Moti relativi

Moti relativi e teorema delle velocità relative

Consideriamo un punto P in movimento lungo una generica traiettoria. Il suo moto viene osservato da un sistema fisso e un sistema mobile. Le relazioni tra la posizione, la velocità e l'accelerazione del punto P misurate rispetto ai due sistemi:

_r = _c0 + _r1 con: _r = x_1ux + y_1uy + z_1uz, _r1 = x'_ux' + y'_uy' + z'_uz', _c0 = X_0ux + Y_0uy + Z_0uz

La velocità del punto P rispetto al sistema fisso è chiamata:

Velocità assoluta

_v = d_f/dt = dx/dt _ux + dy/dt _uy + dz/dt _uz

mentre quella rispetto al sistema mobile è chiamata:

Velocità relativa

_v1 = dx'/dt _ux' + dy'/dt _uy' + dz'/dt _uz'

Moti relativi

Sperimentalmente è provato che le leggi fisiche non dipendono dalla scelta del sistema di riferimento. Ma essendo pertanto un punto privilegiato, lo spazio appare omogeneo e isotropo. La situazione si presenta ovvero quando un fenomeno viene osservato da due sistemi di riferimento in moto l'uno rispetto all'altro.

Teorema delle velocità relative

Consideriamo un punto P in movimento lungo una generica traiettoria. Il suo moto viene osservato da un sistema fisso e un sistema mobile. Deriviamo le relazioni tra la posizione, la velocità e l'accelerazione del punto P misurate rispetto ai due sistemi:

_r = _c0 + _r1 con _r1 = x'x + y'y + z'z, _c0 = x^˙_0x + y^˙_0y + z^˙_0z

La velocità del punto P rispetto al sistema fisso è chiamata:

Velocità assoluta

_v = d_f/dt = dx/dt _ux + dy/dt _uy + dz/dt _uz

mentre quella rispetto al sistema mobile è chiamata:

Velocità relativa

_v' = dx'/dt _ux' + dy'/dt _uy' + dz'/dt _uz'

La velocità dell'origine O' misurata dal sistema fisso è pari a:

V̅₀ = dO̅'/dt = dx'/dt _u̅x + dy'/dt _u̅y + dz'/dt _u̅z

Otteniamo così:

v̅ = dO̅'/dt + dr̅'/dt = dx'/dt _u̅x + dy'/dt _u̅y + dz'/dt _u̅z + x' (du̅_x/dt) + y' (du̅_y/dt) + z' (du̅_z/dt)

⇒ v̅ = V̅₀ + V̅' + x' (du̅_x/dt) + y' (du̅_y/dt) + z' (du̅_z/dt) = V̅₀ + ω̅ x r̅'

La differenza tra le velocità misurate nei due sistemi è chiamata velocità di trascinamento:

V̅_t = V̅ - V̅' = V̅₀ + ω̅ x r̅'

Essa è pari alla velocità rispetto al sistema fisso di un punto P' solidale con il sistema mobile. Quindi, se P fosse fermo rispetto al sistema mobile, la sua velocità misurata dal sistema fisso coincide con la velocità di trascinamento; se invece il punto P fosse in moto rispetto al sistema mobile, la velocità assoluta sarà la somma di velocità relativa e velocità di trascinamento.

Teorema delle accelerazioni relative

Rispetto al sistema fisso, l'accelerazione assoluta è... mentre rispetto al sistema mobile, l'accelerazione relativa è... L'accelerazione dell'origine del sistema mobile O' rispetto a O è data da → Le accelerazioni del punto p. misurate nei due sistemi vanno confrontate. L'accelerazione di trascinamento è quella del punto p^* solidale con il sistema mobile, che coincide nell'istante considerato col punto P.→ con accelerazione di Coriolis.

Teorema del momento angolare

Determiniamo cosa stiamo dicendo e la definizione del momento angolare. Consideriamo ampiezza e momenti rispetto al fascio:

• L = Σ r_i x m_iv_i
• L_i = Σ r_i x m_iv_i

Mettiamo in relazione il momento angolare L con il momento M delle forze esterne F^(E):

M^(E) = dL/dt = Σ d(r_i x m_iv_i)/dt = Σ r_i x m_i dv_i/dt + Σ F^(E)_i x F^(E)_i

⇒ dL/dt = -v_O x M_CM + H^(E)(t) + M^(E)(t)

con H^(E) = Σ r_i x F^(E)_i ed il momento totale delle forze esterne rispetto a O:

M^(E) = Σ r_i x F^(E)_i

Risulta così:

dL/dt = H^(E) - v_O x M_CM x v_O

Il termine -v_O x M_CM x v_O = 0 ed F_O O è fisso nel sistema di riferimento inerte quindi v_O = 0

O CM è un quieto v_CM = 0

O = CM: v_O = v_CM, v_O x v_CM = 0

v_O/v_CM

In generale, se il polo O è fisso nel sistema di riferimento inerziale e coincide col CM, l'evoluzione nel tempo del momento angolare del sistema di punti è determinata dal momento delle F(t) rispetto a O.

Conservazione del momento angolare

In una situazione in cui i(M)_ext = 0, si ha M(ext) = 0 e sussiste: il momento angolare L è costante. Si ha M(ext) = 0 in due casi:

• Il sistema è isolato -> P=costante
• M(exit) = 0, dato L -> L2=costante

Sistema di riferimento del C.M.

• Origine nel centro di massa
• Assi paralleli a xyz
• Sistema non inerziale (R(ext) = 0 NR)
• rⁱ = rⁱ + r_CM
• Vⁱ = V^C + V^CM
• r_CM = Σmⁱrⁱ = 0
• ΣmⁱV^CM = Σmⁱvⁱ = 0
• Σmⁱaⁱ = a_CM + aⁱ + 2ω x vⁱ + ω x rⁱ
• dta^t = aⁱ - aⁱ = a_CM

Il II Principio della dinamica diviene così:

• -F_(i) = m_ia_t = m_ia_i

Sistemi di riferimento inerziali

Definiamo come sistema di riferimento inerziale un sistema in cui valga esattamente la legge di inerzia, ovvero un punto non soggetto a forze lanciato con velocità arbitraria in qualunque direzione a, rimane su M.S., se è in quiete, resta in quiete. Prendiamo ora un sistema di riferimento solidale e un sistema di riferimento S1 su cui muove un corpo traslatorio. Rispetto un'informe rispetto al SRI. Pertanto si avrà V₀ = costante, a₀ = 0 e ω = 0.

Per il teorema delle accelerazioni relative a = a pertanto definito un SRI tutti gli altri sistemi in MRu rispetto a questo sono anch'essi inerziali. Se invece il secondo sistema è accelerato risulta che:

ā = ā' + āτ + āc (acceler. misurata dal SRI) → āc di trascinamento. Pertanto risulterà:

F̄ = m (ā' + āτ + āc) ⇒ F̄ - mār - māc = mār forza F → forza vera

Forze apparenti → non derivano da interventi fondamentali e non esistono nei SR forze di inerzia.