Termocinetica e moto dei fluidi

CAPITOLO 1 - ELEMENTI BASE FLUIDODINAMICA

• ELEMENTO (PARTICELLA) DI FLUIDO: Fluido in moto in una regione D_t definito con campo velocità non uniforme e Q di FLUIDO. Unione di infinite superfici chiuse in moto definisce infinitesima con direzione U V e velocità Ṽ è detto ELEMENTO DI FLUIDO
• Nodo del fluido = moto degli elementi di fluido. (inimilitabile con coerenza)
• TRAIESTORIA: insieme delle particelle assunto nel tempo da un elemento di fluido (indica verso direzione)
• LINEA DI CORRENTE (O FLUSSO): Linea tangente in ogni punto del vettore velocità
• MOTO STAZIONARIO: la velocità in qualunque punto, non dipende dal tempo → campo delle velocità definito tramite Ṽ = Ṽ (x,y,z,t)
• le linee di corrente non variano nel tempo e coincidono con le traietorie
• TUBO DI FLUSSO: insieme delle linee di flusso che passano per i punti di una linea piana chiusa, ape i punti interni = tubo di flusso più detto FILETTO FLUIDO
• MOTO LAMINARE/MOTO TURBOLENTO: Esperienza di Reynolds

Velocità media: W = V_s / A

ΔS = più lungo intervallo di tempo durante il quale non variano le traiettorie.

• Se in ΔS anche la velocità locale in ogni pt non varia → MOTO LAMINARE
• Se in ΔS la velocità locale fluttua significativamente (in modulo e direzione) → MOTO TURBOLENTO con velocità, U = Ṽ_m + Ṽ'

Valore critico per transizione laminare/turbolento → numero privo dipendente della

geometria del condotto

Numero di Reynolds

_R0 = _{L · V · D}/_μ

Per flusso circolare R_e = 2300

⇒ se R_e > 2300 il moto non è

stabile ⇒ piccolo disturbo → diventa turbolento.

Tensore delle tensioni

Porzione di fluido delimitata da una superficie chiusa S.

dS = elemento infinitesimo nell'interno di P in

verso normale a S in P. SFORZO

Il fluido esterno esercita nell'interno una forza per unità di area (q)

q dipende solo dal versore n, infatti fluido, stato del fluido e punto P (no forza ∈ S)

Le componenti di q sono funzioni lineari omogenee delle componenti di n↑

⇒ esiste uno matrice detta tensore delle tensioni G =

• ( σ_xx σ_xy σ_xz σ_yx σ_yy σ_yz σ_zx σ_zy σ_zz)

  → È SIMMETRICO

Tale   q = G^T · n

→ Trasposta di G G = G^T

σ = G^T

Forma compatta: q_i = ∑_j=1³ σ_ij n_i

q_i = C_i·n con C_i = vettore colonna i-esimo di G

Riga

Elemento di G in [Pa]

(6.7)

2.9

9.1

9.2

6.8

6.9

7.8

9.0

8.0

6.0

7.0

6.12

6.4

6.6

6.5

.5

.8

6.9

6.0

-PRESSIONE E TENSORE DEGLI SFORZI VISCOSI

Si chiama pressione in un fluido in moto (in un pto ad un certo istante) lo

SCALARE: p = - ¹/₃ Tr &sic; = - ¹/₃ (σ_xx + σ_yy + σ_zz)

Segno p è detta Tr &sic; < 0

La somma elementi diagonali principali della matrice G

se

1 = 1 ................ fluido pseudoplastico (mudino, purè patate)

1 = 1 ................ fluido newtoniano

1 > 1 ................ fluido dilatante (canditi, grani)

Diagrammi reologici dei τ_YX in funzione di dy/dy_Y

(a) - pseudoplastico

(b) - newtoniano

(c) - dilatante

τ_YX=μ(T,p) dy/dy|dy/dy_Y|^n-1 dy/dy

Fluido di Bingham (plastiche liquide)

Ricerca un valore minimo di soglia τ₀ per dare luogo ad un valore non nullo della derivata dy/dy ≠ 0

Si ha τ_YX = τ₀ + μ(T,p) dy/dy |τ₀ > 0

Definizione generale μ per fluido newtoniano

Caso generale di moto a 3 componenti, di velocità ≠ 0 (non solo u in funzione di y)

Per fluidi newtoniani si ha S_ij = 2 μ(D_ij - 2/3 μ(v̅ - u̅) I_ij) k=i ≠ j > I=0

[con D_ij = 1/2 (∂u_i/∂x_j + ∂u_j/∂x_i)]

Ovvero:

• S_xx = 2μ ∂u/∂x - 2/3 μ(v̅ - u̅)
• S_yy = 2μ ∂v/∂y - 2/3 μ(v̅ - u̅)
• S_zz = 2μ ∂w/∂z - 2/3 μ(v̅ - u̅)
• τ_XY = τ_YX = μ(∂v/∂y + ∂u/∂x)
• τ_XZ = τ_ZX = μ(∂u/∂z + ∂w/∂x)
• τ_YZ = τ_ZY = μ(∂v/∂z + ∂w/∂y)

Caso particolare: ρ costante

⇒dalla ∇_xV = 0

dalla eq. di continuità ∂_ρ + ^V∇ = 0

⇒Alla: ∂V_x = −∇p + μ∇²V̄

−∇(ρg_xz) = −∇_p

P = (p + ρg_xz) = −∇^p_s dove p_s = ρf ρf g_xz carico piezometrico

EQUAZIONE DI MOTO FLUIDO PEFETTO con UNIFORME per un flusso in questi

viscosità nulla. ∂V=∇(ρg_xz) − ∇^p

EQUAZIONE DI MOTO DIF:

-∂V_s + μ∇²V_s

CAPITOLO 3:

PROBLEMI ELEMENTARI DI MOTO LAMINARE STAZIONARIO CON DENSITÀ COSTANTE

NOTO ALLA POISEUILLE

Moto laminare stazionario di un fluido neutroamico - γ_s

con ρ = cost e μ = cost su una strato di densità. In un canale piatto parallelo / lettura dell'ingresso e dello scarico

1. È asse che segue del piano x/y

2.

ρ costante ⇒ Alla dell eq. di continuità (∇̄ _xV_x)

La velocità è detta lungo x pesante di piv di x ed e y U = U(x,y) è etnica

componenta nelle e velocità non nulla:

f

∂V_x ∂V_y = 0 ⇒ no v = 0 ∂U

∂x ∂y x

Per fluido lentamaan con ρ cost NAVIER-STOCKES ∂V = -P_s+ μ∇²V̄

vetotreale f cospunierà:

(x) ∂V_s = -P^s + μ△V2VU

y = −P^s[U(x, y)] U= 0 P_s ( ^x ) conosciuto piezometric fouscer

2) Flusso in contatto con lamina piana parallela al flusso indisturbato.

Fluido con velocità uniforme _U0 lontano dalla parete.

La parete non altera le linee di corrente, non altera il moto, alla parete il

fluido è PERFETTO.

Lo strato limite in un fluido solido regna in cui _U<0.99 _{U0 Asintoto}

_{Rc = ^VcL fluido sotto. stato limite snello = 100000} →

1. Si risolve il problema del moto per un fluido PERFETTO cioè con le eq. di

Eulero. ^∇ _{U =0}

2. Costruire il contorno

^∇ _M =0 all’infinito, _U0

3. Si pensa a considerare lo strato limite: equazioni di Navier-Stokes con

approssimazioni: - Le derivate secondo alle componenti di V sono trascurabili

(parte e.g.)

- Il carico ρ non varia con l'attrito ne alla

superficie (pressione impresso)

4. Costruire il contorno aderente alla parete e

poi si deretina la speranza dello stato limite.

LAMINA PIANA PARALLELA AL MOTO.

Lamina piana infinitamente sottile; velocità del fluido indisturbato _U0=(v0,0)

1. Fluido perfetto → ∇_U =0 ; ∇ψs
2. Costruire il contorno _U=0 (y-s)

ψ per ( y

→ soddisfatti della distribuzione di 

velocità uniforme

_U0=(v0,0)