Moti, Fisica I

Moto di un proiettile

Consideriamo il moto di un proiettile sparato da un cannone ad velocità iniziale nota e inclinato di un certo angolo noto. Definiamo un opportuno sistema di riferimento cartesiano in cui l’origine degli assi corrisponde alla posizione iniziale del proiettile e definiamo le condizioni iniziali che sono:

• All’istante zero le posizioni lungo gli assi sono anch’esse nulle.
• L’accelerazione è data dall’accelerazione gravitazionale terrestre che spinge il proiettile verso il basso, è presente solo l’ordinata dell’accelerazione.
• Scomponiamo la velocità iniziale del proiettile lungo gli assi.

Detto questo, troviamo le funzioni delle velocità lungo gli assi conoscendo l’accelerazione, dopo di che ricaviamo le leggi orarie delle due componenti e troviamo che sono pari a:

Arrivati a questo punto vogliamo trovare la traiettoria del nostro proiettile:

Per trovare la traiettoria non facciamo altro che ricavare il parametro tempo dalla legge oraria della componente orizzontale, andandola a sostituire nella legge oraria della componente verticale esprimendo così la componente verticale in funzione di quella orizzontale, il risultato sarà una parabola.

Cerchiamo la massima quota raggiunta

Per trovare la massima quota raggiunta dal proiettile ci sono due modi: ponendo la derivata della traiettoria uguale a zero oppure cercando l’istante di tempo in cui la componente verticale della velocità si annulla.

Il porre la derivata prima della traiettoria uguale a zero non è altro che trovare il massimo della funzione che corrisponde alla massima quota raggiunta dal proiettile.

Calcoliamo la gittata del nostro cannone

Per trovare la gittata cerchiamo il valore di tempo in cui l’ordinata è uguale a zero, sostituendo poi questo valore di tempo nell’equazione della componente orizzontale della traiettoria troviamo la distanza dall’origine in cui il proiettile tocca terra.

Infine calcoliamo la massima gittata che possiamo ottenere

Per trovare la massima gittata prendiamo l’equazione della gittata e la riscriviamo in funzione dell’angolo.

Come abbiamo fatto per la massima quota poniamo la derivata della gittata rispetto all’angolo di inclinazione del cannone uguale a zero, trovo così i massimi della funzione.

Moto circolare

Il moto circolare ha una rappresentazione intrinseca e per definire questo moto dobbiamo definire un’origine e un verso. Più semplicemente, al posto di lavorare con l’ascissa curvilinea, definiamo come sistema di riferimento di questo moto un sistema di assi cartesiani con l’origine coincidente con il centro della circonferenza.