Modellazione, ottimizzazione e innovazione di processo

Modellazione, ottimizzazione e innovazione di processo

Esame

Aula informatica in presenza due parti: risoluzione esercizi con calcolatrice e tavole statistiche e domande aperte, V/F e completamento testo (80 minuti) e risoluzione esercizio al computer con DesignExpert (40 min).

Introduzione

Un modello è la rappresentazione di un oggetto o di un fenomeno che riproduce alcune caratteristiche fondamentali per permettere il loro studio; si possono avere modelli 3D o concreti, ma nel campo alimentare nella ricerca e nell’industria è più comune dover modellare un fenomeno o un processo come il trasferimento di calore, di massa, le reazioni chimiche, le modifiche strutturali, la distruzione dei microrganismi ecc. Il processo di modellazione può essere attuato a diversi livelli da quello teorico a quello totalmente empirico e si traduce generalmente in espressioni matematiche più o meno complesse che consentono di fare previsioni circa il fenomeno.

La creazione di un modello può seguire due approcci diversi: meccanicistico o deduttivo e l’approccio empirico o riduttivo.

• L’approccio meccanicistico permette di tratte una conclusione dal generale al particolare; quindi, da una legge conosciuta si costruiscono modelli matematici realistici.
• L’approccio empirico prevede delle prove e da qui si costruisce un modello con una validità più alta ed è il procedimento usuale per la logica scientifica fornendo una funzione tra le variabili di input e quelle di output.

Ad esempio, l’ottimizzazione di una cottura si stabilisce con il raggiungimento di una temperatura al centro di un prodotto e conoscendo la legge di Fourier si può determinare il tempo necessario utilizzando un coefficiente di conducibilità termico approssimativo. Se invece si usa l’approccio riduttivo per sapere la temperatura si pone una sonda e durante la cottura si controlla in maniera sperimentale il tempo impiegato per raggiungere quella prevista. Il problema di questo metodo è che se si usa un prodotto di altre dimensioni non si ottiene un modello ma è necessario rivalutare il profilo temperatura-tempo e alla fine si costruisce un modello considerando diverse dimensioni. Con il primo approccio meccanicistico il coefficiente di conducibilità non è preciso ma permette di inserire delle leggi o cambiamenti strutturali per riuscire a renderlo ancora più valido per diverse situazioni.

Nel caso del metodo deduttivo meccanicistico le complicanze sono che si ha bisogno di una grande conoscenza del fenomeno che si sta studiando e dei fenomeni che possono interferire durante il processo e si raggiungono equazioni molto complesse con programmi molto potenti che rendono più difficile la determinazione e che hanno la necessità di essere validati e verificati.

I modelli meccanicistici sono basati su principi fisici ben stabiliti, possono aggiungere ulteriori complessità, consentono l’approfondimento dei fenomeni del punto di vista teorico-fondamentale in quanto consentono di studiare l’influenza delle caratteristiche del prodotto sui coefficienti di trasporto di calore e di massa, quindi, forniscono non solo valori simulati o previsti per le variabili d’interesse ma anche informazioni sulla dinamica del sistema e sui processi in atto al suo interno. Una volta che il modello è stato dimostrato essere soddisfacente in un sistema semplice, può essere trasferito; questi modelli trovano interesse dal punto di vista ingegneristico per la previsione e le prove.

I limiti sono: elevato numero di variabili, complessità computazionale per simulazione e controllo, elevato numero di variabili d’ingresso che limitano il campo di applicabilità e richiesta di una profonda conoscenza dal punto di vista ingegneristico.

Nel metodo empirico non si richiedono conoscenze di base sui fenomeni coinvolti nel processo da modellare perché non si considerano informazioni circa la fisica e la chimica del sistema; bisogna avere un’idea nella fase di pianificazione e di scelta dei fattori da tenere sotto controllo. Dopo aver individuato le variabili di ingresso e di uscita, si sceglie una funzione generale che costituisce una rappresentazione esterna del sistema; in questo modo, si ottengono rapidamente i risultati anche in assenza di una sufficiente comprensione dei fenomeni coinvolti ma nel contempo i modelli empirici non sono in grado in teoria di aumentare le conoscenze sui meccanismi coinvolti nel processo.

In pratica, tramite i modelli empirici è possibile arrivare a formulare delle ipotesi verificabili sui meccanismi coinvolti; si tratta di un metodo flessibile, i modelli possono essere modificati e aggiustati. I dati sperimentali generati nelle diverse fasi del food processing possono essere sfruttati nel metodo empirico; la struttura meno complessa li rende facilmente utilizzabili. Con il metodo sperimentale si parte dall’input che è in genere la materia prima e gli output sono le variabili risposta o aspetti che servono per valutare le caratteristiche finali o per valutare il processo; bisogna identificare le variabili dipendenti (y) che servono per valutare il processo. Inoltre, bisogna scegliere i fattori controllabili che possono avere influenza sul processo.

Può succedere che si pensi di avere una grande conoscenza sul processo e che tali fattori hanno influenza scartandone altri, quindi, ci sono disegni che permettono di verificare che questi fattori sono importanti, ovvero i disegni di screening. Poi ci sono anche fattori non controllabili che non si possono tenere sotto controllo (umidità, ambiente) che vanno identificati.

La prima necessità è determinare quali variabili x hanno maggiore influenza sulla risposta y dipendente, determinare quali valori assegnare a x in modo che la risposta y risulti quasi sempre prossima al valore nominale desiderato. Determinare quali valori assegnare alle variabili influenti x in modo che la variabilità nella risposta y sia piccola (robustezza). Determinare quali valori assegnare alle variabili influenti x in modo che l’effetto delle variabili non controllabili sulla risposta y sia minimizzato.

Sia con l’approccio empirico o meccanicistico si richiede comunque una validazione del modello valutando l’accuratezza, la precisione e una serie di parametri per vedere quanto è valido oppure no il modello e anche verificarlo sperimentalmente. Un buon modello matematico deve essere preciso (dispersione delle stime bassa), accurato (stime corrette o vicine al valore vero, media coincide con il valore vero); le deviazioni tra i valori stimati e i dati sperimentali non devono presentare un trend, deve essere robusto (immune a errori input), vantaggioso e quindi fornire informazioni utili.

Il disegno degli esperimenti

Il disegno degli esperimenti è una raccolta di tecniche statistiche e matematiche per pianificare e sviluppare i processi, è utile per lo sviluppo e l’ottimizzazione di nuovi prodotti e di prodotti già esistenti, ha applicazione nell’analisi sensoriale, nello sviluppo di prodotti, nella microbiologia, nella nutrizione, nell’analisi chimica e in qualsiasi azione che si fa regolarmente. Le linee guida per la pianificazione di un esperimento sono:

• Progettazione dell’esperimento per la raccolta appropriata dei dati perché permette poi l’analisi con metodologie statistiche per riuscire a trarre informazioni e conclusioni valide. Inoltre, oltre a ottenere informazioni si risparmiano tempo, materie prime e anche costi. Il primo step è quindi riconoscere e formulare il problema, cosa si vuole ottenere dal disegno.
• Scegliere i fattori e i loro livelli (x);
• Scegliere le variabili di risposta (y) veloci per capire velocemente come sta andando l’esperimento;
• Scelta del piano sperimentale in base all’obiettivo e per cosa si vuole fare l’esperimento in quanto si può confrontare un processo con uno standard, fare una fase di screening, fare modellazione creando un modello che permette di predire la risposta y in funzione dei fattori oppure fare ottimizzazione per determinare le condizioni dei fattori significativi che permettano di migliorare y.
• Successivamente si hanno l’esecuzione dell’esperimento;
• Analisi statistica dei dati y;
• Conclusioni e consigli.

Il disegno sperimentale si applica per risolvere quattro tipologie di problemi:

• Confronto: in questo caso l’interesse dello sperimentatore è stabilire se un cambiamento nel livello di un singolo fattore (variabile predittiva) del processo porti come risultato ad un cambiamento/miglioramento del processo.
• Screening/caratterizzazione: in questo caso l’interesse dello sperimentatore è comprendere il processo in modo tale da assegnare al termine della sperimentazione una scala di importanza ai fattori (variabili predittive) che influenzano il processo.
• Modellazione: l’interesse dello sperimentatore è ottenere un modello del processo con una funzione matematica che presenti un buon grado di fittaggio dei punti sperimentali (cioè un buon potere predittivo) e che stimi con accuratezza i coefficienti della funzione.
• Ottimizzazione: in questo caso lo sperimentatore è interessato a trovare i valori ottimali delle variabili di processo; cioè trovare per ciascun fattore (variabile predittiva) il livello che ottimizza la variabile di risposta. Attenzione nel disegno sperimentale, le variabili predittive sono comunemente chiamate fattori.

(Domanda esame: fattori che possono avere effetto sul processo) Tra i fattori che possono avere effetto sul processo, si possono avere fattori potenziali di disegno tra cui si hanno quelli che si vogliono studiare e quindi utilizzare nel disegno e quelli che vengono mantenuti costanti; se bisogna studiare il processo di idrogenazione di un olio, si studiano la pressione, la temperatura, la quantità di catalizzatore mantenendo costante la materia prima e la macchina utilizzata nonostante siano fattori che hanno influenza sul processo. I fattori di disturbo possono essere controllabili e si risolvono con il blocking (lotto che viene bloccato e fattore di disturbo che viene bloccato), oppure si hanno fattori di disturbo non controllabili misurabili che si risolvono con l’analisi della covarianza, mentre quelli non misurabili si risolvono con la randomizzazione.

Consigli: usare le tecniche anche non statistiche del problema, adottare piani sperimentali ed analisi dei dati quanto più semplici possibili, distinguere tra significatività pratica e statistica (a volte nella pratica una risposta statisticamente significativa non lo è), gli esperimenti sono di solito sequenziali. Bisogna utilizzare la statistica in maniera responsabile e con un determinato criterio. Si ottengono conclusioni e consigli per prove successive perché dopo aver risolto una prima fase del problema si valuta un secondo step e questo carattere sequenziale deve esistere. I risultati ottenuti da ogni prova servono per le prove successive.

I modelli che si possono generare sono modelli semplici di primo o secondo ordine:

• Primo ordine: la variabile risposta può essere funzione di un coefficiente (intercetta), di effetti principali (x), le interazioni che avvengono tra i fattori che possono essere significativi o no e l’errore.
• Secondo ordine o quadratici: in questo caso si aggiungono i termini quadratici.

Si generano quindi delle superfici di risposta con le variabili risposta sull’asse delle y (resa di processo) in funzione di due fattori x (temperatura e pressione). Si vedono tutte le risposte in funzione di tutte le diverse combinazioni dei due fattori. La risposta in questo caso non è lineare ma quadratica. Alla base si hanno tutte le combinazioni di iso-risposta, quindi che danno la stessa risposta.

Fasi per l'ottenimento di un modello

• La fase zero è costituita dallo screening degli esperimenti per ridurre la lista di variabili che possono avere effetto sulla risposta; si fa un disegno di screening che può essere full-two level factorial design, fractional o Burman. Questi valori di screening permettono di stabilire i livelli di temperatura, o di altre variabili, per stabilire i confini di studio; se ci si allontana da questi l’errore di previsione aumenta. Sono modelli fattoriali che generano equazioni solo di primo ordine.
• Nella fase 1 si può cambiare una regione che permette di migliorare la risposta con il metodo della salita o discesa ripida; con le equazioni di primo ordine si può andare dai risultati verso condizioni migliori raggiungendo anche la zona dell’optimum dove si può applicare un disegno quadratico che genera l’equazione quadratica.
• Nella fase 2 si utilizzano disegni quadratici che permettono di ottimizzare la risposta e quindi si ottengono disegni di secondo ordine come CCD, FCD.
• Infine, si hanno i mixture designs che sono disegni di miscela usati per le formulazioni.

Da questi disegni si ottiene un output dove c’è un’analisi della varianza con diversi termini e fattori che risultano significativi, errori e parametri come deviazione standard, media, coefficiente di variazione, R², e poi l’equazione codificata e in termini di valori reali.

Ripasso statistica di base

L’interferenza statistica usa dei test come t-Student per verificare l’ipotesi nulla (confronto due medie bivariato), mentre per confrontare più medie si usa il test-F. Tutti questi test derivano dalla distribuzione normale e si studia l’interferenza statistica e i parametri descrittivi.

Si possono distinguere due variabili: qualitativa (categoriche e ordinali) da cui si può codificare e creare dei modelli; quantitativa (discrete e continue).

Indici statistici utilizzati

• Parametri di tendenza centrale: che dà un’indicazione della tendenza centrale: si ha la media che è la somma di tutti i valori delle variabili di una popolazione diviso il numero di unità di campione. La moda è la modalità più ricorrente della variabile, mentre la mediana occupa la posizione centrale in un insieme ordinato di dati ed è una misura più affidabile, robusta e poco influenzata dalla presenza di dati anomali. La media viene utilizzata per la statistica parametrica, mentre la mediana in quella non parametrica; le osservazioni devono avere una distribuzione normale in quanto si possono analizzare con la statistica parametrica. Se non si ha la distribuzione normale si cerca di trasformare i dati in modo da far ottenere una distribuzione normale.
• Misure di dispersione dei dati: prevedono la devianza, varianza, deviazione standard, errore standard, coefficiente di variazione, campo di variazione. Il campo di variazione è la differenza tra il dato più grande e quello più piccolo, è abbastanza grossolano e non dice nulla sulla variabilità: C = X_max - X_min. La devianza è la somma degli scarti dalla media al quadrato, è la somma dei quadrati. La varianza della popolazione caratterizza bene la variabilità di una popolazione ed è il rapporto tra la devianza e il numero di unità della popolazione; spesso è impossibile valutare tutta la popolazione e quindi si ragiona su un campione estratto, quindi, se N è molto grande per il campione si introduce il termine dei gradi di libertà n-1 per appiattire le differenze tra il valore finale. I gradi di libertà sono il numero di elementi indipendenti presenti per il calcolo della variabilità. Poiché la somma degli scarti dalla media è uguale a 0, l’ultimo valore di una serie è conosciuto a priori, non è libero di assumere qualsiasi valore quando siano già noti gli n-1. Ad esempio, se la media è pari a 20, un valore è 18, 21, 19, 22, il quinto valore si può calcolare ed è pari a 20. Si dice n-1 perché l’ultimo non è un valore indipendente. N-1 è pari al numero di dati meno il numero di costanti che sono già state calcolate o di informazioni che siano già state estratte dai dati. Con la varianza, la costante utilizzata per calcolare gli scarti è la media, quindi i gradi di libertà sono n-1. Per ogni osservazione dopo la prima si guadagna un grado di libertà per stimare la varianza in quanto inizia ad esserci variabilità e si ha più di un campo. La dispersione inizia quando si ha più di un’osservazione. L’analisi della varianza si applica solo quando le due medie da confrontare presentano delle repliche. La deviazione standard o scarto quadratico medio è la radice quadrata della varianza e per calcolarla si devono avere i gradi di libertà. L’errore standard è la deviazione standard diviso la radice di n; si ottiene un valore più piccolo di s e l’unità di misura è uguale a quella della s ma con la differenza che l’errore standard dà una dispersione più piccola e si usa quando si riportano valori medi da un diverso numero di osservazioni. Il coefficiente di variazione è un indice di dispersione ed è la deviazione standard x 100 diviso la media. Si ottiene una percentuale, quindi è adimensionale. Con questo coefficiente non si ha l’influenza dell’unità di misura. Il limite di confidenza si calcola come: ; t si ricava dalle tabelle.

Per applicare dei test che permettono di verificare l’ipotesi si usano i due test che derivano dalla distribuzione normale; i dati distribuiti normalmente seguono la gaussiana dove la maggiore probabilità o frequenza di dati è presente intorno alla media: se la media è più o meno 1s si copre il 68,27%, se è più o meno 2s si copre il 95,45%, se è più o meno 3s si copre il 99,73%.

Per verificare la normalità dei dati si utilizzano diverse formule e algoritmi per la determinazione dell’asimmetria: kurtoisis che è il grado di appiattimento rispetto alla curva normale; i programmi statistici spesso...