Microeconomia dei mercati finanziari

Rischio e avversione al rischio

In linea di principio, la presenza del rischio può indurre tre tipi di comportamenti: si può essere amanti del rischio, avversi al rischio oppure neutrali. Un problema strettamente connesso a quello della definizione di avversione al rischio è di fornire una misura della rischiosità di una data situazione. Il legame deriva dal fatto che la rischiosità, la percezione del rischio, è questione in larga misura soggettiva.

Atteggiamento verso il rischio

In generale, se p è una qualsiasi distribuzione, la definizione di atteggiamento avverso il rischio è:

• Avverso il rischio se δ ≥ p con funzione di utilità concava; Ep(ω)
• Amante del rischio se δ ≤ p con funzione di utilità convessa; Ep(ω)
• Neutrale al rischio se δ ≈ p con funzione di utilità lineare. Ep(ω)

Supponiamo che p abbia due soli esiti, ω₁ e ω₂, con rispettive probabilità p₁ e (1 - p₁). Perciò il valore atteso di questa distribuzione è E(ω) = p₁ω₁ + (1 - p₁)ω₂. La rappresentazione in termini di utilità dell’avversione al rischio diviene:

U[E(ω)] > E[U(ω)]

U[p₁ω₁ + (1 - p₁)ω₂] > p₁U(ω₁) + (1 - p₁)U(ω₂)

Cioè per un individuo avverso al rischio l’utilità di ottenere con certezza il valore atteso di p, U[E(ω)], è maggiore dell’utilità attesa di p, E[U(ω)].

Una conseguenza di quanto detto è che un individuo avverso al rischio non accetterà mai un gioco equo, ossia un gioco in cui il prezzo che occorre pagare per parteciparvi è uguale al valore atteso del gioco stesso. Supponiamo che il gioco in questione sia rappresentato dalla distribuzione p: con una probabilità p₁ si ottiene ω₁ e con una probabilità (1 - p₁) si ottiene ω₂. Il valore atteso del gioco è dunque E(ω), e, se il gioco è equo, questo è anche il prezzo che si deve pagare per parteciparvi. Per un individuo avverso al rischio il prezzo certo che occorre pagare ha un’utilità pari a U[E(ω)], mentre l’utilità attesa del gioco è E[U(ω)]:

E[U(ω)] - U[E(ω)] < 0

In altre parole, un individuo avverso al rischio che prendesse parte ad un gioco equo subirebbe una perdita di utilità.

Funzione di utilità e avversione al rischio

Per un individuo propenso al rischio si ha invece che:

U[E(ω)] < E[U(ω)]

L’utilità di ottenere con certezza il valore atteso di p è minore dell’utilità attesa di p, ovvero:

U[p₁ω₁ + (1 - p₁)ω₂] < p₁U(ω₁) + (1 - p₁)U(ω₂)

Infine, per un individuo neutrale al rischio vale:

U[E(ω)] = E[U(ω)]

Ne deriva che in questo caso la massimizzazione dell’utilità attesa come criterio di scelta tra azioni coincide con la massimizzazione del valore atteso delle azioni. Tale equazione è la definizione di una retta.

Misure dell’avversione al rischio e confronti interpersonali

Una volta stabilito cosa deve intendersi per avversione al rischio, si affronta il confronto tra l’avversione al rischio di due individui diversi, uno con funzione di utilità U₁(•) e l’altro con funzione di utilità U₂(•). Un famoso teorema di Pratt mostra che vi sono tre modi possibili, equivalenti tra loro.

• Premio per il rischio: supponendo che il livello iniziale della ricchezza in possesso dell’individuo sia ω₀ e siccome il significato di avversione al rischio è che si preferisce avere con certezza E(ω) piuttosto che il “rischio” connesso alla distribuzione p, ne deriva che l’individuo è disposto a rinunciare ad una parte della somma certa piuttosto che sopportare il “rischio”. Il premio per il rischio, R(ω), è la somma certa per cui l’individuo è indifferente tra sopportare il “rischio” p e ricevere per certo E(ω), ed è definito dall’equazione:

  U[ω₀ + E(ω) - R(ω)] = E[U(ω₀ + ω)]

  Graficamente, si ricerca quel valore di ω che, se ricevuto per certo, dà un’utilità uguale a quella atteso di p. Questo valore è C(ω) e viene denominato nella letteratura equivalente di certezza; è dato da:

  C(ω) = E(ω) - R(ω) e perciò R(ω) = E(ω) - C(ω)

  La propensione a sopportare il rischio cambierà infatti, in generale, al variare della ricchezza iniziale posseduta.

  Da questa misura discende un modo per confrontare l’avversione al rischio di due individui: un individuo con funzione di utilità U₁(•) è più avverso al rischio di un altro con funzione di utilità U₂(•) se R_U1(ω) > R_U2(ω), per qualsiasi distribuzione p e per qualsiasi livello iniziale della ricchezza.

• Coefficiente di avversione al rischio: la misura dell’avversione al rischio più conveniente dal punto di vista formale consiste nel rendere U''(•) indipendente dalla trasformazione lineare dividendola per U'(•). Si ottiene così il coefficiente di avversione assoluta al rischio, definito come:

  λ(ω₀) = -U''(ω₀) / U'(ω₀)

  Un individuo è perciò tanto più avverso al rischio quanto più elevato è il suo λ. In termini comparativi, ciò significa che un individuo è più avverso al rischio di un altro se il suo coefficiente di avversione al rischio è maggiore.

  Supponendo per semplicità che la distribuzione p abbia media nulla, cioè E(ω) = 0, si può mostrare che:

  R(ω) ≈ λ(ω₀)σ² / 2

  Il premio per il rischio è approssimativamente uguale a metà della varianza del rischio (σ²) per un coefficiente che è pari a λ.

  Si parla di avversione assoluta al rischio quando il rischio entra in forma additiva, cioè del tipo (ω₀ + ω). Si dice che l’avversione assoluta al rischio è costante quando λ(ω₀), e perciò il premio per il rischio R(ω), non dipendono dal livello della ricchezza iniziale ω₀. Un’osservazione empirica suggerisce che, al crescere della ricchezza, l’individuo tende ad assumere rischi maggiori.

  Un difetto evidente di λ, quando non è costante, è di dipendere dalla stessa unità di misura in cui è espressa la ricchezza. Un indicatore alternativo immune a questo difetto è il coefficiente di avversione relativa al rischio, che è definito come:

  ρ(ω₀) = -ω₀U''(ω₀) / U'(ω₀)

  Si parla di avversione relativa al rischio quando il rischio entra in forma moltiplicativa, cioè del tipo ω₀(1 + ω). Inoltre, l’avversione relativa al rischio è costante quando ρ(ω₀), e perciò il premio relativo per il rischio, non dipendono dal livello iniziale della ricchezza. Il premio relativo per il rischio, R*(ω), è il rapporto tra il premio per il rischio e il livello iniziale della ricchezza, ovvero il premio per unità di ricchezza:

  R*(ω) ≈ ρ(ω₀)σ² / 2

• Trasformazione concava: l'ultimo modo per confrontare due avversioni al rischio consiste nel paragonare il grado di concavità. Più esattamente, un individuo con funzione di utilità U₁(ω) è più avverso al rischio di un altro con funzione di utilità U₂(ω) se: U₁(ω) = g[U₂(ω)] per qualche funzione g(•) concava e strettamente crescente.

Misurazione del rischio

Negli anni '50 la misura più adottata della rischiosità di una data distribuzione era la varianza, ossia la dispersione di una variabile casuale intorno alla sua media. L'identificazione della maggiore variabilità con il rischio più elevato costituisce il pilastro principale su cui si regge l'analisi media-varianza della teoria delle scelte di portafoglio. Questo criterio è stato in seguito criticato per due motivi. Il primo è che la valutazione di una distribuzione in termini soltanto di media e varianza risulta compatibile con quello dell'utilità attesa se è soddisfatta una delle seguenti condizioni: se la funzione di utilità è quadratica e se le conseguenze seguono una distribuzione normale. Il secondo motivo è che non è difficile costruire esempi in cui la distribuzione con maggiore varianza risulta anche essere quella preferita da un individuo avverso al rischio.

All'inizio degli anni '70 sono stati elaborati criteri alternativi di misurazione del rischio. In un famoso lavoro del 1970 Rothschild e Stiglitz hanno proposto tre diversi criteri che i due autori dimostrano essere tra loro equivalenti. R e S confrontano distribuzioni di probabilità che hanno uguale media; ciò posto si chiedono quando si può dire che una distribuzione è più rischiosa di un’altra.

1. La distribuzione f è più rischiosa di g se per qualsiasi individuo avverso al rischio l’utilità attesa derivante dalla distribuzione più rischiosa è minore: E_f[U(ω)] < E_g[U(ω)].
2. Una distribuzione g(ω**) è più rischiosa di una distribuzione f(ω*), se ω** ha la stessa distribuzione di ω* + ε (rumore aggiunto), dove il valore atteso di ε condizionato a ω* è pari a zero, E(ε|ω*) = 0.
3. Una distribuzione è più rischiosa di un’altra se ha la stessa media ma assegna maggiore probabilità agli esiti "estremi". Ovvero la distribuzione più rischiosa è un mean preserving spread (MPS) dell’altra distribuzione, ha cioè una maggiore dispersione a parità di media.

Dominanza stocastica

Un criterio più generale di quello proposto da Rothschild e Stiglitz per confrontare due distribuzioni è quello della dominanza stocastica. Questo criterio è più generale per due motivi: perché non parte dal presupposto che le due distribuzioni poste a confronto abbiano la stessa media; perché non si fonda unicamente sulla rischiosità delle distribuzioni. Lo scopo della dominanza stocastica è quello di stabilire un ordinamento tra distribuzioni che dipende solo dalle caratteristiche delle preferenze individuali.

La caratteristica più "debole" che si può imporre è quella della monotonicità, ossia che gli individui preferiscono un ammontare maggiore di ricchezza ad uno minore. Si dice allora che si ha dominanza stocastica del primo ordine della distribuzione cumulata F(ω) rispetto a G(ω) se tutti gli individui che hanno funzioni di utilità crescenti preferiscono la prima distribuzione alla seconda. La condizione necessaria e sufficiente affinché ciò si verifichi, e perché F(ω) dunque domini G(ω), è:

G(ω) – F(ω) > 0, con disuguaglianza stretta per almeno un valore di ω.

Si dice che si ha dominanza stocastica del secondo ordine della distribuzione F(ω) rispetto a G(ω) se tutti gli individui avversi al rischio con funzioni di utilità crescenti e concave preferiscono la prima distribuzione alla seconda. Ciò si verifica se e solo se:

∫[G(ω) – F(ω)] dω > 0

Un individuo avverso al rischio ha un’utilità marginale decrescente, ovvero un’unità addizionale di ricchezza vale per lui di più quando il livello della ricchezza è basso.

La scelta in condizioni di incertezza

Introducendo il concetto di "stato del mondo" analizziamo come il singolo agente realizza il proprio ottimo individuale, ovvero il modo in cui le risorse disponibili vengono allocate tra le diverse destinazioni in maniera tale da massimizzare l’utilità attesa.

Stati di natura e utilità attesa

Il problema posto dall’incertezza consiste nel fatto che ad ogni azione corrisponde una pluralità di conseguenze, ma l’individuo non sa quale conseguenza discenderà da una determinata azione. L’individuo sceglie tra le diverse azioni, ma tra ciascuna azione e le relative conseguenze si interpone un altro "soggetto", denominato Natura, che decide quale particolare evento o stato di natura si verificherà. La combinazione di azioni e stati dà luogo ad una particolare conseguenza.

Indicando con a_i le azioni e con s_j gli stati, si possono scrivere le conseguenze come y_ij = c(a_i, s_j). La matrice mostra in forma compatta come azioni e stati si combinano per dare luogo alle conseguenze qualora vi siano due azioni e due stati.

Gli stati possiedono determinate proprietà:

• Gli stati descrivono una serie di circostanze che si trovano al di fuori del controllo individuale;
• Almeno uno stato deve verificarsi: esaustività;
• Due o più stati non possono verificarsi simultaneamente: esclusività.

Gli elementi che compaiono nella matrice (azioni, stati e conseguenze) fanno parte del problema decisionale dell’individuo. Oltre a ciò, l’individuo indica le probabilità che assegna alla realizzazione dei vari stati, π_j, che presentano le consuete proprietà:

• 0 < π_j < 1, quando π_j = 1 significa che l’individuo ritiene che lo stato s_j si realizzerà con certezza, mentre π_j = 0 implica che si ritiene con certezza che lo stato s_j non si realizzerà;
• Poiché gli S stati sono esaustivi e il realizzarsi di uno stato esclude il realizzarsi di un altro stato, la somma delle probabilità è pari a 1.

Le conseguenze che derivano da ciascuna azione e le probabilità attribuite agli stati consentono di associare ad ogni azione una distribuzione di probabilità; così la scelta tra le diverse azioni corrisponde alla scelta di una distribuzione di probabilità. L’utilità attesa della generica azione a è:

E[U(a)] = π₁U(y_a1) + … + π_SU(y_aS)

Si può affermare che un’azione a è preferita ad un’azione b se e solo se la prima presenta una maggiore utilità attesa.

Beni contingenti e curve di indifferenza

Supponiamo che nell’economia sia presente un solo bene sicché le conseguenze che discendono dalle varie azioni sono tutte esprimibili in termini di questo bene. Supponiamo inoltre che siano possibili soltanto due stati del mondo. Possiamo rappresentare l’utilità di una qualsiasi azione come:

E(U) = π₁U(y₁) + π₂U(y₂)

dove π₁ e π₂ sono le probabilità assegnate ai due stati, e la loro somma è pari a 1, y₁ e y₂ sono, rispettivamente, l’ammontare del bene che si ottiene se si verifica lo stato 1 e quello che si ottiene se si verifica lo stato 2. Il bene che si ottiene è contingente o condizionale al verificarsi di un dato stato. I beni contingenti non sono altro che le diverse conseguenze che derivano dal combinarsi di azioni e stati del mondo. Ciò significa che y₁ è l’ammontare del bene che si ottiene se e solo se si verifica lo stato 1 e, analogamente, y₂ è l’ammontare del bene che si ottiene se e solo se si verifica lo stato 2.

L’equazione può essere utilizzata per rappresentare l’insieme delle distribuzioni, cioè delle azioni, che danno al consumatore la stessa utilità attesa. In tal caso E(U) è costante. Tutte le combinazioni di y₁ e y₂ che soddisfano questa equazione, con un valore assegnato alla costante, sono ugualmente preferite dall’individuo. L’equazione è quella di una curva di indifferenza.

Il saggio marginale di sostituzione SMS è dato da:

SMS = -U'(y₁) / U'(y₂)

Poiché si assume che U'(•) > 0, si deriva che il SMS è positivo e che la pendenza, l’opposto del SMS, è negativa. In altre parole, le curve di indifferenza sono decrescenti. Per metterla in altro modo, non è possibile aumentare y₁ e/o y₂ e lasciare l’individuo sulla stessa curva di indifferenza in quanto si otterrebbe un’altra distribuzione che sarebbe certamente preferita da tutti gli individui che hanno una funzione di utilità crescente.

Dato che le curve di indifferenza sono inclinate negativamente, dire che la loro pendenza aumenta all’aumentare di y₁ equivale a dire che le curve di indifferenza sono convesse, ovvero che il SMS è decrescente. La linea inclinata a 45° è denominata linea di certezza e su di essa si trovano quelle combinazioni di redditi contingenti per cui y₁ = y₂; su tale linea l’individuo ottiene lo stesso ammontare di reddito qualunque sia lo stato del mondo che si verifica. Poiché y₁ = y₂, e perciò U'(y₁) = U'(y₂), si ricava che la pendenza delle curve di indifferenza lungo la linea di certezza è sempre pari a zero.

Indicando con \(\bar{y}\) le dotazioni iniziali dell’individuo in termini di redditi contingenti, la situazione iniziale dell’individuo è tale che, se si verifica lo stato 1, egli ha un reddito relativamente elevato, mentre se si verifica lo stato 2, il suo...