Modellistica ed identificazioni appunti

Statistica induttiva

L'inferenza statistica è un insieme di metodi con cui si cerca di trarre una conclusione sulla popolazione in base a informazioni ricavate da un campione.

Argomenti principali

1. Stima puntuale di valor medio e varianza
2. Stima di intervallo
3. Test di confronto
4. Pianificazione degli esperimenti

Stima puntuale di valor medio e varianza

Non potendo analizzare l'insieme Ω della popolazione e quindi non potendo ricavare μ e σ della popolazione, si estrae dall'insieme Ω un campione casuale di m < N elementi. Si possono calcolare allora:

Media campionaria: μ̂_m = ¹/_m ∑_i X_i
Affinché la stima sia buona si richiede che la stima di valor medio coincida con il valore vero μ e che la varianza della stima sia piccola.

• E [μ̂_m] = μ sempre verificato
• σ_μ̂m² = E [(μ̂_m - μ)²] piccola

Se campione indipendente: σ_μ̂m² = σ² / m
Se campione dipendente: σ_μ̂m² = (1 - m - 1 / N) σ² / m

Varianza campionaria: S_m² = ¹/_m ∑_i (X_i - μ̂_m)²

Dal momento che S_m² esista una stima distorta, per eliminare la distorsione si modifica l’espressione della stima:

• Se campione indipendente: σ_m² = ^m/_m-1 · S_m²
• Se campione dipendente: σ_m² = m/_m-1 · M · N/_N - M S_m²

Andando a sostituire le formule 1.2 alle espressioni 1.1, si ottiene:

Stima non distorta della varianza σ̂_μ̂m² = {^S_m2/_m - 1 se campione indipendente ^S_m2/_m - 1 (1 - M/_N) se camp. dipendente

Ampiezza nella varianza della stima di varianza per un campione indipendente si può:
σ̂_m2² = E [(S_m² - E (σ_m²))²] = _σ⁴ / ^m (E [(X - μ⁴)] - ^{m - 3} / _{m - 1})

Statistica induttiva (Ripetizione)

L'inferenza statistica è un insieme di metodi con cui si cerca di trarre una conclusione sulla popolazione in base a informazioni ricavate da un campione. Analizzeremo i seguenti argomenti:

1. Stima puntuale di valor medio e varianza
2. Stima di intervallo
3. Test di confronto
4. Pregrammazione degli esperimenti

Non potendo analizzare l'insieme Ω della popolazione e quindi non potendo ricavare μ e G della popolazione, si estrae dall'insieme Ω un campione casuale di m < N elementi. Si possono calcolare allora:

Media campionaria: _mX̄ _m = ¹/_m Σ X_i
Affinché la stima sia buona si richiede che la stima di valor medio coincida con il valore vero μ e che la varianza della stima sia piccola:
E [X̄ _m ] = μ sempre verificato

Se campione indipendente: V² X̄ _m = G² / _m
Se campione dipendente: V² X̄ _m = (1 - ^m-1 / _N-1) G² / _m

Varianza campionaria: S²_m = ¹/_m-1 Σ (X_i – _mX̄_m)²

Dal momento che S² _m esista una stima distorta, per eliminare la distorsione si modifica l'espressione della stima:

Stima della var. campionaria ^G2_m = _m/_m-1 S²_m Se campione indipendente
Stima della var. campionaria ^G2_m = ^m/_m-1 (1 - ^m/_N). S²_m Se campione dipendente

Andando a sostituire le formule 1.2 alle espressioni 1.1, si ottiene:
X̄ _m STIMA NON DISTORTA _G²m= DELLA VARIANZA ^G2_m = ^{S²_m / _m-1 se camp. indipendente S²_m / _m-1 (1 - ^m / _N) se camp. dipendenti

Ampiazione area la varianza della stima di varianza per un campione indipendente, si ha:
V² _S²m = E[ (S²_m – E(G²_m))²] = ^{G4 / _m} [E[(X – μ)⁴] / ^G4 - ^m-3 / _m-1]