Moto dei Fluidi - Appunti ed Esercizi commentati - Primo modulo di Moto dei Fluidi e Termocinetica -

CAP.1: Elementi basilari della fluidodinamica

Nell’ambito della fluidodinamica da noi affrontato si studieranno dei flussi in moto in una regione di spazio in cui è presente un campo gravitazionale g uni forme.

Ad ogni istante potremo definire:

• Def.1 Flusso - Insieme di sistemi infinitesimi chiusi detti "elementi" o "particelle" di fluido che si trovano in moto.
• Def.2 Elemento di fluido - Sistema infinitesimo chiuso caratterizzato da:
  • Densità
  • Tempo

In virtù della modellizzazione adottata il fluido verrà considerato come un entità continua, aspetto che ci permetterà di ritenere tutte le sue proprietà ad un comportamento macroscopico ridotto che richiederà facilitazione di molto lo studio.

• Def.3 Traiettoria - Insieme delle posizioni assunte nel tempo da un ele- mento di fluido.

* Oss.: La traiettoria può essere chiamante visualizzata intersecando del colonnine in esso (a patto che questo non si dispera).

• Def.4 Linea di corrente - Linea tangente in ogni punto al vettore di flusso del _{vettore velocità}
  • Velocità:

* Oss.: Ad ogni visualizzazione la linea di corrente interseca in maniera con tinua (muoto in¬STANTANEA) di colonnate in flunno da punto a campo che esso non si dispera.

• Def.5 Moto stazionario - La velocità in qualsiasi punto pistaato, to diversi più nel dae tempo. Tale aspetto ci permetterà di giene / versi le campo di velocità’ interseca una funzione di vettoriale dello spazio indipendentemente dai tempio: V = U ( x, y, z )

( Indicazione importante :

• Se il moto è stazioniamo le linee di corrente non variano nel tempo.

• E coincidono con le traiettorie.

• Def.6 Tubo di flusso - Insieme delle linee di flusso che passarono per i punti di una linea chiusa e per tutti i punti interni ad essa.

* Oss.: Quando si ha a che pane con un tubo al flusso nostro sottille si analiza’ di flettriol fluido.

Moto Laminare e Turbolento

( Osborne Reynolds )

Si considern un tubo di vetro perlo scano da un cicando che proviene da un serbatorio ad livello costainza. La velocità media del fluido ( W* ‘ espressa a) ione porta in volume] ( Area ‘Soiana’) è relatato reesema in va Values.

Licettina ofian dei Colonnae equi infermo del tubo e’ ossierunamo una conduciamo al Wamus di V.

Quando vam ossermineremo che dare vanoi di V’ infermore ad un cierto valore ossuna le linee di corrente posenio visualizzeramo rriovanto le linie de venoria di couanotte ma al di sorno have di Chezano, le compano si rispera nee pulno. nel annno Claiateiamo il noto del flusio come Laminare nel fenondo caso Turbolento

Moto Laminare

Cosa cambia fra moto laminare e turbolento?

Sia Δt_c il più lungo intervallo di tempo durante il quale W ha variazioni trascurabili.

• Se anche la velocità di ogni punto ha variazioni trascurabili in Δt_c, il moto è laminare.
• Se invece la velocità locale ha sensibili fluttuazioni sia in modulo che in direzione, il moto è turbolento.

Nel moto turbolento, i filamenti fluidi perdono la loro individualità. Si è soliti esprimere il vettore velocità nella forma:

• u = u̅ + u'
• vettore pulsante con valori medi nulla in Δt_c.

Quando avviene la transizione fra moto laminare e turbolento?

La transizione fra moto laminare e turbolento avviene quando il numero puro detto Numero di Reynolds supera un valore critico che dipende dalla geometria del condotto.

Def: Numero di Reynolds

Re_e = ^ρWD/_μ

• ρ = densità del fluido.
• W = velocità media del fluido.
• D = lunghezza di riferimento (es. per un tubo cilindrico è il diametro).
• μ = viscosità dinamica del fluido.
• Ex: Per tubi circolari Re_crit = 2300. Basterà quindi un piccolo disturbo che alteri il moto del fluido per incorrere in un flusso turbolento.

Tensione delle Tensioni in un Fluido

Si consideri una rotazione di fluido, delimitata da una superficie chiusa S. Il fluido esterno ad S è separato da quello interno, in ogni posizione P, una forza 2π avente componenti q_j detta tensione (Turfion).

Per ogni punto P di S, lo sforzo q dipende soltanto dalla direzione n della normale ad S in P; tutte le componenti di q sono funzioni lineari omogenee delle componenti di n.

σ = ^{T Λ}/_%

Se il moto è stazionario, il flusso ha un’unica componente di velocità u che varia linearmente da zero (in y=0) a Δu (in y=Δy).

Quello che accade è che il fluido più veloce, vicino a divenire in un istante che aderente alla parete y=Δy si muove alla sua stessa velocità Δu, trascina però piano noto il fluido più lento che però a sua volta ha un effetto frenante verso il più veloce.

Possiamo osservare che:

• Se ^Δu/_Δy > 0 ⇒ τ_xy > 0

Inoltre, fissato il piano su (T,p), il valore |τ_xy| dipende unicamente dal rapporto |du/dy|. Ma, poiché abbiamo che u(y) è lineare, possiamo direttamente collegare in modo dello stesso modo |τ_xy| alla derivata du/dy al di al di la sua costante per moltiplicativa.

La relazione tra |τ_xy| e |^du/_dy| viene scritta nella forma:

|τ_xy| = μ |^du/_dy|

Def. Viscosità dinamicα del fluido (scalare positivo)

Per la maggioranza dei fluidi, detti Newtoniani, la viscosità dinamica μ dipende soltanto dalla temperatura e dalla pressione e, in molti casi, può essere considerata come una costante. Nel caso più generale invece y numerico

τ_xy = μ(T,p) ^du/_dy

Analisi dimensionale della viscosità dinamica:

L’unità di misura per μ è Po s. Tale unità di misura è infatti desunta da:

[M] = [^F/_L²V] = [^F/_V] [^F/_L⁻²] → (μ) = (Pa·s)

[M] = [^F/_T] [^M1T−1/_L²] = [^M/_L] ^T−1 → (μ) = ([kg/m]·s)

Def. Viscosità cinematicα (ν)

Definiamo viscosità cinematica di un fluido il rapporto tra la viscosità dinamica μ e la densità del fluido:

ν = ^μ/_ρ

Analisi dimensionale di ν.

[ν] = [^M/_T] [^T−1/_M¹L⁻²] → [^L2/_T] → [ν] = ([^m2/_s])

Questa equazione vale per qualsiasi regione di spazio V attinta

attraversata da un fluido in moto. Pertanto:

∂ρ/∂t + ∇·(ρc) = 0 → Equazione di bilancio locale della

massa o equazione di continuità.

Nel caso particolare in cui la densità ρ è costante essa assume la

forma:

∇·u = 0 ρ = cost.

* Dove:

∇·u = ∂u_x/∂x + ∂u_y/∂y + ∂u_z/∂z = 0

Equazione di bilancio locale della quantità di moto o equilibrio del moto

Si consideri un elemento di fluido ∆A di volume elementare ∆V e massa

rappresentante ∆m = ρ ∆V. Applicando la seconda legge della dinamica e

ricordando che l'accelerazione in fluidodinamica è espressa come la deri-

vata sostanziale della velocità si ottiene:

ρ ∆V Du/Dt = ∆S_υ = ∆S_σ + ∆S_c

* Dove: ∆S = forza risultante,

∆S_c = risultante delle forze di volume,

∆S_σ = risultante delle forze di superficie.

Si supponga che l’unica forza di volume sia il campo gravitazionale

uniforme di potenziale g. Si ha allora:

∆S_c = -ρ ∆V ∇(ɸ_g)

Se si indica con q_i e σ_ij la generica componente del vettore q_i e con σ_j la

colonna j-esima del tensore σi, si ottiene:

∆S_i = ∫_∆S ( σ_i · n) ds

Poiché ∆S è una superficie chiusa applicando il

teorema di Gauss-Green numero:

∆S_ι = ∫_∆V ( ∇·c_ι ) dV

Poiché la regione di spazio ∆V è infinitamente piccola, in essa è possibile

considerare σ_c uniforme e possiamo scrivere:

∆S_ι = ( ∇·σ_c) ∆V = (∑_j=1³ ∂σ_ιj/∂x_j ) ∆V

* Ricordando σ_ij = -p_δij + τ_ij se j ≠ i e σ_ij = τ_ij se j ≠ i

∆S_ic = ( -∂p/∂x_i + ∑_j=1³ ∂τ_ij/∂x_j ) ∆V

Questa espressione ci dà l’equazione della risultante delle forze di

superficie:

∆S_ι = (-∇p + ∇·τ_ι) ∆V