Moti in campo centrale

Moti in campo centrale

Sistemi isolati

Lezioni:

• r ∈ ℝ³ \ {0} di massa μ soggetta a forza centrale μü = f(r)^{^}r dove f è una funzione scalare (0,+∞) ⇒ ℝ
• Due particelle soggette a forze dirette lungo la congiungente. f₁₂, f₂₁ orientate lungo la congiungente e t.c. -f₁₂ = f₂₁ = ∥F∥ c.t. Il terzo principio di Newton, inoltre f₁₂, f₂₁ dipende solo dalla distanza. μ₁ü₁ = f₁₂(r₁,r₂), μ₂ü₂ = f₂₁(r₁,r₂)

Dove f₁₂ = f₁₂(r₁,r₂) = F(∥r₁−r₂∥) (r₁−r₂) / ∥r₁−r₂∥, f₂₁ = f₂₁(r₁,r₂) = F(∥r₁−r₂∥) (r₂−r₁) / ∥r₁−r₂∥ = F(∥r₁−r₂∥) (r₁−r₂) / ∥r₁−r₂∥.

Nota: Poiché f₁₂ = f₂₁, considererò la somma delle equazioni. Rvo che μ₁ü₁ + μ₂ü₂ = 0; ovvero, d/dt [μ₁υ₁ + μ₂υ₂] = 0 → conservazione della quantità di moto ⇒ Il centro di massa del sistema va ^R = cost, R = μ₁r₁ + μ₂r₂ ⇒ ^R(t) = V_o ⇒ ^R(t)=0, R(t) = R_o + V_ot + H.R.U.

Nota la posizione R(t) del centro di massa, è possibile conoscere la posizione delle particelle relativa al centro di massa. Se sostituiamo la differenza tra le equazioni: ü₁−ü₂ = (1/μ₁ + 1/μ₂) F(1/∥r₁−r₂∥) (r₁−r₂).

Moti in campo centrale

• x ∈ ℝ³ {} di massa μ soggetta a forza centrale: μü = F(r)^{^}r dove F è una funzione scalare (0,+∞) ⇒ ℝ
• Due particelle soggette a forza dirette mutue congiungibile: f₁₂, f₂₁ orientate lungo la congiungente e t.c. — f₁₂, f₂₁ — soddisfano il terzo principio di Newton, inoltre |f₁₂| = |f₂₁| dipende solo dalla distanza. μ₁ü₁ = f₁₂ (r₁, r₂), μ₂ü₂ = f₂₁ (r₁, r₂)

Nota: Poiché f₁₂ = f₂₁, ne considera la somma delle equazioni. Evo che μ₁ü₁ + μ₂ü₂; ovvero, d(μ₁ü₁ + μ₂ü₂) = 0 → conservazione della quantità di moto.

R = \(\frac{μ₁ü₁ + μ₂ü₂}{μ₁ + μ₂}\) ⇒ Ṙ(t) = V₀ ⇒ Ṙ(t) = 0, R(t) = R₀ + V₀tH.R.U.

Nota la posizione R(t) del centro di massa, è possibile calcolare la posizione delle particelle relativa al centro di massa. Se chiamo r₁ - r₂ = r, ottengo la coordinata relativa r (_μ1/^{μ₁ + μ₂}) = F(|r|) r̂ (massa totale).

Definisco infine μ = ₁/^{μ₁ + μ₂} = _μ2/^{μ₁ + μ₂} (massa ridotta), r = ₁/^μ F(|r|) r̂ che è di dir del caso |[{μ₁r₁ + μ₂r₂ = R], r = r₁ - r₂ ↔ [{R = R + _μ2/^{μ₁ + μ₂} r], r = r₁ - r₂.

Risolvendo l'equazione per ({r₁ = _μ/¹ r₁ + μ₂), R → tolgo 3 gradi di libertà da che erano 6 qui invece.

Lemma: ogni forza centrale è conservativa, infatti ξ ∈ ℝ³ [{0}, che ne qui + qualunque curvoso → F è conservativa (x_i) = 2x_iF_i, i, j = 1, 2, 3 ∂F_i/_∂r_j (F(|r|) - r) - r'(|r|) r_i r̂_i + F(|r|).