costituito da porzione V del solido chiuso da S

• Bilancio energia sul sistema che può ricevere energia
• Q̇8 potenza generata entro V
• A non scambia lavoro in quanto S ferma

∂/∂t ∫_V ρ u dV = ∫_S q̇_s ṁ dS + ∫_V q̇₈ dV

1^o membro massa in questione è solida ma potenziale termica è entrante

∫_V ρ ∂u/∂t dV con du = c_v dT

∫_V ρ c_v ∂T/∂t dV = ∫_V (k ∇² T + q̇₈) dV

ma deve valere per qualsiasi V

∴ -ρ c_v ∂T/∂t - k ∇² T + q̇₈ = 0

Condiciones c_v = cost e α = k/ρ c_v

Diffusività termica

∴ ∂T/∂t = α ∇² T + q̇₈/ρ c_v

[α] = [m²/s] con c_v * ρ