Modellistica per problemi differenziali

MODELLISTICA

PER

PROBLEMI

DIFFERENZIALI

Serie di funzioni e convergenza

Lezione 1

Consideriamo un intervallo \( I \subseteq \mathbb{R} \) e funzioni \( f^m: I \to \mathbb{R} \)con \( m = 1, 2, 3, \ldots \), ovvero, \( m \in \mathbb{N} \).Se \( x \in I \), consideriamo la successione { \( f_n(x) \) }_{m \in \mathbb{N}} ^∞

\( f_m(x) : [0, 2\pi] \to \mathbb{R} \),   \( f_n(x) = \sin(m \cdot mx) \)se \( m = 1 \Rightarrow f_1(x) = \sin(x) \)se \( m = 2 \Rightarrow f_2(x) = \sin(2x) \)se \( m = k \Rightarrow f_k(x) = \sin(kx) \)

Ricorda le différ.

• (Analisi I) { \(\frac{1}{m}\) }
  • Successione numerica
• (Modelistica) { \(\sin(mx)\) }
  • Successione di funzione

VEDIAMO ORA QUALE CONDIZIONE DEVE PERSISTERE AFFINCHE' (A)SIA VERIFICATA:

CONVERGENZA TOTALE

Sia I⊂ℝ e siano f_n: I→ℝ con n∈ℕ.Diremo che Σ_n=0^+∞ f_n(x) converge totalmente in I, se ∃ unasuccessione {a_m}_m=1^+∞ di numeri reali positivi, tali che:

1. |f_n(x)| ≤ a_m ∀ x ∈ I, n ∈ ℕ ;
2. Σ_m=1^+∞ a_m converge.

SE ESSE SONO VERIFICATE LA SERIE DI FUNZIONE CONVERGE TOTALMENTE

20)

Σ_m=0^+∞ f_n(x) = Σ_m=0^{+∞ arctan(3nx)}/_m² CONVERGE TOTALMENTE ?

1)

⇒ |^arctan(3n)/_m²| ≤ ^π/2/_m² =: a_m ,

-- punti estremi "π/2", è una funzione limitata

2)

⇒ Σ_m=0^{+∞ π/2}/_m² = ^π/2 Σ_m=0^+∞ 1/m² < +∞

1 + 2 ⇒ CONVERGENZA TOTALE

OSS

CONVERGENZA TOTALE⇒ CONVERGENZA SEMPLICE

Serie di Fourier

Lezione 2

Consideriamo le funzioni:

• x → sin(x) [È periodica di periodo T = 2π]
• x → sin(³⁄₂x) [È periodica di periodo T = ^2π⁄₃]

In generale

• x → sin(mx) [È periodica di periodo T = ^2π⁄_m]

Inoltre una combinazione lineare di funzioni di questo "tipo" (sin(2x), cos(5x), 5cos(3x)) genera ancora una funzione periodica.

Es.

• x → 2cos(x) + ¹⁄₃ sin(2x) - 4cos(4x)

È una funzione periodica di periodo T = 2π nota: si considera il periodo delle combinazioni lineare di funzioni, più grande.

Graficamente, sarebbe:a grandi linee

Pensando ad una funzione così fatta:

Fourier ha avuto l'intuizione cheogni funzione 2π-periodica, potesseessere rappresentata da una somma(eventualmente infinita) di funzionielementari del tipo: sinx, cosx, sinmxcos2x, sin(mx), cos(mx)

OSS

V₀ ⊆ V

μ ∈ V

Prendendo qualsiasi vettore giacente sulla retta, qualsiasi sia operazione che si faccia, il vettore risultante sarà sempre contenuto in V.

μ ∈ V definito μ₀ = <μ, ℓ₁ >ℓ₁ + <μ, ℓ₂ >ℓ₂

μ₀ → vettore proiettato.

Cerca di ragionare le 3 proprietà sul grafo sopra.

Dimostrazione (punto 1)

Proviamo che μ - μ₀ ⊥ ℓ_j per j = 1, 2, ... , m

Facciamo vedere quindi <μ - μ₀, ℓ_j > = φ per j = 1, 2, .., m

<μ - μ₀, ℓ_j > = <μ, ℓ_j>-<(∑_i=1^m <μ, ℓ_i>ℓ_i) | ℓ_j > = <μ, ℓ_j>+

-(∑_i=1^m <μ, ℓ_i>|ℓ_i | ℓ_j > = <μ, ℓ_j>-(∑_i=1^m <μ, ℓ_i><ℓ_i, ℓ_j > =

= <μ, ℓ_j> - <μ, ℓ_j > = <μ, ℓ_j > (Tutti gli altri sono 0 per

la proprietà di δ_i,i)

= <μ, ℓ_j > - <μ, ℓ_j > ||ℓ_j||² = <μ, ℓ_j > - <μ, ℓ_j > = φ ∀j∈{1, 2, ..., m}

Sia ζ ∈ V₀. Allora nζ=∑_ζ=1^m c_iℓ_i.

<μ - μ₀, nζ>=< μ - μ₀, ∑_ζ=1 c_iℓ_i > = ∑_ζ=1^m < μ - μ₀, ℓ_i> =

= ∑_ζ=1^m c_i ⋅ φ = φ

Smf = \(\frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{m} (a_k \cos(kx) + b_k \sin(kx))\)

con

a_k = \(\frac{1}{\pi} \int f \cos(kx) dx\), \(k = 0,1,2,...\)

b_k = \(\frac{1}{\pi} \int f \sin(kx) dx\), \(k = 1,2,...\)

I coefficienti \(a_k\), \(b_k\) si dicono coefficienti di Fourier di f.

Il polinomio \(Smf\) si dice m-esima somma di Fourier,

e la serie trigonometrica

\(\left[\frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{+\infty}(a_k \cos(kx) + b_k \sin(kx)) \right]\)

si dice serie di Fourier di f.

Teorema

Sia \(f \in V\) e siano \(a_k\) e \(b_k\) i suoi coefficienti di Fourier

e sia \(Smf(x)\) l'm-esima somma di Fourier. Allora:

1. La norma \(Smf\) e' data da

\(\|Smf\|^2 = \pi \left[\frac{a_0^2}{2} + \sum_{k=1}^{m} (a_k^2 + b_k^2) \right]\)

Dimostrazione

\(\|Smf\|^2 = \left\|\frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{m} a_k \cos(kx) + b_k \sin(kx)\right\|^2\) = Th. Pitagora

= \(\|\frac{a_0}{2}\|^2 + \sum_{k=1}^{m} \|a_k \cos(kx)\|^2 + \|b_k \sin(kx)\|^2\) =

= \(\frac{a_0^2}{4} \|1\|^2 + \sum_{k=1}^{m} a_k^2 \| \cos(kx) \|^2 + b_k^2 \| \sin(kx) \|^2\)

= \(\frac{a_0^2}{4} \|2\pi\| + \sum_{k=1}^{m} a_k^2 \sqrt{\pi^2} + b_k^2 \sqrt{\pi^2} = \pi \sqrt{\pi}\)

Lezione 4

Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz

Sia < , > : V x V → ℝ, con V spazio vettoriale.

Allora vale

|<n₁,n₂>| ≤ ||n₁||||n₂||, ∀ n₁,n₂ ∈ V.

Prova: definiamo il vettore w := n₁ - tn₂, t ∈ ℝ. Calcoliamo <w,w>:

0 ≤ <w,w> = <n₁-tn₂,n₁-tn₂> = ...

= <n₁,n₁> + <n₁,-tn₂> + <-tn₂,n₁> +

+ <-tn₂,-tn₂> = ||n₁||² - t <n₁,n₂> - t <n₂,n₁> +

-t²||n₂||² = ||n₁||² - 2t <n₁,n₂> + t²||n₂||²

È un polinomio di II grado in t.

Deduciamo che il polinomio di II grado in t deve essere non negativo, ovvero

t²||n₂||² - 2t <n₁,n₂> + ||n₁||² ≥ 0

Ovvero il discriminante "Δ" della disequazione risulta essere ≤ 0

=> Δ = b² - 4ac = 4 <n₁,n₂>² - 4||n₂||²||n₁||² ≤ 0

Ovvero

<n₁,n₂>² ≤ ||n₂||²||n₁||²

Se e solo se:

- ||n₁||||n₂|| ≤ <n₁,n₂> ≥ ≤ ||n₂||||n₁||