Moti in campo centrale

Moti in Campo Centrale

Sistemi Isolati. Lezioni:

1) r ∈ ℝ^3 \ {0} di massa μ soggetta a forza centrale μü = f(r)^r dove f è una funzione scalare (0,+∞) ⇒ ℝ

2) Due particelle soggette a forze dirette lungo la congiungente.

f₁₂, f₂₁ orientate lungo la congiungente e t.c. -f₁₂ = f₂₁ = ∥F∥ c.t. I terzo principio di Newton, inoltre f₁₂, f₂₁ dipende solo dalla distanza.

• μ₁ü₁ = f₁₂(r₁,r₂)
• μ₂ü₂ = f₂₁(r₁,r₂)

dove

• f₁₂=f₁₂(r₁,r₂) = F(∥r₁−r₂∥) (r₁−r₂) ∥r₁−r₂∥
• f₂₁=f₂₁(r₁,r₂) = F(∥r₁−r₂∥) (r₂−r₁) ∥r₁−r₂∥
• = F(∥r₁−r₂∥) (r₁−r₂) ∥r₁−r₂∥

Nota: Poiché f₁₂ = f₂₁ le considererò la somma delle eq. Rvo che μ₁ü₁ + μ₂ü₂ = 0; ovvero, d/dt [μ₁υ₁ + μ₂υ₂] = 0 → conservazione della quantità di moto ⇒ Il centro di massa del sistema va ^R = cost R = μ₁r₁ + μ₂r₂ ⇒ ^R(t) = V_o ⇒

^R(t)=0 R(t) = R_o + V_ot + H.R.U

Nota la posizione R(t) del centro di massa è possibile conoscere la pos. delle particelle relativa al cdm.

Se sost deg. la diff. tra le equazioni: ü₁−ü₂ = (1/μ₁ + 1/μ₂) F(1/∥r₁−r₂∥) (r₁−r₂)

Moti in campo centrale

1) x ∈ ℝ³ {} di massa μ soggetta a forza centrale:   iμr = F(r)ȓ dove F è unfunzione scalare(0,+∞) ⇒ ℝ

2) Due particelle soggette a forza dirette mutue congiungibile:f₁₂, f₂₁ orientate lungo la congiungente et.c. — f₁₂, f₂₁ — soddisfano il terzo principiodi Newton, inoltre |f₁₂| = |f₂₁| dipende solodalla distanza.

μ₁ ȓ₁ = f₁₂ (r₁, r₂)+μ₂ȓ₂ = f₂₁ (r₁, r₂)

Nota: Poiché f₁₂ = f₂₁ ne considera la sommadelle eq. Evo che μ₁ȓ₁ + μ₂ȓ₂; ovvero,d(μ₁ȓ₁ + μ₂ȓ₂) = 0 → conservazione dellaquantità di moto.

R = \(\frac{μ₁ȓ₁ + μ₂ȓ₂}{μ₁ + μ₂}\) ⇒ Ṙ(t) = V₀ ⇒ Ṙ(t) = 0

R(t) = R₀ + V₀tH.R.U

Nota la posizione R_(t) del centro di massa, èpossibile calcolare la pos. delle particellerelativa al cdm.

se chiamo r₁ - r₂ = r, ottengo la coord.relativa

r (_μ1/^{μ₁ + μ₂}) = F(|r|) r̂ (massa totale)

Definisco infine μ = ₁/^{μ₁ + μ₂} = _μ2/^{μ₁ + μ₂} (massa ridotta)

r = ₁/^μ F(|r|) r̂ che è di dir del caso |

[{μ₁r₁ + μ₂r₂ = R

r = r₁ - r₂ ↔ [{R = R + _μ2/^{μ₁ + μ₂} r

                                    r = r₁ - r₂

Risolvendo l' eq. per ({r₁ = _μ/¹ r₁ + μ₂),

R → tolgo 3 gradi di libertà da che erano

6 qui invece

lemma ogni forza centrale è conservativa

infatti ξ ∈ R³ [{0}, che ne qui + qualunque

curvoso → F è conservativa (x_i) = 2x_iF_i, i, j = 1, 2, 3

∂F_i/_∂r_j (F(|r|) - r) - r'(|r|) r_i r̂_i + F(|r|)