Moti in campo centrale

Note in campo centrale

1) sistema sferica, scalare:

• mu reale

2) Due particelle soggette a for0.1em V(p)=∫F(s)·ds

Generale moto in campo centrale

\(\mu \ddot{\mathbf{r}} = F(|\mathbf{r}|) \hat{\mathbf{r}}\) con \(V(\rho) = \int_\rho^\infty F(\rho') ds\)

\(\dot{\mathbf{r}} \cdot \nabla V(\rho) = 0\)

\(\frac{\mu}{2} \dot{\rho}^2 + V(\rho) = \text{cost.} \quad \rightarrow \text{3 grandezze conservate}\)

\(\dot{\mathbf{r}} \wedge \mathbf{r} = \text{cost.}\)

L = \(\mu \rho^2 \dot{\theta} = L \hat{e}_r \wedge \hat{e}_\theta\)

=> \(\ddot{\mathbf{r}} = \frac{\mu }{2} \dot{\rho}^2 + V(\rho) \rightarrow \tau = \frac{\mu \rho^2}{2} + V(\rho) + \frac{L^2}{2 \mu \rho^2}\)

Effettiva \(V_\text{eff}(\rho)\)

Sciolto per quadratura e trovo \(\rho(t) \Rightarrow \dot{\theta}(t) = \frac{L}{\mu \rho^2}\)

=> \(\theta(t) = \theta_0 + \int_0^t \frac{L}{\mu \rho^2} dt\)

velocità angolare

velocità angolare \(\theta = \frac{L}{\mu \rho^2}\)

In generale a un punto naturale periodico mai corrisponde un punto generale preso alla direzione

x = _-∞∫⁰ 1/π√2u|E| dy/√y²+p_y = 1/2_-∞∫⁰ dy/y²+p_y + p

y₀ = p_y + p² 2√y → dz = dy 2√y

y₀ = z²

y₀ = z

1/π√2u|E| y/p_tp → p_t = p + i∞ dy 1/y²+λ

l∞ dx 1/x²+λ

V = √p_t/p∫√p^tp dx = √p_p. arctgx_-∞0 π/√p^t. p_t dx

In conclusione T₀ = L T₀ 1/√2u|E|1/p_tp - L 1/√2u|E| L

T₀ = T₁

=> T₀ = T₁

EQAUZIONE DELLA TRAIETTORIA ρ = ρ(θ)

la si trova per la variabile ausiliaria u(θ) = 1/ρ(θ)

∂ρ u(θ) = u(θ) = 1/p(θ)

∂ρ²2/2u/p²

∂θ² u(θ) - u''(θ) = *μ/ρ² + V_eff(ρ) μρ²

μ 1/L² p²∂ρ V_eff(ρ) p²

-μ/L²∂u V_eff(1/ρ) = u - U'(θ)

-μ/l²∂u2 V_eff(1/u) = U'(θ)

μ/l² u ∂u

μ/l² u + L/2μ1/2u ε-κ - L/2 μk/l²

- μ/L² k

che rappresenta un’oscillazione

- u + 1/ρ₀ + U₀ che rappresenta un’oscillazione

V(ε) = - U₀ + A cos(ε√2) (oscilla tra 1/ρ₁ e (2k))

Visto che U₀ 1/ρ₀ < 0 V ε → A > 0

0 < A < U₀

oscilla anche

ε = e_u0l⁰